数论研究什么？

数学从哪里开始？

很多时候，它不是从复杂公式开始的，而是从最普通的“数数”开始的。

你数书包里有几本书，手机里有几条消息，操场上跑了几圈，用到的都是整数。多出来是正数，欠着是负数，刚好没有就是零。

这些数合在一起，就是整数。

数论，就是研究整数的数学。

它关心的问题听起来很朴素：一个数能不能被另一个数整除？两个数有没有共同的因数？一个规律能不能对所有正整数都成立？

别小看这些问题。古希腊数学家研究它们，今天的密码学也离不开它们。你手机里的加密通信，背后就有大量整数在工作。

所以，数论看起来简单，却是很多数学知识的地基。

整数是什么

我们最早认识的数，通常是自然数：

它们很适合用来计数。

但是，自然数有一个问题：它不太会表达“欠”。

比如你有 $3$ 块糖，却吃掉了 $5$ 块。现实里你当然知道：还差 $2$ 块，也就是欠 $2$ 块。

数学里用 $-2$ 来表示这种情况。

于是，我们把正数、零、负数放在一起，得到整数：

这里的 $\mathbb{Z}$ 来自德语 Zahlen，意思是“数”。

整数可以分成三类：

• 正整数：$1, 2, 3, \ldots$
• 零：$0$
• 负整数：$-1, -2, -3, \ldots$

整数有几个很重要的特点。

第一，两个整数相加、相减、相乘，结果还是整数。

比如 $7 - 10 = -3$，$(-4) \times 6 = -24$，都仍然是整数。

但除法不一定。比如 $3 \div 2 = 1.5$，它就不是整数。

第二，整数没有尽头。往右可以一直数下去，往左也可以一直数下去。

第三，整数是一个一个分开的。$3$ 和 $4$ 之间没有别的整数。虽然有 $3.5$，但那已经不是整数了。

这种“一格一格”的感觉，是整数很重要的特点。

数轴与大小比较

理解整数，最直观的方法是把它们放到数轴上。

想象一条水平直线，中间是 $0$。往右是 $1, 2, 3, \ldots$，往左是 $-1, -2, -3, \ldots$。

规则很简单：

数轴上越靠右，数越大；越靠左，数越小。

负数比较大小时，很多人容易弄反。

比如 $-10$ 和 $-1$，哪个更大？

答案是 $-1$ 更大。

因为在数轴上，$-1$ 在 $-10$ 的右边。

可以记住一句话：负数离零越远，反而越小。

绝对值表示一个数到 $0$ 的距离：

比如：

$5$ 和 $-5$ 到 $0$ 的距离一样，方向相反，所以它们互为相反数。

整数的加减乘

整数的加、减、乘，你已经很熟悉。

这里我们换一个角度看：这些规则为什么合理？

加法与减法

加法有几个基本规则。

顺序可以交换：

先算哪一组也不影响结果：

$0$ 加到任何数上，数本身不变：

每个整数都有自己的“反方向”：

所以，减法其实可以看成“加上相反数”。

比如：

这就是“减去负数等于加上正数”的原因。

乘法与负负得正

乘法也有熟悉的规则。

比如交换律：

还有分配律：

“负负得正”不是随便规定的。它是为了让这些规则一直成立。

看一个最小的例子：

把左边按分配律展开：

它必须等于 $0$。

所以：

这就是负负得正的来源。

还有一条很有用的事实：

如果两个整数相乘等于 $0$，那么至少有一个数是 $0$。

也就是说：

这叫零因子律。以后解方程时会经常用到它。

带余除法：整除世界的基石

整数做除法，不一定能除尽。

但除不尽也没关系，因为我们还可以写成“商 + 余数”的形式。

比如 $17$ 颗糖分给 $5$ 个同学，每人 $3$ 颗，还剩 $2$ 颗：

这就是带余除法。

正数的带余除法比较容易。

负数要特别小心。

比如计算 $-13 \div 5$。

有人会写成：

但这样余数是 $-3$，不符合 $0 \leq r < 5$。

正确写法是：

因为 $2$ 才是合法的余数。

当余数是 $0$ 时，我们说 $b$ 整除 $a$，记作：

比如：

因为 $30 = 6 \times 5$。

但：

因为 $7 = 6 \times 1 + 1$，还有余数。

整除有一个常用规则：

如果 $d$ 能整除 $a$，也能整除 $b$，那么 $d$ 也能整除 $a+b$ 和 $a-b$。

比如 $3$ 能整除 $12$ 和 $21$，所以它也能整除 $12+21=33$，也能整除 $21-12=9$。

这个规则以后会经常出现。

良序原理：最小的那个一定存在

先看一句很简单的话：

每一个非空的正整数集合，都有一个最小元素。

这叫良序原理。

听起来像废话，但它很重要。

比如集合 $\{5, 8, 20, 100\}$，最小元素是 $5$。

集合 $\{10, 11, 12, 13, \ldots\}$，最小元素是 $10$。

