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微积分 II

  1. 01从微积分 I 到微积分 II：为什么还需要新工具
  2. 02积分应用 I：面积、体积与平均值
  3. 03积分应用 II：弧长、表面积、功与压力
  4. 04分部积分法：把乘积拆开
  5. 05三角积分与三角代换
  6. 06部分分式与积分策略
  7. 07反常积分与收敛
  8. 08数列：无穷过程的第一语言
  9. 09无穷级数：从部分和到收敛
  10. 10级数判别法：比较、积分、交错与绝对收敛
  11. 11幂级数：像多项式一样处理函数
  12. 12泰勒级数与函数近似
  13. 13参数曲线：让曲线带上时间
  14. 14极坐标：用距离和角度描述曲线
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课程数学微积分 II极坐标：用距离和角度描述曲线

极坐标：用距离和角度描述曲线

直角坐标问“向右多少、向上多少”，极坐标问“朝哪个方向、离原点多远”。当曲线围绕某个中心旋转、长出花瓣或沿角度向外展开时，距离与角度往往比横纵坐标更贴合它的生成方式。

在本章里，极坐标不是一套孤立的新符号。它会把上一章的参数曲线继续往前推一步：只要给出 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ)，曲线其实就是

x=f(θ)cos⁡θ,y=f(θ)sin⁡θx=f(\theta)\cos\theta,\qquad y=f(\theta)\sin\thetax=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ

这也是为什么切线、面积和弧长都可以从已有的参数微积分推出。真正困难的通常不是求导或积分，而是选对角度区间：一瓣花在哪里开始、内环何时闭合、曲线是否被重复扫过。

极坐标用半径和角度定位平面点，并与直角坐标互相转换。

从直角坐标到极坐标

极坐标中的一个点通常写成 (r,θ)(r,\theta)(r,θ)。这里 rrr 表示点到原点的有向距离，θ\thetaθ 表示从正 xxx 轴转到该方向的角度。若 r>0r>0r>0，点在角度 θ\thetaθ 指向的射线上；若 r<0r<0r<0，点在相反方向上。

从极坐标到直角坐标的公式是

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\thetax=rcosθ,y=rsinθ

从直角坐标回到极坐标时，常用

r2=x2+y2,tan⁡θ=yxr^2=x^2+y^2,\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}r2=x2+y2,tanθ=xy​

第二个式子只给出角度的正切值，不能单独决定象限。实际换算时，先看点在第几象限，再选合适的 θ\thetaθ。

极坐标表示不是唯一的。同一个点可以写成 (r,θ+2kπ)(r,\theta+2k\pi)(r,θ+2kπ)，也可以写成 (−r,θ+(2k+1)π)(-r,\theta+(2k+1)\pi)(−r,θ+(2k+1)π)。原点更特殊：只要 r=0r=0r=0，任意角度都表示原点。这一点会影响交点、切线和面积区间的判断。

例如点 (2,π/6)(2,\pi/6)(2,π/6) 对应

x=2cos⁡π6=3,y=2sin⁡π6=1x=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt3,\qquad y=2\sin\frac{\pi}{6}=1x=2cos6π​=3​,y=2sin6π​=1

所以直角坐标是 (3,1)(\sqrt3,1)(3​,1)。同一个点也可以写成 (2,13π/6)(2,13\pi/6)(2,13π/6)，还可以写成 (−2,7π/6)(-2,7\pi/6)(−2,7π/6)。

反过来，点 (−1,3)(-1,\sqrt3)(−1,3​) 满足

r=(−1)2+(3)2=2r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2r=(−1)2+(3​)2​=2

它位于第二象限，所以可以取

θ=2π3\theta=\frac{2\pi}{3}θ=32π​

因此一个极坐标表示是 (2,2π/3)(2,2\pi/3)(2,2π/3)。

方程互换

把直角坐标方程改写成极坐标方程时，通常替换 x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ、y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ、x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2。例如

