常微分方程研究什么

前面学方程时，我们常常在找一个数。比如 $x^2=4$，找到 $x=2$ 和 $x=-2$，问题就解决了。到了常微分方程，这件熟悉的事会发生一次变化：要找的未知数，变成了一整个函数。

先想象一个培养皿。我们暂时不知道里面的细菌数量每天会是多少，却可以提出一个变化规律：细菌越多，同样一小段时间里新增的细菌也越多。如果把数量记成 $P(t)$，这句话就把“现在有多少”和“现在增长多快”联系起来了。微分方程要做的，正是从这样的联系出发，找出数量随时间变化的函数。

咖啡冷却也有类似的关系，只是决定降温快慢的变成了温差；弹簧振动更复杂一些，当前位置和速度会一起影响加速度。我们会反复在现象、方程和解之间来回走。先把现象说清楚，方程才有来处；把解放回现象中检查，计算才有落点。

从求一个数，到找一整条曲线

不妨先离开具体单位，看看这个最简单的例子：

这里的 $y$ 是未知函数 $y(t)$ 的简写，$y'$ 是它对 $t$ 的导数。把式子读成一句话，就是：“在每一个时刻，函数的变化率都等于它当前数值的两倍。”

如果有人回答“$y=3$”，我们需要追问：是说某个时刻函数值为 $3$，还是说函数永远等于 $3$？前一种回答只给了曲线上的一个点，远远不够；后一种回答指的是常函数 $y(t)=3$，它的导数为 $0$，而右边 $2y=6$，并不满足方程。

那么，什么函数有希望？从微积分里，我们知道指数函数求导后仍然保持指数函数的样子。试一试 $y(t)=e^{2t}$：

等式对每个实数 $t$ 都成立，所以它确实是一个解。再试 $y(t)=3e^{2t}$，求导得到 $6e^{2t}$，恰好也等于自身的两倍。实际上，对任意实常数 $C$，

都满足这个方程。$C=0$ 给出一直贴在横轴上的零函数；$C>0$ 给出向上增长的曲线；$C<0$ 给出数值越来越负的曲线。数学方程允许这些解，若它具体描述人口，我们还要根据人口不能为负这一点限制初值。

请停下来比较一下两种求解。代数方程 $x^2=4$ 要求某个数满足关系；这里要求函数和它的导数在一整段时间里始终配合。所以微分方程的答案通常要写成 $y(t)=\cdots$，而不能只交出一个数。

导数已经告诉了我们什么

导数的含义并没有因为课程换了名字而改变。若一个量在时刻 $t$ 的值是 $y(t)$，经过一小段时间 $h$，可用

估计新值。这里的近似来自可微性，只适合足够小的时间步长。对于 $y'=2y$，如果当前 $y=3$，当前斜率就是 $6$；取一个很小的正步长，曲线会从这个位置向上走。

注意这并不意味着以后一直以斜率 $6$ 增长。函数值改变后，右边的 $2y$ 也会改变，下一刻的斜率随之更新。这种“状态影响变化率，变化率又改变状态”的关系，是许多微分方程模型的共同结构。

更一般的一阶方程常写成

右边的 $f$ 是已知规则。它可以只看时间，如 $y'=\cos t$；可以只看当前状态，如 $y'=2y$；也可以两者都看，如 $y'=t-y$。求解时未知的是沿着时间走下去的函数 $y(t)$，并不是右边这个规则。

下面的交互把几种变化放在一起。移动时间探针时，可以先看当前函数值，再看切线斜率：数值高，不一定意味着变化快；变化快慢最终要由各自的方程决定。

判断一个函数是不是解，要把它放回去

现在即使还不会系统求解，也已经能做一件很有用的事：检查别人给出的答案。方法只有一个核心动作——求出需要的导数，代回原方程，看等式是否在所讨论的区间内处处成立。

一个算完的验证例子

假设要检查函数

是否满足方程

先求导。常数 $2$ 的导数是 $0$，指数项求导要乘上指数中 $t$ 的系数 $-3$，所以

再把函数和导数一起代入左边：

左边确实等于右边，而且没有限制 $t$ 的分母、根号或对数，所以这个函数在整个实数轴上都是方程的解。它还有一个容易看懂的趋势：随着 $t$ 增大，指数项逐渐变小，$y(t)$ 靠近 $2$。这个趋势也能从方程改写成的 $y'=3(2-y)$ 中读出：在 $y>2$ 的地方，导数为负。

