计数、排列组合与概率计算

假设一个抽奖箱里有很多张票，主持人说“每张票被抽到的机会一样”。如果你只知道这句话，还不能立刻算中奖概率。你还需要知道两件事：一共有多少种可能结果，其中有多少种结果算中奖。

这就是计数在概率里的位置。概率公式看起来很短：

P(A)=\frac{\text{事件 }A\text{ 包含的结果数}}{\text{所有可能结果数}}

但真正容易出错的地方，常常不是分数本身，而是分子和分母有没有数对。排列组合不是为了背公式，而是为了把可能性数清楚。

树状计数把多步选择展开成一层一层的分支

这一节默认讨论“每个基本结果等可能”的情形。抽一张充分混匀的票、掷一枚公平硬币、从一组号码中不放回抽取，通常可以这样建模。如果各结果本来就不等可能，只数结果个数还不够，还要给每个结果配上对应概率。

从一个问题开始

一个社团要从 8 名同学中抽出 3 人参加活动。问题看起来很像：“有多少种抽法？”

如果只是抽出 3 人，甲乙丙和丙乙甲是同一组，因为最后参加活动的人没有变。这是组合问题。

如果是安排 3 个座位：第一排左、中、右各坐一人，那么甲坐左边、乙坐中间、丙坐右边，与丙坐左边、乙坐中间、甲坐右边不同。这是排列问题。

同样是 8 个人和 3 个位置，只要题目问的结果对象不同，计数方法就会改变。概率计算的第一步，不是急着套公式，而是先问清楚：一个“结果”到底长什么样？

同一组人换顺序后，座位安排变成不同结果

加法原理：互斥选择相加

如果一个任务可以用几种互不重叠的方式完成，那么总方式数等于各方式数相加。这里的关键词是“互不重叠”：同一个结果不能同时属于两个类别。

例如学校活动有 4 张电影票和 6 张书店券。每名中奖者只能获得其中一种奖品，抽到电影票和抽到书店券不会同时发生，所以奖品结果数是：

4+6=10

再看一个稍微容易混的例子。一个验证码要么是 4 位数字，要么是 1 个大写字母加 3 位数字。如果题目规定这两种格式不会混用，那么总数可以分成两类相加：

10^4+26\times 10^3

加法原理不能随便用于会重叠的类别。例如“喜欢篮球的人”加“喜欢足球的人”不一定等于“喜欢篮球或足球的人”，因为同时喜欢两项的人会被算两次。遇到“或”时，要先判断类别是否互斥。

乘法原理：连续步骤相乘

如果一个任务要分成连续几步完成，并且每一步都有若干选择，那么总方式数通常用乘法。乘法原理关注的是“先做什么，再做什么”。

例如一个四位数字密码，每位可以是 0 到 9，允许重复。第一位有 10 种选择，第二位仍有 10 种，第三位和第四位也一样：

10\times 10\times 10\times 10=10^4

如果题目改成“不允许数字重复”，第二位就只剩 9 种，第三位只剩 8 种，第四位只剩 7 种：

10\times 9\times 8\times 7=5040

密码槽位展示每一位选择数相乘

例题：三步选择的总数

一家餐厅有 3 种主食、4 种饮品和 2 种甜点。点一份套餐时，每类各选一种，一共有多少种套餐？

先确认这是一连串选择：先选主食，再选饮品，再选甜点。每份套餐必须同时包含三类，所以不是相加。

分别数每一步的选择数。主食有 3 种，饮品有 4 种，甜点有 2 种。

用乘法原理把三步连起来：

3\times 4\times 2=24

所以一共有 24 种套餐。

排列：顺序重要

排列用来数“从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个，并按顺序排好”的结果数。第一格有 $n$ 种选择，第二格少一个，依次减少。

P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

也可以写成阶乘形式：

P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

其中 $n!$ 读作“ $n$ 的阶乘”，表示从 $n$ 一直乘到 1：

n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times 1

例题：座位安排

5 名同学要坐成一排 3 个指定座位。每个座位坐 1 人，一共有多少种坐法？

先判断顺序是否重要。左座、中座、右座是不同位置，同一批人换座位会得到不同坐法，所以这是排列。

第一个座位可以从 5 人中选 1 人，有 5 种；第二个座位还剩 4 人可选；第三个座位还剩 3 人可选。

把三个连续位置的选择数相乘：

5\times 4\times 3=60

所以一共有 60 种坐法。

判断排列时，可以问一句：把已经选出的人互换位置，结果会不会变？如果会变，顺序就是结果的一部分。

组合：顺序不重要

组合用来数“从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个，但不关心顺序”的结果数。先按排列数出来，会把同一组人按不同顺序重复计算。每一组 $r$ 个对象内部有 $r!$ 种排列，所以要除掉这些重复。