x2+y2=4xx^2+y^2=4xx2+y2=4x

变成

r2=4rcos⁡θr^2=4r\cos\thetar2=4rcosθ

除去 r=0r=0r=0 以外，可以写成

r=4cos⁡θr=4\cos\thetar=4cosθ

这个方程表示以 (2,0)(2,0)(2,0) 为圆心、半径为 222 的圆。这里的 r=0r=0r=0 仍在曲线上，因为原直角坐标方程经过原点。

先找方程中最适合替换的整体。这里 x2+y2x^2+y^2x2+y2 正好等于 r2r^2r2，比逐项替换更简洁。

再把 xxx 换成 rcos⁡θr\cos\thetarcosθ，得到 r2=4rcos⁡θr^2=4r\cos\thetar2=4rcosθ。

最后整理时要记得，除以 rrr 可能会暂时丢掉原点。若原曲线本来经过原点，需要把这个点补回解释中。

把极坐标方程改成直角坐标方程时，常常要制造 r2r^2r2。例如

r=3sin⁡θr=3\sin\thetar=3sinθ

两边乘以 rrr，得到

r2=3rsin⁡θr^2=3r\sin\thetar2=3rsinθ

所以

x2+y2=3yx^2+y^2=3yx2+y2=3y

配方后是

x2+(y−32)2=(32)2x^2+\left(y-\frac32\right)^2=\left(\frac32\right)^2x2+(y−23​)2=(23​)2

这是一条圆，而不是某种新奇曲线。极坐标的形式常把圆心不在原点的圆写得很短。

读懂极坐标曲线

一条极坐标曲线通常写成

r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ)

当 θ\thetaθ 变化时，点 (r,θ)(r,\theta)(r,θ) 在平面上移动，于是扫出曲线。读图时，不要只把 rrr 当作普通的 yyy 值。rrr 是离原点的距离，θ\thetaθ 是方向；同样的 rrr 在不同角度上会落在不同射线上。

常见曲线族

极坐标里最常见的曲线通常由简单的三角函数或线性函数给出。它们在直角坐标中往往很难写成单个函数，但在极坐标中只有一行公式。

圆、四瓣玫瑰线、心形线和阿基米德螺线的极坐标图像总览。

常见类型可以先按下面的方式记：

极坐标方程曲线特征阅读重点
r=ar=ar=a以原点为圆心的圆半径固定，角度扫一圈
r=acos⁡θr=a\cos\thetar=acosθ 或 r=asin⁡θr=a\sin\thetar=asinθ经过原点的圆圆心在坐标轴上，半径为 $
r=a+bcos⁡θr=a+b\cos\thetar=a+bcosθ 或 r=a+bsin⁡θr=a+b\sin\thetar=a+bsinθ蚶线，a=ba=ba=b 时是心形线比较 aaa 与 bbb，判断是否有内环
r=acos⁡(nθ)r=a\cos(n\theta)r=acos(nθ) 或 r=asin⁡(nθ)r=a\sin(n\theta)r=asin(nθ)玫瑰线nnn 为奇数时通常有 nnn 瓣，nnn 为偶数时通常有 2n2n2n 瓣
r=a+bθr=a+b\thetar=a+bθ阿基米德螺线半径随角度线性增大

这些规律是读图的入口，不是代替计算的证明。遇到具体题目时，仍要检查取值范围、是否重复描线、是否经过原点，以及是否有负的 rrr。

对称性检查

极坐标曲线常带有对称性。检查对称性可以帮我们减少作图和积分区间。

如果把 θ\thetaθ 换成 −θ-\theta−θ 后方程不变，曲线关于极轴，也就是 xxx 轴对称。若把 θ\thetaθ 换成 π−θ\pi-\thetaπ−θ 后方程不变，曲线关于 yyy 轴对称。若把 θ\thetaθ 换成 θ+π\theta+\piθ+π 后方程不变，曲线关于原点对称。

例如

r=1+cos⁡θr=1+\cos\thetar=1+cosθ

把 θ\thetaθ 换成 −θ-\theta−θ，由于 cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\thetacos(−θ)=cosθ，方程不变，所以它关于 xxx 轴对称。这条曲线是向右开的心形线，θ=0\theta=0θ=0 时 r=2r=2r=2，θ=π\theta=\piθ=π 时 r=0r=0r=0，曲线在原点形成尖点。

作极坐标图像时，先找几个关键角度通常比机械列表更有效。常用角度包括 000、π/2\pi/2π/2、π\piπ、3π/23\pi/23π/2，再加上让 r=0r=0r=0、rrr 取最大值或最小值的角度。