如果候选函数换成 $y=2+5e^{-2t}$，那么

结果不等于 $6$。它虽然也靠近 $2$，图像看起来甚至很相似，却不是这个方程的解。趋势相符可以帮助检查，不能代替代回验证。

在一个点上碰巧成立，还不够

对于 $y'=2y$，试着代入 $y=t^2$，会得到

这个等式在 $t=0$ 和 $t=1$ 处成立，在别处通常不成立。因此 $y=t^2$ 不是这个微分方程在任何非空开区间上的解。微分方程要求的是持续遵守变化规律，几个孤立时刻的巧合不算。

我们据此把“解”说得完整一些：在某个区间上，函数具有方程要求的各阶导数，代入后又在区间内每一点满足等式，这个函数就是方程在该区间上的解。它的图像叫解曲线。研究初值附近的解时，通常用包含初始时刻的开区间；实际模型则常只讨论其中从初始时刻向后的部分。

解的区间也是答案的一部分

考虑另一个候选函数：

它的导数是

所以它满足 $y'=y^2$。但在 $t=2$ 处，函数根本没有定义。我们可以说它在 $(-\infty,2)$ 上是解，也可以说同一个表达式在 $(2,\infty)$ 上是解，却不能说它在整个实数轴上是一条解。

若另外要求 $y(0)=1/2$，所讨论的解区间就要包含 $0$，因此对应的最大区间是 $(-\infty,2)$。虽然公式还能在 $t>2$ 计算，那一段与经过初始点的这一段之间隔着无法跨越的发散点，不能把两段直接连成一个初值问题的解。

这个例子还提醒我们：方程右边 $y^2$ 本身处处有意义，并不保证每个解都能一直存在下去。解可能在有限时间内越长越大，最终无法以有限函数值延伸。更系统的存在性与唯一性条件，我们会在后面单独讨论。

“常”说的是自变量，不是变化速度

“常微分方程”这个名字很容易让人误会成“变化率是常数的方程”。其实其中的“常”是在区分普通导数与偏导数，和变化率是否恒定没有关系。

如果把一杯充分搅拌的咖啡看成温度均匀的整体，用 $T(t)$ 描述它，我们只让温度依赖一个自变量——时间。方程里出现 $dT/dt$，这是常微分方程的情形。哪怕 $T'$ 每时每刻都在变，仍然叫常微分方程。

如果研究一块金属板，板中心和边缘在同一时刻可能温度不同，就需要用 $u(x,y,t)$ 记录不同位置、不同时间的温度。它有多个自变量，描述这些变化的方程可能同时出现 $\partial u/\partial t$、$\partial^2u/\partial x^2$ 等偏导数，那就进入了偏微分方程的范围。

这里还有一个区别：未知函数有几个，与自变量有几个，是两回事。同时研究两杯互相传热的水，可以有 $T_1(t)$、$T_2(t)$ 两个未知函数；只要它们都只依赖时间，描述它们的联立方程仍然是常微分方程组。后面讲线性系统时，我们会把多个量一起放进状态向量里研究。

我们在本课通常用 $t$ 表示时间，但常微分方程的自变量也可以是空间位置、距离等。判断依据是未知函数依赖的自变量结构，并不取决于字母选了什么。

先认清方程的结构，再选择解法

遇到一条新方程，先看它需要几阶导数、未知函数怎样出现，会让后面的求解更有方向。就像修理一个装置前先认清部件，分类是在识别结构。

阶数：看最高求到了几次导数

位置函数 $x(t)$ 的一次导数是速度，二次导数是加速度。因此，描述“速度由位置决定”的模型和描述“加速度由位置、速度决定”的模型，在信息结构上不同。

方程中实际出现的最高阶导数，决定方程的阶数。例如

是一阶方程，而

是二阶方程。若最高出现的是 $u'''$，则是三阶。

不要把“导数的次数”与“导数整体的幂次”混在一起。方程 $(y')^2+y=0$ 只出现一阶导数，因而仍是一阶方程；平方使它具有另一种结构上的复杂性，却没有把一阶导数变成二阶导数。

