计数、排列组合与概率计算
假设一个抽奖箱里有很多张票，主持人说“每张票被抽到的机会一样”。如果你只知道这句话，还不能立刻算中奖概率。你还需要知道两件事：一共有多少种可能结果，其中有多少种结果算中奖。
这就是计数在概率里的位置。概率公式看起来很短：
但真正容易出错的地方，常常不是分数本身，而是分子和分母有没有数对。排列组合不是为了背公式，而是为了把可能性数清楚。
这一节默认讨论“每个基本结果等可能”的情形。抽一张充分混匀的票、掷一枚公平硬币、从一组号码中不放回抽取，通常可以这样建模。如果各结果本来就不等可能，只数结果个数还不够，还要给每个结果配上对应概率。
从一个问题开始
一个社团要从 8 名同学中抽出 3 人参加活动。问题看起来很像：“有多少种抽法？”
如果只是抽出 3 人，甲乙丙和丙乙甲是同一组，因为最后参加活动的人没有变。这是组合问题。
如果是安排 3 个座位：第一排左、中、右各坐一人，那么甲坐左边、乙坐中间、丙坐右边，与丙坐左边、乙坐中间、甲坐右边不同。这是排列问题。
同样是 8 个人和 3 个位置，只要题目问的结果对象不同，计数方法就会改变。概率计算的第一步，不是急着套公式，而是先问清楚：一个“结果”到底长什么样？
加法原理：互斥选择相加
如果一个任务可以用几种互不重叠的方式完成，那么总方式数等于各方式数相加。这里的关键词是“互不重叠”：同一个结果不能同时属于两个类别。
例如学校活动有 4 张电影票和 6 张书店券。每名中奖者只能获得其中一种奖品，抽到电影票和抽到书店券不会同时发生，所以奖品结果数是：
再看一个稍微容易混的例子。一个验证码要么是 4 位数字，要么是 1 个大写字母加 3 位数字。如果题目规定这两种格式不会混用，那么总数可以分成两类相加：
加法原理不能随便用于会重叠的类别。例如“喜欢篮球的人”加“喜欢足球的人”不一定等于“喜欢篮球或足球的人”，因为同时喜欢两项的人会被算两次。遇到“或”时，要先判断类别是否互斥。
乘法原理：连续步骤相乘
如果一个任务要分成连续几步完成，并且每一步都有若干选择，那么总方式数通常用乘法。乘法原理关注的是“先做什么，再做什么”。
例如一个四位数字密码，每位可以是 0 到 9，允许重复。第一位有 10 种选择，第二位仍有 10 种，第三位和第四位也一样：
如果题目改成“不允许数字重复”，第二位就只剩 9 种，第三位只剩 8 种，第四位只剩 7 种：
例题：三步选择的总数
一家餐厅有 3 种主食、4 种饮品和 2 种甜点。点一份套餐时，每类各选一种，一共有多少种套餐？
先确认这是一连串选择：先选主食，再选饮品，再选甜点。每份套餐必须同时包含三类，所以不是相加。
分别数每一步的选择数。主食有 3 种，饮品有 4 种，甜点有 2 种。
用乘法原理把三步连起来：
排列：顺序重要
排列用来数“从 个不同对象中选出 个，并按顺序排好”的结果数。第一格有 种选择，第二格少一个，依次减少。
也可以写成阶乘形式：
其中 读作“ 的阶乘”，表示从 一直乘到 1：
例题：座位安排
5 名同学要坐成一排 3 个指定座位。每个座位坐 1 人，一共有多少种坐法？
先判断顺序是否重要。左座、中座、右座是不同位置，同一批人换座位会得到不同坐法，所以这是排列。
第一个座位可以从 5 人中选 1 人，有 5 种；第二个座位还剩 4 人可选；第三个座位还剩 3 人可选。
把三个连续位置的选择数相乘：
判断排列时，可以问一句：把已经选出的人互换位置，结果会不会变？如果会变，顺序就是结果的一部分。
组合：顺序不重要
组合用来数“从 个不同对象中选出 个，但不关心顺序”的结果数。先按排列数出来，会把同一组人按不同顺序重复计算。每一组 个对象内部有 种排列，所以要除掉这些重复。
也就是：
例题：分组选人
8 名同学中选 3 人组成资料整理小组，一共有多少种选法？
先判断顺序是否重要。资料整理小组只关心哪 3 人被选中，不分第一名、第二名、第三名，所以这是组合。
如果先按顺序选，会得到：
但每个 3 人小组内部有 种顺序，这 6 种都表示同一组。
用计数做概率计算
在等可能模型中，概率计算可以按三步走：先描述随机过程，再数所有结果，最后数目标事件的结果。
例题：固定奖票的中奖概率
某抽奖从 1 到 49 中不放回抽出 6 个号码，号码顺序不影响中奖。你提前选了一张固定的 6 个号码组合，完全命中的概率是多少？
先判断每个基本结果是什么。因为顺序不影响中奖，一个基本结果是一组 6 个号码，而不是一个有先后顺序的 6 位序列。
数所有可能抽法：
常见误区
误区一：看到“或”就相加
“或”提示我们考虑加法原理，但还要检查类别是否重叠。互斥时直接相加；不互斥时，要把重复部分处理掉。
如果一个结果能同时落入两个类别，直接相加就会重复计数。计数题里最常见的错，不是少背了公式，而是没有先说清楚类别之间的关系。
误区二：看到“选”就用组合
“选”这个字不够可靠。选班长、学习委员和体育委员时，三个人的职务不同，顺序或角色是结果的一部分，应该用排列或乘法原理。选 3 人组成同一个小组时，职务没有差别，才用组合。
误区三：忘记是否允许重复
密码、抽卡、抽样都会涉及“能不能重复”。允许重复时，每一步的选择数可能不变；不允许重复时，选择数会一步步减少。题目没有说清楚时，不要自己默认。
误区四：把不等可能结果当作等可能
例如“随机选一个家庭，再看孩子数量”，不同孩子数量不一定等可能。计数法最适合每个基本结果机会相同的模型；如果模型不等可能，就要回到概率定义本身。
练习
练习一：午餐选择
食堂有 5 种主菜、3 种汤和 4 种饮料。每份套餐各选一种，一共有多少种套餐？
练习二：不重复密码
一个三位数字密码不能以 0 开头，且三位数字互不相同。一共有多少个这样的密码？
练习三：安排发言顺序
7 名同学中选 4 名依次发言，一共有多少种发言安排？
练习四：组成调查小组
12 名志愿者中选 4 人组成同一个调查小组，一共有多少种选法？
练习五：抽卡概率
一副标准扑克牌有 52 张，其中有 4 张 A。随机抽 1 张，抽到 A 或红桃的概率是多少？
练习六：抽奖组合
从 20 个编号中不放回抽出 3 个，顺序不影响结果。你提前选定 3 个编号，完全命中的概率是多少？
小结
计数题先不要急着找公式。先把一个基本结果说清楚，再判断选择之间是互斥分类还是连续步骤，最后判断顺序是否重要。
加法原理处理互斥类别，乘法原理处理连续步骤。排列处理顺序重要的选择，组合处理顺序不重要的选择。把这些数对以后，概率计算里的分母和分子才有可靠来源。