负半径的意义

若 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ) 取负值，点不会消失，而是落在角度 θ+π\theta+\piθ+π 的反向射线上。例如 (−2,π/6)( -2,\pi/6)(−2,π/6) 表示的点与 (2,7π/6)(2,7\pi/6)(2,7π/6) 相同。

这解释了玫瑰线为什么能用很短的区间画出花瓣。以

r=2cos⁡(2θ)r=2\cos(2\theta)r=2cos(2θ)

为例，当 cos⁡(2θ)\cos(2\theta)cos(2θ) 为负时，曲线会转到相反方向的射线上。若只盯着 rrr 的正负，容易误判花瓣数量和方向。

极坐标曲线的切线

极坐标曲线 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ) 可以看成参数曲线：

x=f(θ)cos⁡θ,y=f(θ)sin⁡θx=f(\theta)\cos\theta,\qquad y=f(\theta)\sin\thetax=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ

因此它的切线斜率可以沿用参数曲线的公式

dydx=dy/dθdx/dθ\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}dxdy​=dx/dθdy/dθ​

对 xxx 和 yyy 分别求导，得到

dxdθ=f′(θ)cos⁡θ−f(θ)sin⁡θ\frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\thetadθdx​=f′(θ)cosθ−f(θ)sinθ dydθ=f′(θ)sin⁡θ+f(θ)cos⁡θ\frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\thetadθdy​=f′(θ)sinθ+f(θ)cosθ

所以

dydx=f′(θ)sin⁡θ+f(θ)cos⁡θf′(θ)cos⁡θ−f(θ)sin⁡θ\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta} {f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}dxdy​=f′(θ)cosθ−f(θ)sinθf′(θ)sinθ+f(θ)cosθ​

当分母为 000 而分子不为 000 时，切线是竖直的。当分子为 000 而分母不为 000 时，切线是水平的。如果两者同时为 000，需要回到参数曲线的局部行为，不能直接凭这个商式判断。

极坐标切线可以通过参数化公式 x=r cosθ、y=r sinθ 求出。

例题：心形线上的切线

求曲线

r=1+cos⁡θr=1+\cos\thetar=1+cosθ

在 θ=π/2\theta=\pi/2θ=π/2 对应点处的切线斜率。

先计算该角度的半径与导数。这里 r=1+cos⁡(π/2)=1r=1+\cos(\pi/2)=1r=1+cos(π/2)=1，并且 r′=−sin⁡θr'=-\sin\thetar′=−sinθ，所以 r′(π/2)=−1r'(\pi/2)=-1r′(π/2)=−1。

代入 dx/dθ=r′cos⁡θ−rsin⁡θdx/d\theta=r'\cos\theta-r\sin\thetadx/dθ=r′cosθ−rsinθ，得到

dxdθ=(−1)⋅0−1⋅1=−1\frac{dx}{d\theta}=(-1)\cdot 0-1\cdot 1=-1dθdx​=(−1)⋅0−1⋅1=−1

代入 dy/dθ=r′sin⁡θ+rcos⁡θdy/d\theta=r'\sin\theta+r\cos\thetady/dθ=r′sinθ+rcosθ，得到

dydθ=(−1)⋅1+1⋅0=−1\frac{dy}{d\theta}=(-1)\cdot 1+1\cdot 0=-1dθdy​=(−1)⋅1+1⋅0=−1

因此切线斜率为

dydx=−1−1=1\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{-1}=1dxdy​=−1−1​=1

对应点的直角坐标是 (0,1)(0,1)(0,1)，切线方程可写成 y−1=xy-1=xy−1=x。

极坐标中的面积

极坐标面积公式来自扇形面积。半径为 rrr、角宽为 Δθ\Delta\thetaΔθ 的小扇形面积近似为

ΔA≈12r2Δθ\Delta A\approx \frac12 r^2\Delta\thetaΔA≈21​r2Δθ

当曲线 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ) 在 α≤θ≤β\alpha\le\theta\le\betaα≤θ≤β 上扫过一个不重复的区域时，把这些小扇形相加并取极限，得到

A=12∫αβ[f(θ)]2 dθA=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left[f(\theta)\right]^2\,d\thetaA=21​∫αβ​[f(θ)]2dθ

