最小公倍数

最大公因数问的是：两个数最多能共享多少。

最小公倍数问的是：两个数最早会在哪里重新碰头。

这两个概念其实是一对。

上一篇我们聊最大公因数，也就是 GCD。 这一篇轮到它的“另一面”：最小公倍数，LCM。

如果你学它的时候只记公式，很容易觉得它只是一个计算题工具。 但它真正好用的地方在于：它专门处理“同步”的问题。

• 公交车多久再次一起发车？
• 两个周期多久重新对齐？
• 几个分数怎么选最省事的公分母？

这些背后都是 LCM。

从公交站台说起

我们先不急着写定义。想象你站在一个公交站台，A 路车每 $4$ 分钟发一班，B 路车每 $6$ 分钟发一班，两辆车刚好在第 $0$ 分钟同时出发。

问题来了：下一次它们什么时候再次同时发车？

A 路车的发车时间是：

B 路车的发车时间是：

我们要找的是两个列表第一次重合的地方。

很明显，是 $12$。

所以：

也就是说，两辆车会在第 $12$ 分钟再次同时发车。

你可以把最小公倍数理解成：

两个节奏从同一起点出发后，最早重新对齐的时间。

最小公倍数的定义

有了上面的直觉，定义就很好懂了。

比如 $4$ 和 $6$。

$4$ 的倍数有：

$6$ 的倍数有：

它们共同的倍数有：

最小的是 $12$。

所以：

这里有两个需要我们注意的地方：

第一，公倍数一定存在。

因为 $ab$ 肯定同时是 $a$ 和 $b$ 的倍数。

所以不用担心“找不到”的情况。

第二，最小公倍数不是“随便一个公倍数”。

比如 $24$ 也是 $4$ 和 $6$ 的公倍数。

但它不是最小的。

我们要的是第一个相遇点，不是后面随便哪个相遇点。

三种求法

LCM 的求法主要有三种。你可以按场景选适合自己的方法。

方法一：列举倍数

这个方法最像我们人类直觉。

比如求：

$8$ 的倍数是：

$12$ 的倍数是：

第一次重合是 $24$。

所以：

这个方法很适合小数。但数字一大就不太实用了。

比如你要求 $\text{lcm}(72,105)$，靠列倍数就有点麻烦。所以我们需要更稳定的方法。

方法二：素因数分解

这个方法的主题是：公倍数必须把两边需要的素因子都带上。

比如：

要做 $12$ 和 $18$ 的公倍数，它必须至少有：

• $12$ 需要的 $2^2$
• $18$ 需要的 $3^2$

所以 LCM 要取每个素因子出现次数的较大值：

这个规则可以这样记：

GCD 取小指数，LCM 取大指数。

GCD 是找共同部分，所以取少的。

LCM 是要同时满足两边，所以取多的。

再看一个例子：

LCM 要把 $2,3,5,7$ 都带上：

注意这里的 $5$ 只出现在 $30$ 里，$7$ 只出现在 $42$ 里。

但它们都不能丢。

因为最小公倍数必须同时是 $30$ 和 $42$ 的倍数。

方法三：借助 GCD 的公式

很多时候，最顺手的方法其实是这个：

先求最大公因数，再用公式求最小公倍数。

比如：

那么：

这个方法很实用。 因为 GCD 可以用我们上一部分学过的辗转相除法很快求出来。 而完整分解质因数，有时候反而更麻烦。

GCD 和 LCM 的黄金关系

如果有人问：“GCD 和 LCM 到底有什么关系？”