还要先看清是否有项可以消去，以及最高阶导数的系数在讨论区间内是否非零。例如 $t y''+y'=0$ 在 $t\ne0$ 的区间上是通常的二阶方程；在 $t=0$ 处，最高阶项的系数消失，不能直接除以 $t$ 后假装什么都没发生。后面把方程整理成标准形式时，这类点会影响我们能使用的结论和解的区间。

线性：看未知函数如何参与运算

看看下面两个方程：

第一个有 $t^2$，却是线性的；第二个把 $t^2y$ 换成 $y^2$，就变成非线性的。原因是线性所限制的对象是未知函数及其导数。自变量 $t$ 是我们输入的数，$t^2$ 可以当作已知系数；$y$ 才是正在寻找的函数，把它平方会改变方程的结构。

一个 $n$ 阶线性方程可以写成

其中各个 $a_j(t)$ 和 $g(t)$ 都是已知函数，所讨论的通常区间上要求 $a_n(t)\ne0$。未知函数及其导数只以一次方出现，彼此不相乘，也不被放进平方根、对数、正弦等函数里。

用几个例子把判断做实。$y''+(\cos t)y'+e^t y=t^2$ 是二阶线性方程，系数复杂不妨碍线性。$y''+yy'=0$ 是二阶非线性方程，因为 $y$ 与 $y'$ 相乘；$y''+\sin y=0$ 也是二阶非线性方程，因为正弦作用在未知函数上。$y'=y(1-y)$ 展开后是 $y'=y-y^2$，所以是一阶非线性方程。

“线性”也不意味着解曲线必须是直线。刚刚见到的 $y'=2y$ 是线性方程，它的解却是指数曲线。线性说的是方程怎样使用未知函数，不是在描述图像长得直不直。

齐次：在线性结构里看有没有独立输入

在线性方程中，把含 $y$ 及其导数的项放在左边，剩下的已知项放在右边。若右边是零函数，就叫齐次线性方程；若不是零函数，就叫非齐次线性方程。例如

是齐次的，而

是非齐次的。后一条方程的右边在某些时刻会等于零，仍然不改变分类，因为判断的是它是否在整个区间上恒等于零。

在模型里，这个独立项常常对应外部输入，例如持续供热或电源驱动。但分类首先是一件数学上的事，要根据选定变量下的方程判断，不能只凭“现实里有没有外力”来猜。后面一阶方程中还会出现另一个术语“齐次型方程”，含义不同，届时我们会重新说明。

下面的练习器可以帮助你练习分类。每次都先说出依据：最高导数是哪一个，未知函数有没有相乘或被套入其他函数，再看线性结构右端是否恒为零。

通解是一族可能，初始条件说明从哪里开始

前面验证过，$y=Ce^{2t}$ 对每个常数 $C$ 都满足 $y'=2y$。这一族覆盖了该方程所有解的表达式，叫作它的通解。任意选定一个常数，例如 $C=4$，就得到一个具体解，也常叫特解。

这里说“覆盖了所有解”不能只靠猜。对于任意一个满足 $y'=2y$ 的可微函数，利用乘积求导法则，有

因此 $e^{-2t}y(t)$ 在所讨论的区间上是常数，记成 $C$，就得到 $y=Ce^{2t}$。这说明任何解都没有跑出这个函数族，而不只是说明这个函数族中的成员都是解。我们这里只借用了乘积求导，如何主动找到这样的乘子，会留到一阶线性方程中解释。

一个初始点怎样选定常数

假如我们要求这条曲线在 $t=0$ 时取值为 $4$，就增加条件

代入通解得到 $Ce^0=C=4$，因此选出的函数是

把变化规律和起点合起来，写成

就是一个初值问题。它要求解同时满足两件事：沿途的变化率服从方程，在指定时刻经过指定状态。验证答案时，两件事都要检查。

初始时刻也不一定是零。如果题目给出 $y(1)=6$，由 $Ce^2=6$ 得到 $C=6e^{-2}$，于是

写成这种形式，一眼就能看见它在 $t=1$ 时等于 $6$。所谓“初始”，说的是我们用来指定状态的那个时刻，并不要求坐标原点一定放在那里。

图中展示的是初值能唯一确定解的典型情形。对刚才的指数方程，我们已经通过常数 $C$ 的计算说明了唯一性；对任意微分方程，不能只凭“给了一个点”就断定一定有且只有一个解。有些方程没有满足指定初值的解，也有些会有多条。后面学存在唯一性时，我们会解释需要检查什么条件。

