圆与方程
拿一支圆规，把针脚扎在纸上，铅笔脚张开一段固定距离，然后转一圈。针脚没有动，铅笔尖一直在动，但铅笔尖到针脚的距离从头到尾都没变。纸上留下的那一圈轨迹，就是圆。
这件事看起来只是画图，实际上已经把圆最核心的条件说完了：一个动点到某个定点的距离始终等于同一个正数。定点是圆心，固定距离是半径。解析几何接下来要做的，只是给针脚和铅笔尖标上坐标，再把“距离不变”翻译成方程。
针脚固定、张角不变，铅笔尖的运动轨迹就是圆。
本章说的“圆”指圆周，也就是满足等距条件的那一圈点，不自动包括内部区域。如果要表示圆盘，必须把等号改成不等号：圆内连同边界写成“距离小于或等于半径”。
把距离动作翻译成标准方程
设圆心是 C(a,b)，半径是 r，并约定 r>0。圆上任意一点记作 P(x,y)。
圆规告诉我们，点 P 能留在圆周上，当且仅当 CP=r。两点距离公式把这句话写成：
(x−a)2+(y−b)2=r
两边平方，得到圆的标准方程：
(x−a)2+(y−b)2=r2
标准方程不是要硬背的新公式，它只是勾股定理给“半径不变”换了一种写法。
为什么左边恰好是两个平方相加？从 C 向右或向左走到 P 的正下方，水平变化量是 x−a；再竖直走到 P，竖直变化量是 y−b。这两段直角边和半径 CP 组成直角三角形，所以勾股定理给出：
(x−a)2+(y−b)2=CP2=r2
这一步还说明了方程和圆不是单向关系。圆上的点一定满足方程；反过来，只要一个实数点满足方程，它到 C 的距离就是 r，所以它一定在圆上。方程没有多收点，也没有漏掉点。
两个常见的特殊位置
如果圆心就在原点，那么 a=b=0，标准方程变成：
x2+y2=r2
如果把原点选在圆周上，并把圆心放在 x 轴正半轴上，圆心就是 (r,0)。这时：
(x−r)2+y2=r2
展开后得到：
x2+y2=2rx
这个式子没有常数项，不是巧合。因为圆经过原点，把 (0,0) 代入方程必须成立，常数项自然只能是 0。
标准方程默认 r>0。如果右边是 0，方程只留下圆心一个点；如果右边是负数，两个平方的和不可能等于负数，实数平面里就一个点也没有。这两种情况都不是通常所说的圆。
例题：从圆心和半径出发
已知圆心为 C(−2,3)，半径为 5。写出圆的方程，并判断点 A(1,7) 是否在圆上。
标准方程中的两个括号分别记录横坐标差和纵坐标差。把 a=−2、b=3、r=5 代入，先写成 (x−(−2))2+(y−3)2=52。
整理符号，得到：
(x+2)2+(y−3)2=25把 A(1,7) 代入左边：
(1+2)2+(7−3)2=32+42=25代入结果等于 r2，说明 CA=5。因此 A 正好在圆上。
从方程读回圆
看到标准式时，可以把它想成一张圆规的设置单：两个括号告诉你针脚扎在哪里，右边告诉你圆规张开多大。
例如：
(x+2)2+(y−3)2=16
应该读成：
(x−(−2))2+(y−3)2=42
所以圆心是 (−2,3)，半径是 4。括号里的符号看起来和圆心坐标相反，是因为标准式记录的是“动点坐标减圆心坐标”。
知道圆心和半径以后，画草图不必从许多散点开始。先标圆心，再标出上、下、左、右四个端点：
(a+r,b),(a−r,b),(a,b+r),(a,b−r)
最后用平滑曲线把它们连成圆。这四个点也立刻给出圆在两个坐标方向上的范围：
a−r≤x≤a+r,b−r≤y≤b+r
点在圆内、圆上还是圆外
把一个点 Q(h,k) 放到圆附近，判断它的位置，其实是在比较 CQ 和 r。为了少开一次平方根，我们直接比较距离的平方：
CQ2=(h−a)2+(k−b)2
也可以把所有量移到一边，记成：
S(h,k)=(h−a)2+(k−b)2−r2
S<0、S=0、S>0 分别对应圆内、圆上、圆外。这个“代入以后看正负”的办法，后面判断切线长度时还会出现。
例题：一次判断三个点
对圆
(x−2)2+(y+1)2=9
判断 P(2,1)、Q(5,−1)、R(6,−1) 的位置。
圆心是 (2,−1)，半径平方是 9。对 P(2,1)，代入左边得到 02+22=4<9，所以 P 在圆内。
对 Q(5,−1)，代入得到 32+02=9，所以 Q 在圆上。
对 R(6,−1)，代入得到 42+02=16>9，所以 R 在圆外。
如果题目说“某点在圆内”，写的是严格不等式 S<0；如果说“在圆内或圆上”“不超过某个覆盖半径”，才写 S≤0。等号决定边界算不算，不能顺手省掉。
一般式藏住了圆心
标准式适合读图，但方程一展开，圆心和半径就藏起来了。比如：
x2+y2−6x+4y−3=0