C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{P(n,r)}{r!}

也就是：

\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

从一组人中选出小组时，不同摆放顺序仍是同一个组合

例题：分组选人

8 名同学中选 3 人组成资料整理小组，一共有多少种选法？

先判断顺序是否重要。资料整理小组只关心哪 3 人被选中，不分第一名、第二名、第三名，所以这是组合。

如果先按顺序选，会得到：

8\times 7\times 6=336

但每个 3 人小组内部有 $3!=6$ 种顺序，这 6 种都表示同一组。

除去重复顺序：

\binom{8}{3}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56

所以一共有 56 种选法。

用计数做概率计算

在等可能模型中，概率计算可以按三步走：先描述随机过程，再数所有结果，最后数目标事件的结果。

抽奖箱中的全部票券与少量中奖票券形成分子和分母的对比

例题：固定奖票的中奖概率

某抽奖从 1 到 49 中不放回抽出 6 个号码，号码顺序不影响中奖。你提前选了一张固定的 6 个号码组合，完全命中的概率是多少？

先判断每个基本结果是什么。因为顺序不影响中奖，一个基本结果是一组 6 个号码，而不是一个有先后顺序的 6 位序列。

数所有可能抽法：

\binom{49}{6}=\frac{49\times48\times47\times46\times45\times44}{6\times5\times4\times3\times2\times1}=13983816

你的固定奖票只有 1 组号码，所以有利结果数是 1。概率是：

\frac{1}{13983816}

这个数很小，说明“可能中奖”和“容易中奖”是两回事。

常见误区

误区一：看到“或”就相加

“或”提示我们考虑加法原理，但还要检查类别是否重叠。互斥时直接相加；不互斥时，要把重复部分处理掉。

如果一个结果能同时落入两个类别，直接相加就会重复计数。计数题里最常见的错，不是少背了公式，而是没有先说清楚类别之间的关系。

误区二：看到“选”就用组合

“选”这个字不够可靠。选班长、学习委员和体育委员时，三个人的职务不同，顺序或角色是结果的一部分，应该用排列或乘法原理。选 3 人组成同一个小组时，职务没有差别，才用组合。

误区三：忘记是否允许重复

密码、抽卡、抽样都会涉及“能不能重复”。允许重复时，每一步的选择数可能不变；不允许重复时，选择数会一步步减少。题目没有说清楚时，不要自己默认。

误区四：把不等可能结果当作等可能

例如“随机选一个家庭，再看孩子数量”，不同孩子数量不一定等可能。计数法最适合每个基本结果机会相同的模型；如果模型不等可能，就要回到概率定义本身。

加法原理和乘法原理的视觉对比：互斥路线相加，连续步骤相乘

练习

练习一：午餐选择

食堂有 5 种主菜、3 种汤和 4 种饮料。每份套餐各选一种，一共有多少种套餐？

这是连续三步选择，用乘法原理：

5\times 3\times 4=60

所以一共有 60 种套餐。

练习二：不重复密码

一个三位数字密码不能以 0 开头，且三位数字互不相同。一共有多少个这样的密码？

第一位不能是 0，所以有 9 种选择。第二位可以从剩下的 9 个数字中选，第三位再从剩下的 8 个数字中选：

9\times 9\times 8=648

所以一共有 648 个这样的密码。

练习三：安排发言顺序

7 名同学中选 4 名依次发言，一共有多少种发言安排？

发言顺序会改变安排，所以这是排列：

P(7,4)=7\times 6\times 5\times 4=840

所以一共有 840 种发言安排。

练习四：组成调查小组

12 名志愿者中选 4 人组成同一个调查小组，一共有多少种选法？

同一个调查小组只看选出哪 4 人，不看顺序，所以用组合：

\binom{12}{4}=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495

所以一共有 495 种选法。

练习五：抽卡概率

一副标准扑克牌有 52 张，其中有 4 张 A。随机抽 1 张，抽到 A 或红桃的概率是多少？

抽到 A 有 4 种结果，抽到红桃有 13 种结果，但红桃 A 被两类都算了一次，所以要减去重复的 1 种：

4+13-1=16

总结果数是 52，因此概率为：

\frac{16}{52}=\frac{4}{13}

这里不能直接算 $4+13$ ，因为两个类别不互斥。

练习六：抽奖组合

从 20 个编号中不放回抽出 3 个，顺序不影响结果。你提前选定 3 个编号，完全命中的概率是多少？

因为顺序不影响结果，全部可能抽法是：

\binom{20}{3}=\frac{20\times19\times18}{3\times2\times1}=1140

固定的一组选中编号只有 1 种有利结果，所以概率是：

\frac{1}{1140}

小结

计数题先不要急着找公式。先把一个基本结果说清楚，再判断选择之间是互斥分类还是连续步骤，最后判断顺序是否重要。

加法原理处理互斥类别，乘法原理处理连续步骤。排列处理顺序重要的选择，组合处理顺序不重要的选择。把这些数对以后，概率计算里的分母和分子才有可靠来源。