只要这个集合里装的是正整数，而且不是空的，就一定能找到最小的那个。

但如果换成所有整数，就不行了。

全体整数：

一直往左没有尽头，所以没有最小整数。

良序原理的用处在于：它允许我们说“如果有反例，就取最小的那个反例”。

这句话在很多证明里特别有用。

举个简单的想法：正整数中不存在 $0$ 和 $1$ 之间的数。

因为正整数从 $1$ 开始。你想找一个比 $1$ 小、又大于 $0$ 的正整数，是找不到的。

良序原理就是把这种直觉变成可靠的证明工具。

数学归纳法：一次证明无穷多个命题

数学归纳法用来证明“对所有正整数都成立”的命题。

它的直觉很像多米诺骨牌。

只要第一块倒下，并且每一块倒下都会推倒下一块，那么整排骨牌都会倒下。

归纳法通常分两步。

第一步，证明第一个情况成立。通常是证明 $P(1)$ 成立。

第二步，假设 $P(k)$ 成立，然后证明 $P(k+1)$ 也成立。

完成这两步，就可以说明 $P(n)$ 对所有正整数 $n$ 都成立。

为什么可以这样？

因为如果真的有某个 $P(n)$ 不成立，根据良序原理，就能找到最小的反例。

但第一个情况已经成立，所以这个最小反例不可能是 $1$。

如果它是 $m$，那么 $m-1$ 比它小，应该已经成立。归纳步骤又会推出 $m$ 也成立。

这就矛盾了。

所以反例根本不存在。

来看一个经典公式：

传说高斯小时候很快算出 $1+2+\cdots+100=5050$。他的想法是首尾配对：

一共有 $50$ 对，所以总和是 $50 \times 101 = 5050$。

现在用归纳法证明一般公式。

命题：对所有正整数 $n$，有

使用归纳法时，两个步骤都不能少。

基础步骤负责“第一块骨牌真的倒下”。

归纳步骤负责“每一块都能推倒下一块”。

少了任何一步，证明都不完整。

例题精讲

例题一：整数的基本运算

题目：计算 $(-15) + 8$，$-7 - (-12)$ 以及 $(-3) \times (-4) - 5 \times 2$。

例题二：带余除法的计算

题目：写出 $47 \div 6$ 和 $-23 \div 7$ 的带余除法表达式，指出商和余数。

例题三：整除性的线性组合

题目：证明：若 $3 \mid a$ 且 $3 \mid b$，则 $3 \mid (2a + 5b)$。

例题四：数学归纳法证明平方求和

题目：用数学归纳法证明：对所有正整数 $n$，有

例题五：综合应用——糖果问题

题目：有一堆糖果，按每包 $4$ 颗分余 $3$ 颗，按每包 $5$ 颗分余 $4$ 颗，按每包 $6$ 颗分余 $5$ 颗，此糖果至少有多少颗？

练习

练习一：计算 $(-8) \times 5 + (-3) \times (-6)$，并验证零因子律对整数成立。

练习二：用带余除法定理证明：任意整数要么是偶数，要么是奇数，不存在其他情形。

练习三：用数学归纳法证明：对所有正整数 $n$，有 $2^n \geq n + 1$。

要点收束

这一节的核心，其实就是认识整数。

整数包括正整数、零和负整数。它们可以放在数轴上比较大小，也可以进行加、减、乘等运算。

带余除法告诉我们：整数除法即使除不尽，也能写成“商和余数”的形式。

整除关系从这里开始出现。以后学习因数、倍数、最大公因数、同余时，都会反复用到它。

良序原理说：非空的正整数集合一定有最小元素。

数学归纳法则用这个思想，帮助我们一次证明无穷多个命题。

所以，数论不是一开始就追求复杂技巧。它先把整数这件事讲清楚，再一点点搭起更大的数学世界。

其中 $q$ 是商，$r$ 是余数。

重点是：余数必须从 $0$ 到 $b-1$ 之间选，而且答案只有一种。

余数是：

所以：

商 $7$，余数 $5$。

同理，因为 $3 \mid b$，所以：

其中 $n$ 是整数。

两边相等，所以成立。

所以结果是 $-22$。

零因子律的意思是：如果 $a \times b = 0$，那么 $a$ 和 $b$ 里至少有一个是 $0$。

为什么？

如果两个数都不是 $0$，那么它们的绝对值都至少是 $1$。相乘后绝对值也至少是 $1$，不可能等于 $0$。

所以零因子律在整数中成立。

所以 $r$ 只能是 $0$ 或 $1$。

如果 $r=0$，那么 $a=2q$，是偶数。

如果 $r=1$，那么 $a=2q+1$，是奇数。

因此，任意整数不是偶数就是奇数。$\square$

归纳假设：假设当 $n=k$ 时成立：

归纳步骤：看 $n=k+1$。

由归纳假设：

又因为：

所以：

归纳步骤成立。

因此，$2^n \geq n+1$ 对所有正整数 $n$ 成立。$\square$