极坐标面积公式来自薄扇形面积的累加。

面积公式中的平方会把负的 rrr 变成正数，但这不代表任意区间都能直接积分。区间必须对应目标区域被扫过一次。若曲线重复描线，积分会把同一区域重复计算。

例题：心形线围成的面积

求

r=1+cos⁡θr=1+\cos\thetar=1+cosθ

围成区域的面积。

这条心形线在 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi0≤θ≤2π 上完整扫过一次，所以

A=12∫02π(1+cos⁡θ)2 dθA=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\thetaA=21​∫02π​(1+cosθ)2dθ

展开被积函数：

(1+cos⁡θ)2=1+2cos⁡θ+cos⁡2θ(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta(1+cosθ)2=1+2cosθ+cos2θ

于是

A=12∫02π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ) dθA=\frac12\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\,d\thetaA=21​∫02π​(1+2cosθ+cos2θ)dθ

其中

∫02π1 dθ=2π,∫02π2cos⁡θ dθ=0,∫02πcos⁡2θ dθ=π\int_0^{2\pi}1\,d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}2\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi∫02π​1dθ=2π,∫02π​2cosθdθ=0,∫02π​cos2θdθ=π

因此

A=12(2π+π)=3π2A=\frac12(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}A=21​(2π+π)=23π​

两条极坐标曲线之间的面积

若同一组射线 α≤θ≤β\alpha\le\theta\le\betaα≤θ≤β 上，外侧曲线为 r=R(θ)r=R(\theta)r=R(θ)，内侧曲线为 r=ρ(θ)r=\rho(\theta)r=ρ(θ)，且区域只被扫过一次，则面积为

A=12∫αβ(R(θ)2−ρ(θ)2) dθA=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left(R(\theta)^2-\rho(\theta)^2\right)\,d\thetaA=21​∫αβ​(R(θ)2−ρ(θ)2)dθ

这里的难点往往不是积分，而是确定“外侧”和“内侧”何时交换。交点也要小心：极坐标中的同一个点可能来自不同角度。尤其是原点，若两条曲线都能取到 r=0r=0r=0，它们可能在极点相交，但不一定由同一个 θ\thetaθ 解出来。

例题：一瓣玫瑰线面积

求曲线

r=2cos⁡(2θ)r=2\cos(2\theta)r=2cos(2θ)

位于正 xxx 轴方向的一瓣面积。

这一瓣从 θ=−π/4\theta=-\pi/4θ=−π/4 到 θ=π/4\theta=\pi/4θ=π/4 被扫过一次，因为端点处 r=0r=0r=0，中间 θ=0\theta=0θ=0 处半径最大。面积为

A=12∫−π/4π/4(2cos⁡(2θ))2 dθA=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(2\cos(2\theta)\right)^2\,d\thetaA=21​∫−π/4π/4​(2cos(2θ))2dθ

即

A=2∫−π/4π/4cos⁡2(2θ) dθA=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\thetaA=2∫−π/4π/4​cos2(2θ)dθ

用恒等式

cos⁡2(2θ)=1+cos⁡(4θ)2\cos^2(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2}cos2(2θ)=21+cos(4θ)​

可得

A=2[θ2+sin⁡(4θ)8]−π/4π/4=π2A=2\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(4\theta)}{8}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\frac{\pi}{2}A=2[2θ​+8sin(4θ)​]−π/4π/4​=2π​

极坐标弧长

弧长公式也可以从参数曲线公式推出。因为

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\thetax=rcosθ,y=rsinθ

所以

L=∫αβ(dxdθ)2+(dydθ)2 dθL=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\thetaL=∫αβ​(dθdx​)2+(dθdy​)2​dθ

把导数展开后，交叉项会抵消，剩下

(dxdθ)2+(dydθ)2=r2+(drdθ)2\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2(dθdx​)2+(dθdy​)2=r2+(dθdr​)2

于是极坐标弧长公式为

L=∫αβr2+(drdθ)2 dθL=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\thetaL=∫αβ​r2+(dθdr​)2​dθ

