把一个很小的正数加到 1 上，再开平方、减去 1，答案理应是个小正数。计算机却可能给你一个零。公式没有抄错，程序也没有报错，问题出在中间的一步：有限位数装不下那一点差别。

这门课从这样的计算开始。我会跟你一起追踪数字是在哪里变了样，怎样改写公式能保住信息，又怎样判断一个结果值得信到什么程度。求根、拟合、积分、解方程组，都会遇到同一个要求：算法不仅要给出答案，还要留下检查答案的依据。

开始前，需要哪些基础

微积分里的导数、积分、Taylor 展开和中值定理会经常用到。线性代数需要熟悉矩阵乘法、线性方程组、向量内积、正交投影与特征值。如果你能解释“把一个向量投影到子空间”在做什么，后面的最小二乘和 QR 就容易接上；若只记得矩阵运算规则，读到那里可以回看线性代数相应部分。

第 9 章讨论常微分方程数值解，需要知道初值问题与线性微分方程的解。我们会从一步更新推导误差怎样传播，比较 Euler、中点法和 RK4，已有的常微分方程基础能帮你把数值轨迹与真实解联系起来。

不必提前掌握某一种编程语言。例题会展开关键计算，交互里也能逐步查看中间量。读到最后一章时，可以尝试运行给出的短 Python 程序；暂时不熟悉语法，也能沿着正文核对它计算的对象、权重和误差界。

一路要练习的判断

开头两章把容易混在一起的事情分开。问题本身对输入很敏感，与算法在计算中丢失信息，是两种不同的困难。残差很小也不等于解的误差很小：同样大小的残差，沿不同方向经过矩阵的逆，可能被放大得很不一样。

到了求根和逼近，你会亲自看到方法各有条件。Newton 迭代可能很快，也可能在两个点之间来回跳；插值次数增加，误差未必减小；差分步长缩得太小，读数中的微小误差反而会占上风。这些失败例子不是附带的提醒，它们会参与方法选择：什么时候保留夹逼区间，什么时候换节点，什么时候停止继续细化。

矩阵计算部分会把算法拆开给你看。消元时交换了行，已经存下的乘子该怎样跟着变；Householder 反射如何同时改变矩阵与右端；一个看起来几乎平行的矩阵，形成正规方程后可能怎样丢掉原本还在的信息。特征值计算则要分别检查值、方向和残差，不能用其中一个替另外两个作保证。

学到微分方程时，我们会把注意力放在每次取样和每次步长决定上。RK4 的中间状态不一定在真实曲线上，自适应方法也可能漏掉取样点之间的变化。最后一章把这些检查习惯用在一个完整积分与参数反求案例中，给某个具体报告值建立严格上下界，并解释内层积分还没算清楚时，外层求根为什么不能猜符号。

章节安排

章节	学习中的主要任务
01 浮点数与误差；02 条件数与稳定算法	追踪舍入与相消，区分问题敏感性、前向误差和后向误差。
03 非线性方程求根；04 插值与逼近	检查迭代条件与失败情形，比较节点选择和数据扰动带来的影响。
05 数值微分与积分	推导差分与求积公式，用误差展开、严格界和反例判断细化是否有效。
06 线性方程组；07 最小二乘与 QR；08 特征值计算	逐步完成分解与迭代，用残差、条件数和几何关系核对结果。
09 ODE 数值解；10 科学计算工作流	处理稳定域、刚性与步长控制，把误差证据写进别人能复算的计算记录。

读到难处时

有些推导需要停下来写。插值余项里为什么能反复使用 Rolle 定理，正交变换为什么保留残差长度，RK4 为什么达到四阶，都不能只靠观察图形得出。第一次阅读可以跟着完整例题把各个量认清；回头重推时，特别留意每条条件在哪一步起作用。

交互也适合带着一个具体猜测去试。例如把幂法的初向量放到缺少主特征方向的位置，看看小残差是否足以说明找到了最大的特征值；或者故意让自适应方法用一个过大的初始步长，观察拒绝之后时间有没有移动。一次只改一个条件，记下预测与结果的差别，通常比不停拖动滑块更容易发现问题。

练习做不下去，不妨分清当前缺的是哪一种信息：公式还没推出来，定理的条件没核实，还是误差尺度没有选对。这门课希望你逐渐能够说明自己为什么相信一个数，也能在证据不足时指出还需要检查什么。这样的习惯会继续用在数值线性代数、偏微分方程数值方法和更复杂的科学计算里。