常微分方程研究什么

微积分里我们已经熟悉导数：它描述一个量在某一刻怎样变化。常微分方程把这个想法反过来用：如果我们知道一个量的变化率由什么决定，能不能由此理解这个量本身会怎样走下去？

所以，这门课一开始不急着求解。先要看清楚微分方程在问什么。人口增长、热饮冷却、电路电流、弹簧振子看起来相距很远，但它们都有同一种结构：当前状态给出变化率，变化率又推动状态继续改变。

常微分方程连接变化规律与预测趋势的概念图，包含人口增长、热饮冷却、电路响应和弹簧振子四个现象。 — 不同现象内在相通：微分方程连接当前状态与变化率，揭示变化规律并预测未来趋势。

从量到变化率

普通方程常常直接问“量是多少”。例如 $x^2-3x+2=0$ 问的是哪些数 $x$ 能让等式成立。微分方程问得更像一句动态规则：某个未知函数的变化率是多少，它和时间、位置、温度、电流、人口数量之间有什么关系。

如果未知量记作 $y(t)$ ，最典型的一阶常微分方程可以写成

\frac{dy}{dt}=f(t,y)

这句话读作：在时刻 $t$ ，当状态是 $y$ 时，状态的变化率由函数 $f$ 决定。右边可以只依赖 $t$ ，也可以只依赖 $y$ ，还可以同时依赖二者。

微分方程的重点不是把导数符号装进方程里，而是用导数表达变化规律。读一个微分方程时，先问“它规定了什么量的变化率”，再问“这个变化率由哪些量决定”。

下面这个交互把四个入门模型放在同一张图里。拖动时间滑块时，注意曲线上当前点的切线：切线越陡，变化越快；切线接近水平，说明变化正在变慢或暂时停止。

常微分方程与偏微分方程

微分方程按照未知函数依赖的自变量，可以先分成两大类。

常微分方程研究一个或多个未知函数相对于一个自变量的导数。这个自变量常常是时间。例如温度 $T(t)$ 、人口 $P(t)$ 、电流 $I(t)$ 、位置 $x(t)$ 都只把时间作为自变量。方程中出现的是普通导数，如 $T'(t)$ 、、。

偏微分方程研究未知函数相对于多个自变量的偏导数。例如薄板温度可能写成 $u(x,y,t)$ ，它同时依赖空间位置和时间；空气流速、声波、电磁场也常常需要多个自变量。方程中会出现 $\partial u/\partial t$ 、 $\partial u/\partial x$ 这样的偏导数。

常微分方程与偏微分方程对照图，左侧为 T(t) 随时间变化曲线，右侧为薄板温度分布热图 u(x,y,t)。 — 常微分方程关注一个自变量上的变化，偏微分方程关注多个自变量共同决定的变化。

本课程主要研究常微分方程。很多空间分布问题会留给偏微分方程课程；但本课建立的变化率、初值、稳定性和建模观念，仍然是后续学习的底层语言。

方程的基本标签

学习微分方程时，先给方程贴几个基本标签，会比一上来寻找解法稳得多。这些标签不是形式主义，它们会决定我们能用哪些工具、能期待什么样的解。

阶数

方程的阶数由其中出现的最高阶导数决定。

y'=3y

是一阶方程，因为最高只出现 $y'$ 。

mx''+cx'+kx=0

是二阶方程，因为出现了 $x''$ 。它常用于弹簧、振动和电路类比模型。

中文教学信息图，展示位置曲线 x(t)、速度 x'(t)、加速度 x''(t)，说明最高阶导数决定微分方程阶数。 — 阶数由方程中出现的最高阶导数决定：含 x' 是一阶，含 x'' 是二阶。

阶数也暗示了“当前状态”需要多少信息。一阶模型通常给一个初始值就能确定一条解曲线；二阶位置模型通常还需要初始位置和初始速度。

线性与非线性

对未知函数 $y$ 来说，一个 $n$ 阶线性方程可以写成

a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t)

这里的系数 $a_0(t),a_1(t),\ldots,a_n(t)$ 可以随自变量变化，但未知函数及其导数只能以一次方出现，不能彼此相乘，不能被放进、、平方根之类的函数里。

线性与非线性微分方程对照图，左侧展示线性方程中 y 和 y' 只一次方且互不相乘，右侧展示 y²、sin y、yy' 等非线性形式。 — 线性方程只看未知函数及其导数如何出现；平方、相乘或套函数都会破坏线性。

例如 $y'+t^2y=\sin t$ 是线性的，因为 $t^2$ 和 $\sin t$ 都不是未知函数。、、都是非线性的。

判断线性时，不要问“方程里有没有 $t^2$ 、 $\sin t$ 、指数函数”。要问未知函数及其导数怎样出现。 $t^2y$ 仍然是线性的， $y^2$ 才破坏线性。