极坐标弧长微元由径向变化 dr 和弧向长度 r dθ 合成。

几何上也可以这样理解：角度增加 dθd\thetadθ 时，点一方面沿径向改变 drdrdr，另一方面沿圆周方向走过近似长度 r dθr\,d\thetardθ。这两个方向近似垂直，所以

ds≈(dr)2+(r dθ)2ds\approx\sqrt{(dr)^2+(r\,d\theta)^2}ds≈(dr)2+(rdθ)2​

两边除以 dθd\thetadθ 后积分，就得到同一个公式。

例题：心形线的周长

求

r=1+cos⁡θr=1+\cos\thetar=1+cosθ

的弧长。

这里

drdθ=−sin⁡θ\frac{dr}{d\theta}=-\sin\thetadθdr​=−sinθ

所以

r2+(drdθ)2=(1+cos⁡θ)2+sin⁡2θ\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}r2+(dθdr​)2​=(1+cosθ)2+sin2θ​

化简得

2+2cos⁡θ=4cos⁡2θ2=2∣cos⁡θ2∣\sqrt{2+2\cos\theta} = \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} = 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|2+2cosθ​=4cos22θ​​=2​cos2θ​​

因此

L=∫02π2∣cos⁡θ2∣ dθL=\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\thetaL=∫02π​2​cos2θ​​dθ

令 u=θ/2u=\theta/2u=θ/2，得到

L=4∫0π∣cos⁡u∣ du=8L=4\int_0^\pi |\cos u|\,du=8L=4∫0π​∣cosu∣du=8

这个例子也提醒我们，根号化简后出现绝对值时不能随手丢掉。心形线在尖点附近的方向变化，正是绝对值出现的原因之一。

圆锥曲线的极坐标方程

直角坐标里，椭圆、抛物线和双曲线常常要分别记三套标准方程。极坐标提供了另一种看法：把圆锥曲线的一个焦点放在极点，它们就能被同一条公式描述。这个统一不是为了炫技，而是为了处理轨道、反射路径和“以某个焦点为观察中心”的问题。在这些场景中，点到焦点的距离本来就是 rrr，极坐标正好把最重要的量直接写了出来。

圆锥曲线的焦点—准线定义是：曲线上任意一点 PPP 到固定焦点的距离，与它到固定准线的距离之比是常数 eee。这个常数叫离心率：

点到焦点的距离点到准线的距离=e\frac{\text{点到焦点的距离}}{\text{点到准线的距离}}=e点到准线的距离点到焦点的距离​=e

把焦点放在极点，设准线是竖直直线 x=dx=dx=d，其中 d>0d>0d>0。曲线上一点的极坐标为 (r,θ)(r,\theta)(r,θ)，那么它到焦点的距离就是 rrr；它的横坐标是 rcos⁡θr\cos\thetarcosθ，在我们关心的分支上，它到准线的距离为

d−rcos⁡θd-r\cos\thetad−rcosθ

代入定义：

r=e(d−rcos⁡θ)r=e(d-r\cos\theta)r=e(d−rcosθ)

整理可得

r(1+ecos⁡θ)=edr(1+e\cos\theta)=edr(1+ecosθ)=ed

所以

r=ed1+ecos⁡θr=\frac{ed}{1+e\cos\theta}r=1+ecosθed​

如果准线移到极点左侧、上方或下方，推导完全相同，只是“点到准线的距离”中的符号或三角函数会改变：

准线极坐标方程
x=dx=dx=dr=ed1+ecos⁡θ\displaystyle r=\frac{ed}{1+e\cos\theta}r=1+ecosθed​
x=−dx=-dx=−dr=ed1−ecos⁡θ\displaystyle r=\frac{ed}{1-e\cos\theta}r=1−ecosθed​
y=dy=dy=dr=ed1+esin⁡θ\displaystyle r=\frac{ed}{1+e\sin\theta}r=1+esinθed​
y=−dy=-dy=−dr=ed1−esin⁡θ\displaystyle r=\frac{ed}{1-e\sin\theta}r=1−esinθed​

这里不要机械背“正号对应哪一边”。更稳的办法是回到距离式：准线若是 x=dx=dx=d，距离就在相关分支上写成 d−x=d−rcos⁡θd-x=d-r\cos\thetad−x=d−rcosθ；准线若是 x=−dx=-dx=−d，距离写成 x+d=rcos⁡θ+dx+d=r\cos\theta+dx+d=rcosθ+d。把距离乘上 eee 并令它等于 rrr，符号自然会出来。