同样，看到一个含任意常数的解族，也别立刻认定它已经包含全部解。某些求解步骤会丢掉常数解，某些非线性方程还可能有不属于所求函数族的解。现在先养成一个习惯：区分“我找到了一族解”和“我证明这就是所有解”。

为什么二阶问题通常还要给初始速度

想象一个小车，在 $t=0$ 时位于轨道的同一个位置。它可能静止，也可能正在向右运动，还可能正在向左运动。只给位置，显然不能区分接下来会发生什么。

用一个可以直接积分的模型算一遍。假设小车在一段时间里保持加速度 $2\,\mathrm{m/s^2}$，位置为 $x(t)$，时间以秒计，那么

积分一次得到速度 $x'=2t+C_1$，再积分得到位置

如果已知 $x(0)=3\,\mathrm m$，只能确定 $C_2=3$，$C_1$ 仍然没有定。再给初始速度 $x'(0)=-1\,\mathrm{m/s}$，才得到 $C_1=-1$，从而

核对一下：$x''=2$，$x(0)=3$，$x'(0)=-1$，三项要求都满足。由于初始速度是负的，小车开始时向左走，虽然它的加速度始终向右；到 $t=1/2$ 秒，速度变成零，随后才向右走。这也说明导数的正负必须对应到正确的物理量，正加速度不等于位置一定在增加。

一般的 $n$ 阶初值问题，会在同一时刻指定函数值和前 $n-1$ 阶导数。在适当条件下，这些信息能确定唯一解。上述二阶例子中，每积分一次出现一个常数，是这个规则最容易看见的起点。

四个模型，把现象一步步写成方程

现在我们已经会认方程、验答案，也知道初值的作用。接下来把这些语言放回真实情境中。这里的参数都是为了练习设置的假想数值；每个模型都建立在明确假设上，我们先练习把假设翻译准确，再讨论什么时候它还适用。

人口增长：每个个体平均贡献多少新增数量

培养皿里细菌越多，短时间内发生分裂的机会通常也越多。我们先假设营养充足、环境保持稳定，没有迁入迁出，并用连续可微的函数近似大量个体的总数量。个体数本来是整数，把它连续化，是为了描述整体趋势的一个近似。

设 $P(t)$ 为数量，时间以小时计。若每个个体平均每小时贡献的净增长比例是常数 $r$，那么在很短的 $\Delta t$ 小时内，新增数量近似为 $rP(t)\Delta t$。除以 $\Delta t$，再用导数表示瞬时变化率，就得到

$P'$ 的单位是“个每小时”，因此 $r$ 的单位是“每小时”。这句话说的是相对增长率 $P'/P=r$ 保持不变，并不是每小时增加的个数保持不变。当前数量翻倍时，当前增长速度也翻倍。

设 $r=0.3\,\mathrm{h}^{-1}$，初始数量 $P(0)=800$。照着前面的指数函数验证思路，候选解是

求导得 $P'=240e^{0.3t}=0.3P$，初值也对。在开始时，增长速度是 $240$ 个每小时；模型预测数量翻倍的时刻满足 $e^{0.3t}=2$，所以

这里的 $r$ 是净增长率，可以理解为平均出生率减去平均死亡率。若 $r<0$，同一种方程描述衰减；若 $r=0$，数量不变。人口模型通常只考虑 $P\ge0$。

恒定正增长率会使指数函数一直增大，真实培养皿却没有无限的营养和空间。若要描述资源压力，一种后续修正是让每个个体的净增长率随着数量增加而下降，例如引入承载量 $K>0$，写成

现在先读懂这句话就够了：当 $P$ 远小于 $K$ 时，括号接近 $1$，仍然近似指数增长；当 $P$ 接近 $K$ 时，增长逐渐变慢；$P=K$ 时增长率为零。这就是后面要学习的逻辑斯蒂模型。我们会进一步求解，但此刻最该看清的是：换一条现实假设，方程的结构也会跟着改变。

咖啡冷却：决定快慢的是温差

一杯热咖啡放在房间里，通常刚开始降温较快，后来越来越慢。为了把这个现象写成方程，我们把咖啡看成内部温度均匀的整体，假设室温保持不变，而且这段温度范围内的换热效果可以用一个常数表示。

设咖啡温度为 $T(t)$，环境温度为 $T_a$，冷却系数为 $k>0$。先把“温差越大，变化越快”写成变化率的大小与 $|T-T_a|$ 成正比，再把变化方向放进去，就得到

