极坐标：用距离和角度描述曲线 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

极坐标：用距离和角度描述曲线

直角坐标用“向右多少、向上多少”定位点。极坐标换了一个看平面的方式：先从原点出发，沿某个角度转过去，再走一段距离。对圆、螺线、花瓣状曲线和许多带有旋转对称的区域来说，这种描述常常比 $y=f(x)$ 更自然。

在本章里，极坐标不是一套孤立的新符号。它会把上一章的参数曲线继续往前推一步：只要给出 $r=f(\theta)$ ，曲线其实就是

x=f(\theta)\cos\theta,\qquad y=f(\theta)\sin\theta

这也是为什么切线、面积和弧长都可以从已有的微积分工具推出。我们要做的事情，是学会在“距离”和“角度”的语言里看图、算图，并为后面的极坐标二重积分留下接口。

极坐标用半径和角度定位平面点，并与直角坐标互相转换。

从直角坐标到极坐标

极坐标中的一个点通常写成 $(r,\theta)$ 。这里 $r$ 表示点到原点的有向距离， $\theta$ 表示从正 $x$ 轴转到该方向的角度。若 $r>0$ ，点在角度 $\theta$ 指向的射线上；若，点在相反方向上。

从极坐标到直角坐标的公式是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

从直角坐标回到极坐标时，常用

r^2=x^2+y^2,\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}

第二个式子只给出角度的正切值，不能单独决定象限。实际换算时，先看点在第几象限，再选合适的 $\theta$ 。

极坐标表示不是唯一的。同一个点可以写成 $(r,\theta+2k\pi)$ ，也可以写成 $(-r,\theta+(2k+1)\pi)$ 。原点更特殊：只要 $r$ ，任意角度都表示原点。这一点会影响交点、切线和面积区间的判断。

例如点 $(2,\pi/6)$ 对应

x=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt3,\qquad y=2\sin\frac{\pi}{6}=1

所以直角坐标是 $(\sqrt3,1)$ 。同一个点也可以写成 $(2,13\pi/6)$ ，还可以写成 $(-2,7\pi/6)$ 。

反过来，点 $(-1,\sqrt3)$ 满足

r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2

它位于第二象限，所以可以取

\theta=\frac{2\pi}{3}

因此一个极坐标表示是 $(2,2\pi/3)$ 。

方程互换

把直角坐标方程改写成极坐标方程时，通常替换 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 、 $x^2+y^2=r^2$ 。例如

x^2+y^2=4x

变成

r^2=4r\cos\theta

除去 $r=0$ 以外，可以写成

r=4\cos\theta

这个方程表示以 $(2,0)$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆。这里的 $r=0$ 仍在曲线上，因为原直角坐标方程经过原点。

先找方程中最适合替换的整体。这里 $x^2+y^2$ 正好等于 $r^2$ ，比逐项替换更简洁。

把极坐标方程改成直角坐标方程时，常常要制造 $r^2$ 。例如

r=3\sin\theta

两边乘以 $r$ ，得到

r^2=3r\sin\theta

所以

x^2+y^2=3y

配方后是

x^2+\left(y-\frac32\right)^2=\left(\frac32\right)^2

这是一条圆，而不是某种新奇曲线。极坐标的形式常把圆心不在原点的圆写得很短。

读懂极坐标曲线

一条极坐标曲线通常写成

r=f(\theta)

当 $\theta$ 变化时，点 $(r,\theta)$ 在平面上移动，于是扫出曲线。读图时，不要只把 $r$ 当作普通的 $y$ 值。 $r$ 是离原点的距离， $\theta$ 是方向；同样的 $r$ 在不同角度上会落在不同射线上。

常见曲线族

极坐标里最常见的曲线通常由简单的三角函数或线性函数给出。它们在直角坐标中往往很难写成单个函数，但在极坐标中只有一行公式。

圆、四瓣玫瑰线、心形线和阿基米德螺线的极坐标图像总览。

常见类型可以先按下面的方式记：

极坐标方程	曲线特征	阅读重点
$r=a$	以原点为圆心的圆	半径固定，角度扫一圈
$r=a\cos\theta$ 或 $r=a\sin\theta$	经过原点的圆	圆心在坐标轴上，半径为 $
$r = a + b \cos$ 或

这些规律是读图的入口，不是代替计算的证明。遇到具体题目时，仍要检查取值范围、是否重复描线、是否经过原点，以及是否有负的 $r$ 。

对称性检查

极坐标曲线常带有对称性。检查对称性可以帮我们减少作图和积分区间。

如果把 $\theta$ 换成 $-\theta$ 后方程不变，曲线关于极轴，也就是 $x$ 轴对称。若把 $\theta$ 换成 $\pi-\theta$ 后方程不变，曲线关于 $y$ 轴对称。若把 $\theta$ 换成后方程不变，曲线关于原点对称。

例如

r=1+\cos\theta

把 $\theta$ 换成 $-\theta$ ，由于 $\cos(-\theta)=\cos\theta$ ，方程不变，所以它关于 $x$ 轴对称。这条曲线是向右开的心形线， $\theta=0$ 时，时，曲线在原点形成尖点。