它看不出两个平方括号，却仍然是一个圆。把圆心找回来，需要用配方法把零散的一次项重新塞回完全平方。
先记住一个小动作：
x2+px=(x+2p)2−(2p)2
也就是“取一次项系数的一半，再平方”。对 x 做一次，对 y 再做一次，标准式就会重新出现。
一般方程怎样变回标准方程
把二次项系数已经化成 1 的一般式写成：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
分组、移项并配方：
x2+Dx+y2+Ey=−F
(x+2D)2+(y+2E)2=4D2+E2−F
于是圆心是：
(−2D,−2E)
半径平方是：
R2=4D2+E2−F
这里必须看 R2 的正负：
一个二次方程要表示圆，除了最后得到正的半径平方，还要先有正确的“骨架”：x2 和 y2 的系数相同，并且没有 xy 项。若共同系数不是 1，先把整个方程除以它，再配方。若二次项系数不相等，或出现 xy 项，它通常属于后面要学的其他圆锥曲线，而不是圆。
例题：配方时每一边都要补
把方程
x2+y2−6x+4y−3=0
化成标准式，并写出圆心和半径。
把 x 项放一组、y 项放一组，常数移到右边：
x2−6x+y2+4y=3−6 的一半是 −3，平方是 9；4 的一半是 2，平方是 4。左边补了 9 和 4，右边也必须补同样的数：
x2−6x+9+y2+4y+4=3+9+4两组分别合成完全平方：
(x−3)2+(y+2)2=16因此圆心是 (3,−2)，半径是 4。把标准式重新展开，会回到原方程，这也能检查配方有没有漏补常数。
例题：三个点能不能定出一个圆
三个不共线的点能唯一确定一个圆。原因很直观：圆心必须同时落在三条弦的垂直平分线上；取两条弦，它们的垂直平分线会交在唯一的圆心。用坐标做题时，可以直接把三个点代入一般式。
求经过 A(0,0)、B(4,0)、C(0,6) 的圆。
先设圆的一般式为：
x2+y2+Dx+Ey+F=0点 A(0,0) 在圆上，所以代入后得到 F=0。
把 B(4,0) 代入，得到 16+4D=0，所以 D=−4。把 C(0,6) 代入，得到 36+6E=0，所以 E=−6。
圆的一般式是：
x2+y2−4x−6y=0配方后得到：
(x−2)2+(y−3)2=13所以圆心是 (2,3)，半径是 13。三个点代回标准式都成立。
如果给出的三个点共线，就不存在经过它们的有限半径圆。代数上，这时用三个点求 D、E、F 会失去唯一解或出现矛盾；几何上，则是相关弦的垂直平分线无法交出唯一圆心。
用最短距离判断直线与圆
想象一把直尺从圆的下方慢慢向上推。起初直尺碰不到圆；继续推，它刚好擦到圆周一个点；再推一点，直尺穿进圆里，从圆周的一边进、另一边出。
这三个画面分别是相离、相切、相交。真正控制变化的量，是圆心到直线的最短距离 d。
从圆心向直线作垂线，比较这段最短距离和半径，就能数出公共点。
设圆心为 C(a,b)，半径为 r，直线的一般式为：
Ax+By+C0=0
这里把常数写成 C0，是为了不和圆心字母 C 混淆。圆心到直线的距离为：
d=A2+B2∣Aa+Bb+C0∣
于是：
d<r⟹相交，有两个公共点
d=r⟹相切，有一个公共点
d>r⟹相离，没有公共点
为什么只比较这两个长度就够了？因为 d 是圆心到整条直线的最短距离。
- 如果连最近的点都在半径以外，直线不可能碰到圆。
- 如果最近的点恰好离圆心一个半径，它就是唯一的接触点；这时半径与切线垂直。
- 如果最近的点已经进入圆内，直线沿两个方向继续延伸时会各穿出圆周一次，所以有两个交点。
这套方法也照顾了竖直线和水平线。比如直线 x=t 到圆心 (a,b) 的距离就是 ∣a−t∣；直线 y=t 到圆心的距离就是 ∣b−t∣。不需要斜率，也不会遇到“竖直线斜率不存在”的麻烦。
例题：同一个圆，直线只移动一点点
圆为：
(x−1)2+(y+2)2=25
依次判断直线 x=4、x=6、x=7 与圆的位置关系。
圆心是 (1,−2)，半径是 5。三条直线都竖直，所以圆心到 x=t 的距离是 ∣1−t∣。
对 x=4，有 d=∣1−4∣=3<5，所以直线与圆相交。代入还能得到 (y+2)2=16，两个交点是 (4,2) 和 (4,−6)。
对 x=6，有 d=∣1−6∣=5=r，所以直线与圆相切。代入得到 (y+2)2=0，唯一切点是 (6,−2)。
对 x=7，有 d=∣1−7∣=6>5，所以直线与圆相离。代入得到 (y+2)2=−11，没有实数解，正好对应没有公共点。
联立方程能把交点找出来
距离法擅长快速回答“有几个交点”，但如果题目还要交点坐标，就要把直线方程和圆方程联立。