负号的作用可以在两种情形下检查。咖啡比房间热时，$T-T_a>0$，于是 $T'<0$，温度下降；一杯冷饮比房间冷时，$T-T_a<0$，于是 $T'>0$，温度回升。同一个方程能描述冷却和回温，因为它让温度朝环境温度靠近。

设室温 $T_a=24^\circ\mathrm C$，咖啡初温 $84^\circ\mathrm C$，时间以分钟计，$k=0.1\,\mathrm{min}^{-1}$。初值问题为

开始时 $T'(0)=-0.1(84-24)=-6$，单位是摄氏度每分钟。它表示初始瞬间的降温速率，并不表示以后每分钟都降 $6$ 度。

利用指数函数，我们可以检查候选解

它在 $t=0$ 时为 $84$，导数是 $-6e^{-0.1t}$；右边 $-0.1(T-24)$ 也等于 $-6e^{-0.1t}$，所以验证通过。十分钟后模型给出 $T(10)=24+60/e\approx46.07^\circ\mathrm C$。若问多久降到 $54^\circ\mathrm C$，就是温差从 $60$ 度变为 $30$ 度，于是

在这个理想模型里，只要初始温度不等于室温，温差就会在每个有限时刻保持非零，逐渐趋近于零。实际测量有分辨率，我们会在某个时候读到“已经是室温”，两句话并不冲突。若环境也被显著加热，或者咖啡内部温度并不均匀，就要调整原来的建模假设。

RC 电路：储存电荷让响应需要时间

电源接上以后，电容上的电压通常不会立刻跳到电源电压。原因是电容需要逐渐积累电荷，而电流正是电荷积累的速度。这个故事只要写清楚两个元件的关系，就会自然出现导数。

考虑电阻 $R>0$ 与电容 $C>0$ 串联的理想电路，设输入电压为 $V_{\mathrm{in}}(t)$，电容电压为 $V_C(t)$。电容上的电荷满足 $Q=CV_C$。假设电容值不随时间改变，电流就满足

电阻上的电压是 $RI$。沿回路按一致方向计量电压，电阻电压与电容电压之和等于输入电压，所以

把 $I=CV_C'$ 代进去，得到

这是一阶线性方程，未知函数是电容电压。若想得到电流，可以在得到 $V_C$ 后再通过 $I=CV_C'$ 计算。不要把“研究电路”自动等同于“未知量一定是电流”。

假设 $R=1000\,\Omega$，$C=0.002\,\mathrm F$，则 $RC=2\,\mathrm s$。从 $t=0$ 起接入恒定 $10\,\mathrm V$ 电源，电容初始未充电，那么在接通后的时段，模型写为

候选解 $V_C(t)=10(1-e^{-t/2})$ 在开始时确实是零，且

所以它满足模型。电流为 $I=0.002\cdot5e^{-t/2}=0.01e^{-t/2}\,\mathrm A$，开始时最大，随后衰减。电容电压逐渐接近 $10\,\mathrm V$，电阻两端的压差越来越小，电流自然也越来越小。

把方程整理成 $V_C'=(10-V_C)/2$，你会发现它与冷却模型很相似：变化率由“目标值与当前值的差”决定。这个相似性会在后面的解法中得到统一解释。这里的 $RC$ 具有时间单位，指数中的 $t/(RC)$ 因而没有单位，这也是检查公式是否合理的一条线索。

弹簧振子：位置和速度一起决定加速度

把一个小物块连在水平弹簧上，拉开一点再松手。物块离平衡位置越远，弹簧往回拉的力通常越大；若还有阻尼，运动越快，阻碍运动的力也越大。两种力作用在一起，决定的是加速度，因此方程会出现二阶导数。

设 $x(t)$ 是相对平衡位置的位移，向右为正。质量为 $m>0$，弹簧刚度为 $k>0$，阻尼系数为 $c\ge0$。这里的 $k$ 表示弹簧刚度，和前面冷却模型中的 $k$ 是不同参数，只是各自在本模型中使用的常见记号。

在弹簧伸缩不大、回复力可以近似与位移成正比的范围内，弹簧力是 $-kx$。若阻尼力近似与速度成正比且方向相反，则为 $-cx'$。再设外部驱动力为 $F(t)$，由“质量乘加速度等于合力”得到

