Stokes 定理与 Divergence Theorem

Green 定理把平面区域的内部信息和边界曲线上的累积联系起来。本章把这件事推到三维空间：开曲面的边界曲线对应 Stokes 定理，闭曲面的通量对应 Divergence Theorem。

这两个定理看起来公式很长，其实要抓住一句话：边界上测到的总效果，等于内部每一点局部变化的累积。区别只在于“边界”是什么，“局部变化”又是哪一种。

Green、Stokes 与 Divergence 定理的共同骨架：内部局部变化的累积对应边界上的环流或通量。

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共同的骨架

先把三条定理放在同一张桌面上。Green 定理处理平面区域，Stokes 定理处理空间中的开曲面，Divergence Theorem 处理空间中的实体区域。

$$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA$$ $$\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS$$ $$\iint_{\partial E}\mathbf F\cdot \mathbf n\,dS = \iiint_E\nabla\cdot \mathbf F\,dV$$

这三条公式的左边都在边界上积分。Green 和 Stokes 的左边是沿闭曲线的环流；Divergence Theorem 的左边是穿过闭曲面的净通量。

右边都在内部积分。Green 定理的右边是平面旋转量，Stokes 定理的右边是三维旋度穿过曲面的通量，Divergence Theorem 的右边是体内散度的累积。

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Stokes 定理

Stokes 定理说，沿曲面边界走一圈得到的环流，等于曲面上旋度的通量。

设 $\mathbf F$ 在曲面附近有连续偏导数，$S$ 是有方向的光滑或分片光滑曲面，$\partial S$ 是它的边界曲线。只要边界方向和曲面法向满足右手规则，就有

$$\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS$$

这里 $\nabla\times\mathbf F$ 是旋度。它描述向量场在局部让小转轮旋转的趋势。把旋度投影到法向 $\mathbf n$ 上，再对整个曲面累加，就得到边界上的总环流。

右手四指沿边界方向弯曲时，拇指所指即为曲面法向 $n$ 的正方向。

方向是 Stokes 定理里最容易丢掉的一半信息。选定法向后，右手拇指指向法向，四指弯曲方向就是边界的正方向。反过来也可以：题目给了边界方向，就用右手规则反推法向。

例题：用曲面替换简化环流

设

$$\mathbf F(x,y,z)=\left\langle -\frac y2,\frac x2,0\right\rangle$$

$S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge 0$，法向取向上。边界 $C$ 是单位圆 $x^2+y^2=1,\ z=0$，按从上往下看逆时针方向。求

$$\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$$

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换曲面时要守住边界

Stokes 定理常用来把难曲面换成简单曲面。只要边界曲线相同，方向相容，向量场在两张曲面之间的空间里没有断点或奇点，就可以换。

Stokes 定理中，若曲面共用同一边界 $C$ 且方向一致，可选择更容易积分的曲面。

这个技巧有两个限制。第一，不能换掉边界；边界曲线变了，线积分就不再是同一个问题。第二，不能让换曲面的过程穿过向量场没有定义的地方。很多看起来像 Stokes 定理的题，其实在考这个条件。

例题：把抛物面换成圆盘

设

$$\mathbf F(x,y,z)=\langle z,x,y\rangle$$

$S$ 是抛物面 $z=1-x^2-y^2,\ z\ge 0$，法向取向上。它的边界是单位圆 $C:x^2+y^2=1,\ z=0$，方向按从上往下看逆时针。求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$。

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Divergence Theorem

Divergence Theorem 也叫 Gauss 定理。它处理的是闭曲面通量：穿出闭曲面的净流出量，等于闭曲面包住的体积里散度的累积。

设 $E$ 是空间中的实体区域，边界 $\partial E$ 是闭合的分片光滑曲面，法向取外法向。若 $\mathbf F$ 在 $E$ 附近有连续偏导数，则

$$\iint_{\partial E}\mathbf F\cdot \mathbf n\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV$$

左边在整个闭曲面上算净流出通量。右边在体内累加散度。散度为正的地方像源，向外贡献更多流量；散度为负的地方像汇，吸收流量；散度为零的地方不增加净流出。

Divergence Theorem 将区域 $E$ 内部的散度累积与闭曲面 $\partial E$ 上的净流出通量联系起来。

例题：立方体上的总通量

设 $\mathbf F(x,y,z)=\langle x,y,z\rangle$，$E=[0,a]\times[0,a]\times[0,a]$。求 $\mathbf F$ 穿出立方体边界 $\partial E$ 的总通量。

向量场穿出立方体六个面的通量示意，体内散度为 $3$。

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守恒、源汇与物理直观

把 $\mathbf F$ 看成流体速度场时，$\mathbf F\cdot\mathbf n$ 表示单位时间穿过曲面单位面积的流量。闭曲面上的通量为正，表示整体流出多于流入；为负，表示整体流入多于流出。

控制体中的质量守恒：累积变化等于流入减流出，再加源并减去汇。

如果体内没有源也没有汇，并且流体不可压缩，常见模型会给出

$$\nabla\cdot\mathbf F=0$$

于是任意闭曲面的净通量都是 $0$。这不是说每个位置都没有流动，而是说流入与流出在总量上抵消。

在电磁学中，Gauss 定律也有同样结构：电场穿出闭曲面的通量由曲面内部包住的电荷决定。数学上，这正是 Divergence Theorem 把“局部源密度”和“边界通量”连接起来的方式。

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选择哪一个定理

遇到题目时，可以按问题对象来选工具。

常见误区集中在四件事上：把开曲面误当成闭曲面；把曲线方向和法向分开处理；把散度和旋度混在一起；换曲面时穿过向量场的奇点。

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练习

练习 1：设 $\mathbf F=\langle -y,x,0\rangle$，$S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge 0$，法向取向上。边界 $C$ 若按从上往下看顺时针方向，求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$。

练习 2：设 $\mathbf F=\langle z,x,y\rangle$，$C$ 是平面 $x+y+z=1$ 与第一卦限（$x,y,z\ge0$）围成的三角形边界，方向按从法向 $\langle 1,1,1\rangle$ 方向看为逆时针。求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$。

练习 3：设 $\mathbf F=\langle x^3,y^3,z^3\rangle$，求它穿出单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的通量。

练习 4：设 $\mathbf F=\langle x,y,z\rangle$。只求圆柱 $x^2+y^2\le 1,\ 0\le z\le 2$ 的上盖 $z=2$、向上法向的通量。能不能直接用 Divergence Theorem？

练习 5：下面三个问题分别适合用哪个定理？

（1）求向量场沿空间闭曲线的环流。

（2）求向量场穿出一个封闭椭球面的总通量。

（3）求向量场沿平面闭曲线的环流，曲线围成的区域很容易描述。