数学从哪里开始?
很多时候,它不是从复杂公式开始的,而是从最普通的“数数”开始的。
你数书包里有几本书,手机里有几条消息,操场上跑了几圈,用到的都是整数。多出来是正数,欠着是负数,刚好没有就是零。
这些数合在一起,就是整数。

数论,就是研究整数的数学。
它关心的问题听起来很朴素:一个数能不能被另一个数整除?两个数有没有共同的因数?一个规律能不能对所有正整数都成立?
别小看这些问题。古希腊数学家研究它们,今天的密码学也离不开它们。你手机里的加密通信,背后就有大量整数在工作。
所以,数论看起来简单,却是很多数学知识的地基。
我们最早认识的数,通常是自然数:
它们很适合用来计数。
但是,自然数有一个问题:它不太会表达“欠”。
比如你有 块糖,却吃掉了 块。现实里你当然知道:还差 块,也就是欠 块。
数学里用 来表示这种情况。
于是,我们把正数、零、负数放在一起,得到整数:
这里的 来自德语 Zahlen,意思是“数”。
整数可以分成三类:
整数有几个很重要的特点。
第一,两个整数相加、相减、相乘,结果还是整数。
比如 ,,都仍然是整数。
但除法不一定。比如 ,它就不是整数。
第二,整数没有尽头。往右可以一直数下去,往左也可以一直数下去。
第三,整数是一个一个分开的。 和 之间没有别的整数。虽然有 ,但那已经不是整数了。
这种“一格一格”的感觉,是整数很重要的特点。
理解整数,最直观的方法是把它们放到数轴上。
想象一条水平直线,中间是 。往右是 ,往左是 。
规则很简单:
数轴上越靠右,数越大;越靠左,数越小。

负数比较大小时,很多人容易弄反。
比如 和 ,哪个更大?
答案是 更大。
因为在数轴上, 在 的右边。
可以记住一句话:负数离零越远,反而越小。
绝对值表示一个数到 的距离:
比如:
和 到 的距离一样,方向相反,所以它们互为相反数。
乘以负数时,不等号方向会改变。
比如 。
两边同时乘以 ,得到 。
这是因为乘以 相当于把数轴左右翻过去。原来在左边的数会跑到右边,大小关系也就反过来了。
整数的加、减、乘,你已经很熟悉。
这里我们换一个角度看:这些规则为什么合理?
加法有几个基本规则。
顺序可以交换:
先算哪一组也不影响结果:
加到任何数上,数本身不变:
每个整数都有自己的“反方向”:
所以,减法其实可以看成“加上相反数”。
比如:
这就是“减去负数等于加上正数”的原因。
乘法也有熟悉的规则。
比如交换律:
还有分配律:
“负负得正”不是随便规定的。它是为了让这些规则一直成立。
看一个最小的例子:
把左边按分配律展开:
它必须等于 。
所以:
这就是负负得正的来源。
还有一条很有用的事实:
如果两个整数相乘等于 ,那么至少有一个数是 。
也就是说:
这叫零因子律。以后解方程时会经常用到它。
整数做除法,不一定能除尽。
但除不尽也没关系,因为我们还可以写成“商 + 余数”的形式。
比如 颗糖分给 个同学,每人 颗,还剩 颗:
这就是带余除法。
带余除法定理:对于任意整数 和正整数 ,一定存在唯一的整数 和 ,使得

正数的带余除法比较容易。
负数要特别小心。
比如计算 。
有人会写成:
但这样余数是 ,不符合 。
正确写法是:
因为 才是合法的余数。
当余数是 时,我们说 整除 ,记作:
比如:
因为 。
但:
因为 ,还有余数。
整除有一个常用规则:
如果 能整除 ,也能整除 ,那么 也能整除 和 。
比如 能整除 和 ,所以它也能整除 ,也能整除 。
这个规则以后会经常出现。
先看一句很简单的话:
每一个非空的正整数集合,都有一个最小元素。
这叫良序原理。
听起来像废话,但它很重要。
比如集合 ,最小元素是 。
集合 ,最小元素是 。
只要这个集合里装的是正整数,而且不是空的,就一定能找到最小的那个。
但如果换成所有整数,就不行了。
全体整数:
一直往左没有尽头,所以没有最小整数。
良序原理的用处在于:它允许我们说“如果有反例,就取最小的那个反例”。
这句话在很多证明里特别有用。
举个简单的想法:正整数中不存在 和 之间的数。
因为正整数从 开始。你想找一个比 小、又大于 的正整数,是找不到的。
良序原理就是把这种直觉变成可靠的证明工具。
数学归纳法用来证明“对所有正整数都成立”的命题。
它的直觉很像多米诺骨牌。
只要第一块倒下,并且每一块倒下都会推倒下一块,那么整排骨牌都会倒下。