离心率决定曲线类型

同一族公式里，真正决定形状的是 eee：

  • 0<e<10<e<10<e<1 时是椭圆；点到焦点的距离相对于点到准线的距离较小，曲线被束缚成封闭形状。
  • e=1e=1e=1 时是抛物线；点到焦点和准线的距离始终相等。
  • e>1e>1e>1 时是双曲线；曲线不封闭，并会出现渐近方向。

圆可以看作离心率趋近于 000 的椭圆极限，但在上面的焦点—准线公式里通常单独处理，因为同时还要调整参数 ddd 才能保持有限半径。

例题：从方程读出曲线

判断曲线

r=62+cos⁡θr=\frac{6}{2+\cos\theta}r=2+cosθ6​

的类型，并找出离心率和准线。

先把分母的常数项化成 111：

r=31+12cos⁡θr=\frac{3}{1+\frac12\cos\theta}r=1+21​cosθ3​

与

r=ed1+ecos⁡θr=\frac{ed}{1+e\cos\theta}r=1+ecosθed​

比较，得到

e=12,ed=3e=\frac12,\qquad ed=3e=21​,ed=3

于是

d=6d=6d=6

因为 0<e<10<e<10<e<1，所以曲线是椭圆；分母中是 1+ecos⁡θ1+e\cos\theta1+ecosθ，对应准线 x=6x=6x=6。这里最容易犯的错，是把分子 333 当成 ddd。分子代表的是乘积 ededed，不是准线距离本身。

例题：验证一条抛物线

考虑

r=41−cos⁡θr=\frac{4}{1-\cos\theta}r=1−cosθ4​

把它与一般式比较，可见

e=1,ed=4e=1,\qquad ed=4e=1,ed=4

所以 d=4d=4d=4，准线为 x=−4x=-4x=−4。由于 e=1e=1e=1，这是一条抛物线。我们也可以直接验证焦点—准线性质：方程两边乘以 1−cos⁡θ1-\cos\theta1−cosθ，得到

r−rcos⁡θ=4r-r\cos\theta=4r−rcosθ=4

即

r=x+4r=x+4r=x+4

右边正是点 (x,y)(x,y)(x,y) 到直线 x=−4x=-4x=−4 的距离，左边的 rrr 是点到极点的距离。因此曲线上每一点到焦点和准线的距离相等。

用公式前先做的三个判断

拿到 r=K1±ecos⁡θr=\dfrac{K}{1\pm e\cos\theta}r=1±ecosθK​ 或 r=K1±esin⁡θr=\dfrac{K}{1\pm e\sin\theta}r=1±esinθK​ 时，可以按以下顺序读：

  1. 先把分母常数项化成 111，不要在 2+cos⁡θ2+\cos\theta2+cosθ 这样的形式上直接读参数。
  2. 从 cos⁡θ\cos\thetacosθ 或 sin⁡θ\sin\thetasinθ 判断准线是竖直还是水平，再从符号判断它位于极点哪一侧。
  3. 读出 eee 后先分类，再用 ed=Ked=Ked=K 求 ddd。

反过来，如果题目给出焦点、准线和离心率，就从距离定义重新推一次，通常比背四个公式更可靠。这个习惯也能防止一个常见误区：看到分母某个角度为零，就只说“函数无定义”。对双曲线而言，分母趋近于零恰恰揭示了曲线伸向无穷远的渐近方向，是几何信息，不只是代数麻烦。

和二重积分的接口

本章的面积公式只处理由一条极坐标曲线扫出的平面区域。到了多变量微积分，我们会把区域本身写成

α≤θ≤β,a(θ)≤r≤b(θ)\alpha\le\theta\le\beta,\qquad a(\theta)\le r\le b(\theta)α≤θ≤β,a(θ)≤r≤b(θ)