齐次与非齐次

在线性方程里，右端 $g(t)$ 为 $0$ 时叫齐次方程；右端不是 $0$ 时叫非齐次方程。

y'+2y=0

是齐次方程。

y'+2y=\cos t

是非齐次方程。右端可以理解为外部输入、外力、热源、电压源或持续补给。

在一阶方程的后续章节里，“齐次型方程”还会有另一种专门含义。遇到这个词时要看上下文：现在先把它放在线性方程结构中理解。

下面的练习器可以用来训练这三个标签。先自己判断，再看反馈里给出的依据。

解、通解、特解与初值问题

微分方程的解不是一个数，而是一个函数。函数 $y(t)$ 如果代入方程后让等式在某个区间内成立，它就是这个微分方程在该区间上的一个解。

例如

y'=3y

的一个解是 $y(t)=e^{3t}$ ，因为它的导数仍然是 $3e^{3t}$ 。但这不是唯一的解。对任意常数 $C$ ，

y(t)=Ce^{3t}

都满足方程。这一族带任意常数的解叫通解。给定一个初始条件，例如 $y(0)=5$ ，就会从通解里选出 $C=5$ 的那一条：

y(t)=5e^{3t}

这条被初始条件选中的解叫特解。把微分方程和初始条件放在一起，就是初值问题。

通解的一族浅色解曲线中，一条深色特解曲线穿过红色初始点，并标出初值条件 y(t0)=y0。 — 初值条件从通解的一族曲线中选出唯一特解。

初始条件不是把方程“再求导一次”，也不是方程右边的一项。它是一条额外信息，用来说明从哪一个状态开始。方程规定变化规律，初始条件规定起点。

四个入门模型

先看四个模型，不求完整解，只练习把现实描述翻译成变化率语言。

人口增长

如果一个种群在短时间内资源充足，常见的第一近似是假设增长率与当前人口成正比。设 $P(t)$ 为人口数量，比例常数为 $r$ ，则

\frac{dP}{dt}=rP

这个方程说：人口越多，单位时间内新增的人也越多。它适合表达早期增长，但不该无限外推到资源有限的长期情形。后面我们会用 logistic 模型修正这一点。

冷却过程

热饮放在室温环境中，温度下降快慢通常与“热饮温度和环境温度的差”有关。设 $T(t)$ 为热饮温度， $T_{\mathrm{env}}$ 为环境温度， $k>0$ ，则

\frac{dT}{dt}=-k\left(T-T_{\mathrm{env}}\right)

当热饮比环境热时， $T-T_{\mathrm{env}}>0$ ，所以右边为负，温度下降；当温度接近环境温度时，右边接近 $0$ ，冷却变慢。

电路电流

在简单 RC 电路中，电容上的电压或电路中的电流会随输入电压变化。一个典型一阶模型可以写成

RC\frac{dV_C}{dt}+V_C=V_{\mathrm{in}}(t)

这里 $R$ 是电阻， $C$ 是电容， $V_C(t)$ 是电容电压。左边描述电路自身的响应，右边是外部输入。这个结构以后会帮助我们理解暂态响应和稳态响应。

弹簧振子

弹簧振子通常需要二阶方程，因为位置的变化涉及速度，速度的变化涉及加速度。设 $x(t)$ 为位移，质量为 $m$ ，阻尼系数为 $c$ ，弹簧常数为 $k$ ，则

mx''+cx'+kx=0

这里 $mx''$ 来自惯性， $cx'$ 表示阻尼， $kx$ 表示弹簧回复力。这个例子现在只作为动机；二阶线性方程会在课程中段系统处理。

从现象写成方程

把文字情境写成常微分方程时，可以按一个固定顺序走。这个顺序不会替你完成建模判断，但能减少混乱。

ODE 建模流程闭环图，包含选变量和单位、写变化率假设、给初始条件、解释解的趋势，中间为 dy/dt=f(t,y)。 — 从现象出发建立一阶微分方程模型的基本闭环。

题目：一杯咖啡初温为 $90^\circ\mathrm{C}$ ，放在 $22^\circ\mathrm{C}$ 的房间里。假设咖啡冷却速率与它和室温的温差成正比，比例常数为 $k=0.08$ ，时间单位为分钟。写出初值问题，并解释方程中负号的意义。

先选变量和单位。令 $T(t)$ 表示 $t$ 分钟后咖啡的温度，单位是摄氏度。环境温度是常数 $22$ 。

再把“冷却速率与温差成正比”翻译成变化率。温差是 $T-22$ 。因为咖啡温度高于室温时应当下降，所以变化率要取负：

因此这个情境对应的初值问题是

\frac{dT}{dt}=-0.08(T-22),\qquad T(0)=90

这一步的目标不是马上求出 $T(t)$ ，而是把变化规律、参数、单位和初始状态摆清楚。

本章练习

练习 1：判断下列方程的阶数，并说明依据。

$y'+4y=t$
$x''+3x'+2x=0$

第一个方程是一阶，因为最高阶导数是 $y'$ 。第二个方程是二阶，因为最高阶导数是 $x''$ 。第三个方程是三阶，因为最高阶导数是 $d^3u/dt^3$ 。

练习 2：判断下列方程对未知函数 $y(t)$ 是否线性。

$y'+t^2y=e^{-t}$
$y'=y(1-y)$

第一个方程线性， $t^2$ 是系数，未知函数 $y$ 只一次方出现。第二个方程非线性，因为右边有 $y^2$ 。第三个方程线性， $\sin t$ 是自变量的函数，只是 $y$ 的系数。第四个方程非线性，因为未知函数出现在中。

练习 3：一个水箱中盐水的含盐量为 $S(t)$ 克。每分钟流入和流出都保持稳定，模型化后得到

\frac{dS}{dt}=12-0.1S

不求解，说明右端两项分别代表什么，并判断当 $S=50$ 与 $S=200$ 时含盐量是在增加还是减少。

常数项 $12$ 可以理解为每分钟流入的盐量， $0.1S$ 可以理解为随当前含盐量增加而增加的流出盐量。当 $S=50$ 时，右端为 $12-5=7$ ，含盐量增加。当 $S=200$ 时，右端为，含盐量减少。

这一章要带走的不是某个解法公式，而是一种读题顺序：先找变化的量，再找变化率，最后用初始条件把可能的运动变成具体的一条轨迹。下一章我们会把这种轨迹画出来，即使暂时还没有显式公式，也能从方向场读出解的大致行为。

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 1 章：常微分方程研究什么 | 自在学