圆与方程

前两章把点、距离和直线放进坐标系。本章继续沿着同一条路走：如果一个点到某个定点的距离保持不变，它的运动轨迹是什么？答案是圆。解析几何关心的不是只把这个图形画出来，而是把“到定点距离相等”翻译成一个方程，再从方程读回圆心、半径和位置关系。

在实际问题里，圆经常表示“离某处不超过某个距离”的范围。通信站点的服务区、喷泉水池的边界、雷达扫描的半径，都可以先抽象成一个圆或圆内区域。进入坐标系后，圆心给出位置，半径给出尺度，方程则让判断和计算变得稳定。

圆方程可用于描述站点覆盖范围：以 C(3,2) 为圆心、r=4 为半径的圆内区域表示服务范围。

从距离条件得到标准方程

圆可以看成一个点集：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形。这个定点是圆心，这个定长是半径。

设圆心为 $C(a,b)$，半径为 $r$，其中 $r>0$。圆上任意一点记为 $P(x,y)$。按照圆的定义，点 $P$ 在圆上等价于 $CP=r$。由两点距离公式：

于是得到：

两边平方，就得到圆的标准方程：

这条方程保留了圆的几何信息：圆心是 $(a,b)$，半径是 $r$。如果圆心在原点，标准方程简化为：

距离公式推出标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

例题：由圆心和半径写方程

已知圆心为 $C(-2,3)$，半径为 $5$，写出圆的标准方程，并判断点 $A(1,7)$ 是否在圆上。

参数怎样控制图形

在标准方程

中，$a$ 和 $b$ 决定圆心的位置，$r$ 决定圆的大小。更具体地说，$a$ 改变时圆整体左右平移，$b$ 改变时圆整体上下平移，$r$ 变大时圆向外扩张，$r$ 变小时圆向圆心收缩。

标准方程中，$a$、$b$ 控制圆心位置，$r$ 控制半径大小。

读标准方程时要注意括号里的符号。$(x-2)^2$ 对应圆心横坐标 $2$，而 $(x+2)^2$ 对应圆心横坐标 $-2$。这是因为标准方程写的是 ，不是 。

从 $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ 读圆心时，括号里的符号要与圆心坐标相反。

下面的交互可以拖动 $a$、$b$、$r$。观察图像时，不必先急着计算，先盯住圆心和半径怎样随参数变化。

一般方程与配方法

题目有时不会直接给出标准方程，而是给出展开后的形式。例如：

这个形式叫圆的一般方程。它的好处是便于展开、联立和代入，但不容易一眼看出圆心和半径。要恢复几何信息，就需要配方法。

对一般方程配方：

分别把 $x$ 项和 $y$ 项补成完全平方：

因此，若

它表示一个圆，圆心和半径分别为：

如果右边等于 $0$，方程只表示一个点；如果右边小于 $0$，在实数平面内没有点满足它。判断“是不是圆”时，这一步不能省。

通过分组移项、分别配方，将一般式化为标准式，并读出圆心与半径。

例题：把一般式化为标准式

把圆的一般方程

化为标准方程，并写出圆心和半径。

直线与圆的位置关系

直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。用图形看，它们分别对应两个公共点、一个公共点、没有公共点。用方程判断时，最省力的方法通常是比较圆心到直线的距离和半径。

设圆的圆心为 $(a,b)$，半径为 $r$，直线为：

圆心到直线的距离是：

于是有：

通过比较圆心到直线的距离 $d$ 和半径 $r$，可以判断直线与圆相交、相切或相离。

也可以把直线方程和圆方程联立，消去一个未知数后得到一元二次方程。若判别式 $\Delta>0$，有两个交点；若 $\Delta=0$，有一个交点；若 $\Delta<0$，没有交点。几何法适合快速判断个数，代数法适合继续求交点坐标。

下面的交互把这两个角度合在一起：拖动直线和圆的参数，观察距离 $d$、半径 $r$ 与位置关系怎样同步变化。

例题：判断直线与圆的位置关系

判断直线

与圆

的位置关系。

再看一个更快的对照。圆

的圆心是 $(2,-1)$，半径是 $3$。

配方法在解析几何中的作用

配方法在这一章里不是单纯的代数技巧。它的作用是把不容易读图的式子，整理成能直接读出几何信息的形式。

从一般式到标准式，本质上是在寻找“平方中心”。例如 $x^2-6x$ 配成 $(x-3)^2-9$，说明横向中心藏在 $x=3$； 配成 ，说明纵向中心藏在 。这些中心合在一起，就是圆心。

这种思路会在后面的圆锥曲线里继续出现。椭圆、双曲线和抛物线也常常需要先配方，再平移坐标意义，最后读出中心、顶点、焦点或开口方向。

练习与自检

练习时先不要急着展开。能保持标准式时就保持标准式，因为它保留的信息最多。

练习一

已知圆心为 $(4,-1)$，半径为 $3$，写出圆的标准方程。

练习二

把方程

化为标准式，并写出圆心和半径。

练习三

判断直线

与圆

的位置关系。

练习四

方程

是否表示一个真实的圆？

所以：

圆心是 $(-4,1)$，半径是 $3$。

因为：

所以直线与圆相交。

左边是两个平方和，不可能等于 $-1$。所以这个方程在实数平面内没有点满足，不表示真实的圆。