并计算二重积分。那里最重要的面积微元是

dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\thetadA=rdrdθ

极坐标小面积块的面积约为 r dr dθ，面积因子 r 来自外侧弧更长。

面积因子 rrr 的来源很直观：同样的角宽 dθd\thetadθ，离原点越远，弧长 r dθr\,d\thetardθ 越长。一个小极坐标块的径向厚度是 drdrdr，弧向长度约为 r dθr\,d\thetardθ，所以面积约为

r dθ drr\,d\theta\,drrdθdr

若只求曲线 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ) 围成的面积，则内层积分是

∫0f(θ)r dr=12[f(θ)]2\int_0^{f(\theta)}r\,dr=\frac12[f(\theta)]^2∫0f(θ)​rdr=21​[f(θ)]2

再对 θ\thetaθ 积分，就回到本章的公式

A=∫αβ∫0f(θ)r dr dθ=12∫αβ[f(θ)]2 dθA=\int_{\alpha}^{\beta}\int_0^{f(\theta)}r\,dr\,d\theta = \frac12\int_{\alpha}^{\beta}[f(\theta)]^2\,d\thetaA=∫αβ​∫0f(θ)​rdrdθ=21​∫αβ​[f(θ)]2dθ

这就是本章面积公式和极坐标二重积分之间的桥。

常见错误

把 tan⁡θ=y/x\tan\theta=y/xtanθ=y/x 当成完整答案

若只用 tan⁡θ=y/x\tan\theta=y/xtanθ=y/x，会丢掉象限信息。点 (1,1)(1,1)(1,1) 和 (−1,−1)(-1,-1)(−1,−1) 的正切值相同，但方向相差 π\piπ。从直角坐标转成极坐标时，先定 rrr，再根据象限定角度。

忽略负半径

负半径不是“不存在”。它表示沿相反方向取正距离。作图时一旦曲线有负的 rrr，就要认真追踪点实际落在哪里。

面积区间扫过多次

面积公式简单，但区间选择不简单。对玫瑰线、带内环的蚶线、自交曲线，常常需要只取一瓣、一环或一个明确区域的角度范围。若用 000 到 2π2\pi2π 盲目积分，可能重复计算。

极点交点漏掉

解两条曲线交点时，方程 f(θ)=g(θ)f(\theta)=g(\theta)f(θ)=g(θ) 只找到了同一角度下的相同半径。极坐标同一点可能由不同角度表示，原点尤其容易漏掉。

切线公式在尖点处直接套用

若 dx/dθdx/d\thetadx/dθ 和 dy/dθdy/d\thetady/dθ 同时为 000，斜率公式给出 0/00/00/0。这不是“斜率为 0”，而是公式暂时失效。需要回到参数曲线附近的变化，或从左右两侧分别考察。

练习

  1. 把点 (3,5π/6)(3,5\pi/6)(3,5π/6) 转成直角坐标，并给出同一点的一个负半径极坐标表示。

直角坐标为

x=3cos⁡5π6=−332,y=3sin⁡5π6=32x=3\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{3\sqrt3}{2},\qquad y=3\sin\frac{5\pi}{6}=\frac32x=3cos65π​=−233​​,y=3sin65π​=23​

同一点可以写成

(−3,11π/6)(-3,11\pi/6)(−3,11π/6)

因为负半径会把方向反转 π\piπ。

  1. 把直角坐标方程
x2+y2=6yx^2+y^2=6yx2+y2=6y

写成极坐标方程，并说明它是什么曲线。

用 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2 和 y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ，得

r2=6rsin⁡θr^2=6r\sin\thetar2=6rsinθ

除原点外可写成

r=6sin⁡θr=6\sin\thetar=6sinθ

原方程配方为

x2+(y−3)2=9x^2+(y-3)^2=9x2+(y−3)2=9

所以它是圆心 (0,3)(0,3)(0,3)、半径 333 的圆。

  1. 曲线
r=2+sin⁡θr=2+\sin\thetar=2+sinθ

关于哪条坐标轴对称？说明理由。

把 θ\thetaθ 换成 π−θ\pi-\thetaπ−θ 时，

sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi-\theta)=\sin\thetasin(π−θ)=sinθ

方程不变，所以曲线关于 yyy 轴对称。把 θ\thetaθ 换成 −θ-\theta−θ 时，sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\thetasin(−θ)=−sinθ，方程一般不保持不变，因此不能由这个测试得到关于 xxx 轴对称。