作极坐标图像时，先找几个关键角度通常比机械列表更有效。常用角度包括 $0$ 、 $\pi/2$ 、 $\pi$ 、 $3\pi/2$ ，再加上让 $r=0$ 、 $r$ 取最大值或最小值的角度。

负半径的意义

若 $r=f(\theta)$ 取负值，点不会消失，而是落在角度 $\theta+\pi$ 的反向射线上。例如 $( -2,\pi/6)$ 表示的点与 $(2,7\pi/6)$ 相同。

这解释了玫瑰线为什么能用很短的区间画出花瓣。以

r=2\cos(2\theta)

为例，当 $\cos(2\theta)$ 为负时，曲线会转到相反方向的射线上。若只盯着 $r$ 的正负，容易误判花瓣数量和方向。

极坐标曲线的切线

极坐标曲线 $r=f(\theta)$ 可以看成参数曲线：

x=f(\theta)\cos\theta,\qquad y=f(\theta)\sin\theta

因此它的切线斜率可以沿用参数曲线的公式

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}

对 $x$ 和 $y$ 分别求导，得到

\frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta

\frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta

所以

\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta} {f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}

当分母为 $0$ 而分子不为 $0$ 时，切线是竖直的。当分子为 $0$ 而分母不为 $0$ 时，切线是水平的。如果两者同时为 $0$ ，需要回到参数曲线的局部行为，不能直接凭这个商式判断。

极坐标切线可以通过参数化公式 x=r cosθ、y=r sinθ 求出。

例题：心形线上的切线

求曲线

r=1+\cos\theta

在 $\theta=\pi/2$ 对应点处的切线斜率。

先计算该角度的半径与导数。这里 $r=1+\cos(\pi/2)=1$ ，并且 $r'=-\sin\theta$ ，所以。

极坐标中的面积

极坐标面积公式来自扇形面积。半径为 $r$ 、角宽为 $\Delta\theta$ 的小扇形面积近似为

\Delta A\approx \frac12 r^2\Delta\theta

当曲线 $r=f(\theta)$ 在 $\alpha\le\theta\le\beta$ 上扫过一个不重复的区域时，把这些小扇形相加并取极限，得到

A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left[f(\theta)\right]^2\,d\theta

极坐标面积公式来自薄扇形面积的累加。

面积公式中的平方会把负的 $r$ 变成正数，但这不代表任意区间都能直接积分。区间必须对应目标区域被扫过一次。若曲线重复描线，积分会把同一区域重复计算。

例题：心形线围成的面积

求

r=1+\cos\theta

围成区域的面积。

这条心形线在 $0\le\theta\le2\pi$ 上完整扫过一次，所以

A=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta

展开被积函数：

(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta

于是

A=\frac12\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\,d\theta

其中

\int_0^{2\pi}1\,d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}2\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi

因此

A=\frac12(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}

两条极坐标曲线之间的面积

若同一组射线 $\alpha\le\theta\le\beta$ 上，外侧曲线为 $r=R(\theta)$ ，内侧曲线为 $r=\rho(\theta)$ ，且区域只被扫过一次，则面积为

A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left(R(\theta)^2-\rho(\theta)^2\right)\,d\theta

这里的难点往往不是积分，而是确定“外侧”和“内侧”何时交换。交点也要小心：极坐标中的同一个点可能来自不同角度。尤其是原点，若两条曲线都能取到 $r=0$ ，它们可能在极点相交，但不一定由同一个 $\theta$ 解出来。

例题：一瓣玫瑰线面积

求曲线

r=2\cos(2\theta)

位于正 $x$ 轴方向的一瓣面积。

这一瓣从 $\theta=-\pi/4$ 到 $\theta=\pi/4$ 被扫过一次，因为端点处 $r=0$ ，中间 $\theta=0$ 处半径最大。面积为

A=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(2\cos(2\theta)\right)^2\,d\theta

即

A=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta

用恒等式

\cos^2(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2}

可得

A=2\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(4\theta)}{8}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\frac{\pi}{2}

极坐标弧长

弧长公式也可以从参数曲线公式推出。因为

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

所以

L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta

把导数展开后，交叉项会抵消，剩下

\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2

于是极坐标弧长公式为

L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta

极坐标弧长微元由径向变化 dr 和弧向长度 r dθ 合成。

几何上也可以这样理解：角度增加 $d\theta$ 时，点一方面沿径向改变 $dr$ ，另一方面沿圆周方向走过近似长度 $r\,d\theta$ 。这两个方向近似垂直，所以

ds\approx\sqrt{(dr)^2+(r\,d\theta)^2}

两边除以 $d\theta$ 后积分，就得到同一个公式。

例题：心形线的周长

求

r=1+\cos\theta

的弧长。

这里

\frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta

所以

\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}

化简得

\sqrt{2+2\cos\theta} = \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} = 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|

