函数的三种表示法
我们先不急着背“列表法、解析式法、图像法”这三个名字。想象一下，你扫了一辆共享单车，手机页面上最显眼的往往不是一堆公式，而是两个量：骑了多久，花了多少钱。
时间往前走，费用跟着变。你把骑行时间停在 4 分钟、8 分钟、12 分钟，费用就分别停在对应的位置。这里已经有函数的影子了：给出一个输入，就得到一个确定的输出。
从骑行账单开始
函数入门最容易卡住的地方，不是公式本身，而是我们太早把它当成符号。先把它想成一个很守规矩的计费系统：你告诉它骑了几分钟，它就按照固定规则给你一个费用。
输入像旋钮，输出像指针
把时间想成一个旋钮。旋到 分钟，费用指针停在一个位置；旋到 分钟，指针又停到另一个位置。数学上，我们把这个主动选择或观察的量叫自变量，也就是输入；把随输入确定下来的量叫因变量，也就是输出。
假设共享单车的规则是：开锁先收 元，之后每骑 分钟加 元。人话版本是“先有起步费用，再按时间累加”。符号版本可以写成：
这里 表示骑行分钟数， 表示骑了 分钟后的费用。这个式子看起来像一行冷符号，其实它只是在压缩刚才那句话： 是一开始就有的钱， 是按分钟慢慢增加的钱。
函数的核心不是一定要有公式，而是“同一个输入只能对应一个确定输出”。如果计费规则固定，那么同样骑 分钟，费用不能一会儿是 元，一会儿又是 元。表示法可以换，输入和输出的配对关系不能乱。
三种表示法，其实是三种镜头
同一段骑行计费关系，可以用三种镜头来看。列表法像账单明细，图像法像地图，解析式法像后台规则。它们不是三件互不相干的事，而是在描述同一批输入和输出。
列表法
列表法也常被叫作表格法。它做的事情很朴素：挑几个自变量的值，把对应的函数值一一列出来。
看表格时，你可以把每一列都当成一张小卡片：上面写输入，下面写输出。比如 这一列告诉我们，骑 分钟时费用是 元。表格的优点是直接，读数很稳，不需要先画坐标系，也不需要把整条规律想出来。
小提醒：表格清楚，但只照亮有限几个点
表格也有边界。表里有 分钟，却不一定有 分钟；表里列了五个输入，却不等于只允许这五个输入。它像路边的里程牌，能告诉你几个关键位置，但它本身不是整条路。
图像法：把配对关系铺到坐标系
现在把表格里的每一组配对放到坐标系里。横轴通常放输入，纵轴通常放输出。点 的意思是骑 分钟费用 元，点 的意思是骑 分钟费用 元。
图像法的厉害之处，是它让变化变得可见。你不用逐个读表，也能一眼看出费用在上升；直线越陡，说明费用增加得越快；图像从纵轴的哪个位置出发，就暗示输入为 时输出是多少。
图像读数有时是近似的，但它很适合观察整体趋势。表格让关系一列一列站好，图像让这些关系在平面上排成形状。
解析式法：把规则压缩成一句公式
解析式法就是用一个含有自变量的式子来表示函数关系。它最像计费系统的后台规则。表格没有列出 分钟，图像上也可能读不够准，但解析式可以直接计算：
所以解析式不是为了显得高级，而是为了把规律保存下来。它告诉你“怎样从输入得到输出”。不过它也有代价：如果你不知道 和 在生活场景里分别代表什么，公式就会变成一串要硬背的符号。
从生活规则翻译到数学表示
遇到应用题时，不要一上来就找公式模板。先问两个问题：谁是输入，谁是输出？然后再问，输出是从哪里开始，又按什么速度变化？
例题：停车费怎么表示
题目：某停车场进场收 元，之后每小时加 元。设停车时间为 小时，停车费为 元。写出解析式，列出 、、、 小时的费用，并描述图像的大致样子。
先找输入和输出。停车时间 是输入，停车费 是输出；题目问的是时间变了以后费用怎样跟着变。
再拆计费规则。进场收 元，说明 时费用已经是 ；之后每小时加 元，说明 每增加 ，费用就增加 。
对应的解析式是：
表格可以这样列：
这个例子给出了一条很实用的路线：从生活规则到解析式，从解析式到表格，再从表格里的点想象图像。反过来也可以，从图像读趋势，从表格找配对，再猜测可能的解析式。
从表格读出公式，从公式想出图像
有时题目不会直接告诉你规则，只给你一张表。别慌，表格虽然只列出有限几个点，但相邻输出的变化常常会泄露规律。
表格给数据，差值给线索
比如下面这组数据：
我们先看输出怎么变：当 从 到 ， 从 到 ，增加 ；当 从 到 ， 又增加 ；后面也一样。再看起点： 时，。对于这种每一步增加量固定的关系，就可以写成：
这不是猜谜，而是在找两个信息：起点在哪里，每一步怎样变。在线性函数里，起点决定图像从纵轴哪里出发，每一步的增加量决定图像有多陡。
接下来的互动可以调整“起步值”和“每一步增加量”。请试着把起步值调大，再把增加量调小，观察解析式、表格和直线怎样一起变化。
如果你把起步值调大，表格里每个输出都会整体抬高，图像也会整体往上走。如果你把每一步增加量调大，表格里相邻输出的差会变大，图像会变得更陡。公式里的两个数字，不是在凭空出现，它们分别抓住了“从哪里开始”和“怎样变化”。
判断是不是函数：同一个输入只能有一个输出
三种表示法都能帮我们表示函数，但它们也能暴露一个关系是不是函数。关键还是那句话：同一个输入，只能有一个确定输出。
竖线检查：看一个输入会不会分叉
在图像里，可以想象一条竖直的扫描线从左往右移动。如果它在某个位置碰到图像两次，就说明同一个横坐标输入对应了两个纵坐标输出，这就不是函数。生活里也一样，同样骑 分钟，如果计费系统给出两张不同账单，我们就不能说这是一条清楚的函数规则。
表格中也要做同样的检查。如果同一个 出现两次，却给出两个不同的 ，就要先怀疑它不是函数，或者数据记录出了问题。解析式一般会把规则写得更紧，但也要注意自变量能取哪些值，这个范围常常被叫作定义域。
判断函数时，不要只看图像好不好看，也不要只看表格整不整齐。真正要检查的是配对关系：每一个允许的输入，是否只能找到一个输出。
收束和练习
现在我们把三种表示法收紧成几句话。列表法适合查具体值，优点是清楚直接；图像法适合看整体趋势，优点是直观；解析式法适合计算和预测，优点是精准。表格让关系落地，图像让变化可见，解析式让规律可算。
练习：一个水箱原来有 升水，每分钟流入 升。设时间为 分钟，水量为 升。请写出解析式，列出 的表格，并描述图像。
解析式是：
把 依次代入，水量分别是 、、、。图像是一条上升直线，穿过纵轴 的位置，向右每走 格就向上走 格。这里的 是起点， 是稳定增加的速度。