  1. 求曲线
r=2cos⁡θr=2\cos\thetar=2cosθ

围成的面积。

这条曲线是圆心 (1,0)(1,0)(1,0)、半径 111 的圆。用极坐标面积公式，可以取 −π/2≤θ≤π/2-\pi/2\le\theta\le\pi/2−π/2≤θ≤π/2，因为这段正好扫过圆一次：

A=12∫−π/2π/24cos⁡2θ dθA=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\thetaA=21​∫−π/2π/2​4cos2θdθ

所以

A=2∫−π/2π/2cos⁡2θ dθ=πA=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\piA=2∫−π/2π/2​cos2θdθ=π
  1. 求
r=3r=3r=3

在 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π 上的弧长。

这里 dr/dθ=0dr/d\theta=0dr/dθ=0，所以

L=∫0π32+02 dθ=∫0π3 dθ=3πL=\int_0^\pi\sqrt{3^2+0^2}\,d\theta = \int_0^\pi3\,d\theta =3\piL=∫0π​32+02​dθ=∫0π​3dθ=3π

这正是半径为 333 的圆的半个周长。

  1. 曲线
r=1−cos⁡θr=1-\cos\thetar=1−cosθ

在 θ=0\theta=0θ=0 处经过原点。为什么不能直接用切线斜率公式得出普通斜率？

在 θ=0\theta=0θ=0 时，r=0r=0r=0，且 r′=sin⁡θ=0r'=\sin\theta=0r′=sinθ=0。于是

dxdθ=r′cos⁡θ−rsin⁡θ=0\frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta=0dθdx​=r′cosθ−rsinθ=0

并且

dydθ=r′sin⁡θ+rcos⁡θ=0\frac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta=0dθdy​=r′sinθ+rcosθ=0

斜率公式给出 0/00/00/0，说明普通的商式无法判断尖点处的切线。需要考察曲线靠近原点时的局部参数行为。

  1. 判断
r=82−sin⁡θr=\frac{8}{2-\sin\theta}r=2−sinθ8​

是椭圆、抛物线还是双曲线，并求离心率与准线。

先把方程改写为

r=41−12sin⁡θr=\frac{4}{1-\frac12\sin\theta}r=1−21​sinθ4​

因此 e=1/2<1e=1/2<1e=1/2<1，曲线是椭圆。由 ed=4ed=4ed=4 得 d=8d=8d=8；分母为 1−esin⁡θ1-e\sin\theta1−esinθ，所以准线是 y=−8y=-8y=−8。

  1. 一条圆锥曲线的焦点位于极点，离心率为 222，准线为 x=3x=3x=3。写出它的极坐标方程并判断类型。

对准线 x=3x=3x=3，点到准线的距离在相关分支上为 3−rcos⁡θ3-r\cos\theta3−rcosθ。由

r=2(3−rcos⁡θ)r=2(3-r\cos\theta)r=2(3−rcosθ)

得

r=61+2cos⁡θr=\frac{6}{1+2\cos\theta}r=1+2cosθ6​

因为 e=2>1e=2>1e=2>1，所以它是双曲线。

小结

极坐标把点写成 (r,θ)(r,\theta)(r,θ)，把曲线写成 r=f(θ)r=f(\theta)r=f(θ)。坐标互换依赖

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r2=x2+y2x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r^2=x^2+y^2x=rcosθ,y=rsinθ,r2=x2+y2

极坐标图像的核心是“角度扫动时半径怎样变”。圆、心形线、玫瑰线和螺线都体现了这种语言的优势。

切线来自参数曲线：

dydx=r′sin⁡θ+rcos⁡θr′cos⁡θ−rsin⁡θ\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}dxdy​=r′cosθ−rsinθr′sinθ+rcosθ​

面积来自扇形累加：

A=12∫αβr2 dθA=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\thetaA=21​∫αβ​r2dθ

弧长来自径向变化和弧向变化的合成：

L=∫αβr2+(drdθ)2 dθL=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\thetaL=∫αβ​r2+(dθdr​)2​dθ

学会这些公式后，更重要的是判断它们的使用条件：曲线是否扫过一次、区间是否正确、负半径是否改变图像、极点是否造成特殊交点。极坐标的计算并不只是换符号，它要求我们始终把“距离加角度”的几何图像放在眼前。

上一章参数曲线：让曲线带上时间