归纳法通常分两步。
第一步,证明第一个情况成立。通常是证明 成立。
第二步,假设 成立,然后证明 也成立。
完成这两步,就可以说明 对所有正整数 都成立。
为什么可以这样?
因为如果真的有某个 不成立,根据良序原理,就能找到最小的反例。
但第一个情况已经成立,所以这个最小反例不可能是 。
如果它是 ,那么 比它小,应该已经成立。归纳步骤又会推出 也成立。
这就矛盾了。
所以反例根本不存在。
来看一个经典公式:
传说高斯小时候很快算出 。他的想法是首尾配对:
一共有 对,所以总和是 。
现在用归纳法证明一般公式。
命题:对所有正整数 ,有
基础步骤:当 时,左边是 ,右边是 。两边相等,所以成立。
使用归纳法时,两个步骤都不能少。
基础步骤负责“第一块骨牌真的倒下”。
归纳步骤负责“每一块都能推倒下一块”。
少了任何一步,证明都不完整。
题目:计算 , 以及 。
:两个数一正一负,先看绝对值。 比 大,所以结果是负数。大小是 ,因此结果是 。
题目:写出 和 的带余除法表达式,指出商和余数。
:因为 , 已经超过 ,所以商是 。
题目:证明:若 且 ,则 。
的意思是: 是 的倍数。
所以可以写成:
其中 是整数。
题目:用数学归纳法证明:对所有正整数 ,有
基础步骤:当 时,左边是 。
右边是:
题目:有一堆糖果,按每包 颗分余 颗,按每包 颗分余 颗,按每包 颗分余 颗,此糖果至少有多少颗?
设糖果一共有 颗。
题目条件可以写成:
练习一:计算 ,并验证零因子律对整数成立。
先算乘法:
再相加:
练习二:用带余除法定理证明:任意整数要么是偶数,要么是奇数,不存在其他情形。
把任意整数 除以 。
根据带余除法定理,一定可以写成:
其中余数 满足:
练习三:用数学归纳法证明:对所有正整数 ,有 。
基础步骤:当 时:
所以 成立。
这一节的核心,其实就是认识整数。
整数包括正整数、零和负整数。它们可以放在数轴上比较大小,也可以进行加、减、乘等运算。
带余除法告诉我们:整数除法即使除不尽,也能写成“商和余数”的形式。
整除关系从这里开始出现。以后学习因数、倍数、最大公因数、同余时,都会反复用到它。
良序原理说:非空的正整数集合一定有最小元素。
数学归纳法则用这个思想,帮助我们一次证明无穷多个命题。
所以,数论不是一开始就追求复杂技巧。它先把整数这件事讲清楚,再一点点搭起更大的数学世界。

其中 是商, 是余数。
重点是:余数必须从 到 之间选,而且答案只有一种。
归纳假设:假设当 时公式成立,也就是
归纳步骤:看 的情况。
在等式两边都加上 :
右边整理:
这正是把 代入公式得到的结果。
结论:由数学归纳法,公式对所有正整数 成立。
:减去一个负数,等于加上它的相反数。
:先算乘法。
所以:
余数是:
所以:
商 ,余数 。
:余数必须是 到 之间的整数。
取商 :
于是:
所以:
商 ,余数 。
不能取商 ,因为那样余数会是 ,不是合法余数。
同理,因为 ,所以:
其中 是整数。
代入 :
整理:
因为 还是整数,所以 是 的倍数。
因此:
两边相等,所以成立。
归纳假设:假设当 时公式成立:
归纳步骤:看 的情况。
在两边加上 :
右边提取 :
通分整理:
分子化简:
所以:
这正是把 代入公式得到的结果。
结论:由数学归纳法,公式对所有正整数 成立。
观察余数:
除以 余 ,差 。
除以 余 ,差 。
除以 余 ,也差 。
这说明 刚好能被 、、 整除。
所以 是 、、 的公倍数。
它们的最小公倍数是:
因此:
验证一下:
所以这堆糖果至少有 颗。
所以结果是 。
零因子律的意思是:如果 ,那么 和 里至少有一个是 。
为什么?
如果两个数都不是 ,那么它们的绝对值都至少是 。相乘后绝对值也至少是 ,不可能等于 。
所以零因子律在整数中成立。
所以 只能是 或 。
如果 ,那么 ,是偶数。
如果 ,那么 ,是奇数。
因此,任意整数不是偶数就是奇数。
归纳假设:假设当 时成立:
归纳步骤:看 。
由归纳假设:
又因为:
所以:
归纳步骤成立。
因此, 对所有正整数 成立。