把直线代入圆，通常会得到一个一元二次方程：
Au2+Bu+C=0
这里的 u 可能是 x，也可能是 y。它的实根个数就是公共点个数：
Δ=B2−4AC
距离法和判别式法不是两套互不相干的口诀。它们在看同一个事实：直线离圆心太远、刚好一个半径、或已经穿过半径范围。一个从图形测距离，一个从方程数实根。
例题：判断并求出两个交点
求直线
y=2x−5
与圆
x2+y2=25
的交点。
把直线中的 y=2x−5 代入圆方程：
x2+(2x−5)2=25展开并整理：
x2+4x2−20x+25=255x2−20x=0因式分解：
5x(x−4)=0因此 x=0 或 x=4。两个不同的 x 值已经说明直线与圆相交。
把两个 x 值分别代回 y=2x−5。当 x=0 时，y=−5；当 x=4 时，y=3。
两个交点是 (0,−5) 和 (4,3)。最后把它们代回圆方程检查，分别有 02+(−5)2=25、42+32=25。
只需要判断位置关系时，优先比较 d 和 r，计算通常更短；需要交点坐标时，再联立方程。若直线是 x=t，直接把 x=t 代入圆即可，不必强行把竖直线改写成 y=mx+n。
一套稳定的解题顺序
圆的题目看起来变化很多，实际动作很固定。先看题目给的是图形信息还是展开方程，再决定从哪边进入。
- 给圆心和半径：直接写标准式，暂时不要展开。
- 给一般式：先统一二次项系数，再分别对 x、y 配方，最后检查半径平方是否为正。
- 判断点的位置：把点代入距离平方，和 r2 比较。
- 判断直线与圆：把直线写成一般式，算圆心到直线的距离 d，和 r 比较。
- 还要求交点：在判断之后联立，解出坐标并回代检查。
有时题目给的是一条直径的两个端点 A(x1,y1)、B(x2,y2)。这时先把几何信息拆开：圆心是线段 AB 的中点，半径是 AB 长度的一半。也就是：
C(2x1+x2,2y1+y2)
r=21(x2−x1)2+(y2−y1)2
得到这两个量后，再回到标准方程。这样比先设一长串未知系数更贴近题目给出的图形。
练习与自检
下面的题目按“写标准式—配方—判位置—判交点—由条件定圆”的顺序递进。先在纸上完成，再展开核对。
练习一：写标准方程
圆心为 (−3,2)，直径为 8。写出圆的标准方程。
直径是 8，所以半径是 4。圆的标准方程为：
(x+3)2+(y−2)2=16练习二：从一般式读圆
把方程
2x2+2y2+8x−12y−24=0
化为标准式，并写出圆心和半径。
先把整个方程除以 2：
x2+y2+4x−6y−12=0移项、配方：
x2+4x+y2−6y=12(x+2)2+(y−3)2=25所以圆心是 (−2,3)，半径是 5。
练习三：识别退化情形
方程
x2+y2−4x+6y+13=0
表示一个真实的圆吗？
配方得到：
(x−2)2+(y+3)2=0两个平方的和等于 0，只有在两项都为 0 时成立，所以方程只表示点 (2,−3)，不表示半径为正的圆。
练习四：判断点的位置
点 P(4,1) 在圆
(x−1)2+(y+1)2=16
的内部、圆上还是外部？
把点代入左边：
(4−1)2+(1+1)2=9+4=13因为 13<16，点 P 到圆心的距离小于半径，所以 P 在圆内。
练习五：判断直线与圆
判断直线
3x−4y+12=0
与圆
(x−2)2+(y+1)2=4
的位置关系。
圆心是 (2,−1)，半径是 2。圆心到直线的距离为：
d=32+(−4)2∣3⋅2−4⋅(−1)+12∣=522因为 522>2，所以直线与圆相离，没有公共点。
练习六：判断相切并找切点
判断直线 y=4 与圆
(x+2)2+(y−1)2=9
是否相切；如果相切，求切点。
圆心是 (−2,1)，半径是 3。圆心到水平线 y=4 的距离是 ∣1−4∣=3，等于半径，所以两者相切。
从圆心向水平线作垂线，横坐标保持 −2，纵坐标到达 4，所以切点是 (−2,4)。代入圆方程也有 02+32=9。
练习七：由直径端点定圆
一条直径的两个端点是 A(−1,2)、B(5,6)。求圆的标准方程。
圆心是 AB 的中点：
C(2−1+5,22+6)=(2,4)直径长度为：
AB=(5+1)2+(6−2)2=36+16=213所以半径是 13，圆的标准方程为：
(x−2)2+(y−4)2=13做到这里，你应该能在三个画面之间来回切换：圆规转一圈，是“到圆心的距离不变”；坐标系里写下来，是标准方程；一条直线靠近圆时，则变成圆心到直线的距离和半径的比较。后面的椭圆、双曲线和抛物线会继续沿用这条路：先找到图形的距离条件，再让方程把它说清楚。