因此

L=\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta

令 $u=\theta/2$ ，得到

L=4\int_0^\pi |\cos u|\,du=8

这个例子也提醒我们，根号化简后出现绝对值时不能随手丢掉。心形线在尖点附近的方向变化，正是绝对值出现的原因之一。

和二重积分的接口

本章的面积公式只处理由一条极坐标曲线扫出的平面区域。到了多变量微积分，我们会把区域本身写成

\alpha\le\theta\le\beta,\qquad a(\theta)\le r\le b(\theta)

并计算二重积分。那里最重要的面积微元是

dA=r\,dr\,d\theta

极坐标小面积块的面积约为 r dr dθ，面积因子 r 来自外侧弧更长。

面积因子 $r$ 的来源很直观：同样的角宽 $d\theta$ ，离原点越远，弧长 $r\,d\theta$ 越长。一个小极坐标块的径向厚度是 $dr$ ，弧向长度约为 $r\,d\theta$ ，所以面积约为

r\,d\theta\,dr

若只求曲线 $r=f(\theta)$ 围成的面积，则内层积分是

\int_0^{f(\theta)}r\,dr=\frac12[f(\theta)]^2

再对 $\theta$ 积分，就回到本章的公式

A=\int_{\alpha}^{\beta}\int_0^{f(\theta)}r\,dr\,d\theta = \frac12\int_{\alpha}^{\beta}[f(\theta)]^2\,d\theta

这就是本章面积公式和极坐标二重积分之间的桥。

常见错误

把 $\tan\theta=y/x$ 当成完整答案

若只用 $\tan\theta=y/x$ ，会丢掉象限信息。点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 的正切值相同，但方向相差 $\pi$ 。从直角坐标转成极坐标时，先定 $r$ ，再根据象限定角度。

忽略负半径

负半径不是“不存在”。它表示沿相反方向取正距离。作图时一旦曲线有负的 $r$ ，就要认真追踪点实际落在哪里。

面积区间扫过多次

面积公式简单，但区间选择不简单。对玫瑰线、带内环的蚶线、自交曲线，常常需要只取一瓣、一环或一个明确区域的角度范围。若用 $0$ 到 $2\pi$ 盲目积分，可能重复计算。

极点交点漏掉

解两条曲线交点时，方程 $f(\theta)=g(\theta)$ 只找到了同一角度下的相同半径。极坐标同一点可能由不同角度表示，原点尤其容易漏掉。

切线公式在尖点处直接套用

若 $dx/d\theta$ 和 $dy/d\theta$ 同时为 $0$ ，斜率公式给出 $0/0$ 。这不是“斜率为 0”，而是公式暂时失效。需要回到参数曲线附近的变化，或从左右两侧分别考察。

练习

把点 $(3,5\pi/6)$ 转成直角坐标，并给出同一点的一个负半径极坐标表示。

直角坐标为

x=3\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{3\sqrt3}{2},\qquad y=3\sin\frac{5\pi}{6}=\frac32

把直角坐标方程

x^2+y^2=6y

写成极坐标方程，并说明它是什么曲线。

用 $x^2+y^2=r^2$ 和 $y=r\sin\theta$ ，得

曲线

r=2+\sin\theta

关于哪条坐标轴对称？说明理由。

把 $\theta$ 换成 $\pi-\theta$ 时，

\sin(\pi-\theta)=\sin\theta

方程不变，所以曲线关于 $y$ 轴对称。把换成时，，方程一般不保持不变，因此不能由这个测试得到关于轴对称。

求曲线

r=2\cos\theta

围成的面积。

这条曲线是圆心 $(1,0)$ 、半径 $1$ 的圆。用极坐标面积公式，可以取 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ ，因为这段正好扫过圆一次：

A=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta

r=3

在 $0\le\theta\le\pi$ 上的弧长。

这里 $dr/d\theta=0$ ，所以

L=\int_0^\pi\sqrt{3^2+0^2}\,d\theta = \int_0^\pi3\,d\theta =3\pi

曲线

r=1-\cos\theta

在 $\theta=0$ 处经过原点。为什么不能直接用切线斜率公式得出普通斜率？

在 $\theta=0$ 时， $r=0$ ，且 $r'=\sin\theta=0$ 。于是

\frac{}{}

小结

极坐标把点写成 $(r,\theta)$ ，把曲线写成 $r=f(\theta)$ 。坐标互换依赖

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r^2=x^2+y^2

极坐标图像的核心是“角度扫动时半径怎样变”。圆、心形线、玫瑰线和螺线都体现了这种语言的优势。

切线来自参数曲线：

\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}

面积来自扇形累加：

A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta

弧长来自径向变化和弧向变化的合成：

L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta

学会这些公式后，更重要的是判断它们的使用条件：曲线是否扫过一次、区间是否正确、负半径是否改变图像、极点是否造成特殊交点。极坐标的计算并不只是换符号，它要求我们始终把“距离加角度”的几何图像放在眼前。

=

0

r=0

θ

r=a+b\cos\theta

\theta

d x

d θ

=

r^{'}

\cos

θ

-

r

\sin

θ

=

0

\frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta=0