也就是

每一项都具有力的单位：$m$ 用千克，$x$ 用米，$t$ 用秒时，$k$ 的单位是牛顿每米，$c$ 的单位是牛顿秒每米。若用竖直弹簧并从重力作用下的平衡位置测位移，重力与静态伸长产生的弹簧力抵消，也会得到相同形式；选对位置原点，能让方程更清楚。

先取一个没有阻尼、也没有外力的例子。设 $m=1\,\mathrm{kg}$、$k=4\,\mathrm{N/m}$，物块初始向右偏离 $0.1\,\mathrm m$ 后静止释放，则

我们不急着推导全部解法，先验证 $x(t)=0.1\cos(2t)$。求导两次得到

因此 $x''+4x=0$，初始位置和初始速度也都正确。这个解描述来回振动，周期为 $\pi$ 秒。它一直保持相同振幅，是因为模型特意忽略了阻尼。加入阻尼后振幅怎样变化，加入周期外力后会不会越振越大，将是二阶方程部分要回答的问题。

从文字到答案，中间还有几次检查

四个模型的故事不同，写方程时的思考顺序却可以重复使用。先选定正在变化的量，说明它的输入、输出和单位；接着把影响变化的因素说清楚，再把这句话变成导数关系。然后加入起始状态，最后把方程与候选解放回现象中，检查符号、单位和适用范围。

比如一段文字说“数量每小时增加 $20$ 个”，它对应 $P'=20$；说“每小时净增长率为当前数量的 $20\%$”，在连续变化率的解释下对应 $P'=0.2P$，其中 $0.2$ 的单位是每小时。前者每小时增加同样多，后者当前数量越大就增加越多。一句话中的“个”和“比例”，会让模型从直线变化转向指数变化。

再比如小车匀加速模型 $x=t^2-t+3$ 在数学上对所有实数 $t$ 有定义，但如果题目说小车只在前五秒保持恒定加速度，那么它对现实的预测范围就只能先放在 $0\le t\le5$。函数的数学定义域、微分方程解的区间、现实假设的有效时间范围，彼此相关，却不能混为一谈。

我们也不必要求每个方程都立刻写出一个漂亮公式。一个模型建立以后，可以先从右端正负判断增加还是减少，从右端为零寻找可能不变的状态，再想办法求解或近似计算。下一章的方向场就是沿着这个想法，把许多位置上的斜率画出来，让局部规则逐渐显出整条曲线的走向。

练习：把定义用到具体问题上

验证函数，而不是只看外形

判断 $y_1(t)=3+2e^{-4t}$ 和 $y_2(t)=3+2e^{-2t}$ 是否满足 $y'+4y=12$。若满足，再检查初值 $y(0)=5$，并说明解的区间。

分类时盯住未知函数

判断下面四个方程的阶数与线性；对线性方程再判断齐次性：$y''+t^3y'=e^t$，$(y')^3+y=t$，$y''+\sin(t)y=0$，$y''+\sin(y)=0$。

初始时刻可以不在零点

求解可以直接积分的初值问题 $y'=6t$，$y(2)=7$。再说明它的图像与通解之间的关系。

同一个表达式，初值决定讨论哪一段

验证 $y(t)=1/(3-t)$ 满足 $y'=y^2$。若给定 $y(0)=1/3$，最大解区间是什么？若改为 $y(4)=-1$ 呢？

从回温故事写出初值问题

一杯温度为 $8^\circ\mathrm C$ 的饮料放进 $26^\circ\mathrm C$ 的房间，假设饮料内部温度均匀、室温不变，温度变化率与温差成正比，系数为 $0.05\,\mathrm{min}^{-1}$。写出初值问题，求初始变化率，并验证候选函数 $T(t)=26-18e^{-0.05t}$。

两次积分与两条初始信息

假想一辆小车在研究时段内满足 $x''=-4$，时间以秒计，位置以米计，初始位置 $x(0)=2$，初始速度 $x'(0)=6$。求位置函数，并求它第一次速度为零的时刻及此时的位置。

做完这些练习，再回到一开始的 $y'=2y$：你现在能说明它在找什么，怎样检查一个答案，为什么会有任意常数，以及初始点怎样进入问题。接下来我们会把“每个状态给出一个斜率”真的画成图。即使一时求不出函数公式，也可以先看清曲线从哪里出发、向哪里走。