最直观的解释就是下面这条等式：

这条式子不是玄学。它来自素因数分解的视角。

假设某个素因子 $p$ 在 $a$ 里出现了 $\alpha$ 次，在 $b$ 里出现了 $\beta$ 次。

GCD 会取：

LCM 会取：

两者加起来：

这刚好等于 $a\times b$ 里 $p$ 的指数。

所以所有素因子合起来，就得到：

用 $12$ 和 $18$ 验证一下：

所以：

而：

正好相等。

这里也提醒一下：这条关系是两个数的关系。

三个数时，不能直接写成：

一般不成立。

互质时会特别简单

如果两个数互质，也就是：

那么根据黄金关系：

比如：

因为 $7$ 和 $11$ 互质。

再比如：

虽然 $8$ 和 $9$ 都不是素数，但它们互质。 所以最小公倍数就是乘积。

所以下次看到两个数互质时，你可以直接说：它们最早相遇的位置就是两者的乘积。

多个数的最小公倍数

如果有三个数怎么办？

比如：

我们可以一步步算：

先算：

再算：

所以：

也可以用素因数分解直接看：

取所有素因子的最大指数：

这就是答案。

分数通分：LCM 最常见的用途

最小公倍数最日常的用途，应该就是通分。

比如：

分母不同，不能直接加。

我们需要找一个公分母。

$4$ 和 $6$ 的公倍数有 $12,24,36,\ldots$。

当然都能用。

但最好用最小的，也就是：

所以：

于是：

如果你非要用 $24$ 当公分母，也不是不行：

加起来是：

还得再约分。

所以，用 LCM 做公分母，通常是最省事的路线。

再看三个分数：

分母 $3,4,6$ 的最小公倍数是 $12$。

所以：

相加：

这个过程的核心就是一句话：

找最小公倍数做公分母，计算会更干净。

例题精讲

例题一：从 GCD 出发求 LCM

题目：已知 $\gcd(56,72)=8$，求 $\text{lcm}(56,72)$。

例题二：反过来求 GCD

题目：两个正整数的积为 $360$，它们的最小公倍数为 $60$，求它们的最大公因数。

例题三：公交同步问题

题目：甲路公交每 $15$ 分钟一班，乙路公交每 $20$ 分钟一班，丙路公交每 $30$ 分钟一班。早上 $6:00$ 三路公交同时发车，下一次它们同时发车是几点？

例题四：通分计算

题目：计算

例题五：已知 GCD 和 LCM 求另一个数

题目：两个数的最大公因数是 $6$，最小公倍数是 $180$，已知其中一个数是 $36$，求另一个数。

例题六：为什么 LCM 能整除所有公倍数

题目：证明：若 $a\mid c$ 且 $b\mid c$，则 $\text{lcm}(a,b)\mid c$。

练习

练习一：已知两个正整数 $a,b$ 满足 $a+b=60$ 且 $\gcd(a,b)=12$，求 $\text{lcm}(a,b)$。

练习二：证明 $\text{lcm}(a,bc)\geq \text{lcm}(a,b)$。

练习三：计算

要求先用 LCM 通分，再化简。

要点收束

这部分的主题很明确：

最小公倍数，是几个数最早重新同步的位置。

它可以用来处理公交发车、周期重合、分数通分这类问题。

求 LCM 有三条路：

• 小数字可以列倍数
• 想看结构就分解素因数，取最大指数
• 实战里经常先求 GCD，再用公式

最重要的关系是：

如果你只记一句，就记这个：

GCD 管共同部分，LCM 管重新相遇。

一个往下找“共享的最大因子”，一个往上找“共同的最早倍数”。

这就是它们最核心的区别。

所有公倍数里最小的那个，叫做 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数，记作

也就是：

所以公分母是：

也就是说，LCM 不只是最小公倍数，它还“管住”了所有公倍数。

由 $a+b=60$ 得：

所以：

满足 $m+n=5$ 且互质的正整数对有：

所以对应的 $(a,b)$ 可能是：

如果是 $12$ 和 $48$，LCM 是：

如果是 $24$ 和 $36$，LCM 是：

所以本题有两种可能答案：

题目条件不够唯一，所以不能只写一个。

而 $\text{lcm}(a,bc)$ 一定是 $a$ 的倍数，也一定是 $bc$ 的倍数。

既然它是 $bc$ 的倍数，它当然也是 $b$ 的倍数。

所以 $\text{lcm}(a,bc)$ 同时是 $a$ 和 $b$ 的公倍数。

而 $\text{lcm}(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数。

因此：

$\square$

通分：

计算：

约分：

所以结果是：