坐标法：把图形放进数的世界
几何图形一开始是看见的：点在这里，线段在那里，三角形有一条边比较长。坐标法做的第一件事，是给“这里”和“那里”一个可以计算的名字。点的位置写成数对，线段的长度写成公式，两个点到同一点距离相等可以写成方程。图形没有消失，只是多了一种能计算的语言。
这章先不急着进入圆锥曲线。我们先把最基本的工具拿稳：点的坐标、两点距离、中点坐标、坐标法的解题流程，以及怎样选择一个不添乱的坐标系。
为什么坐标法能帮我们
解析几何的核心不是“把图画在格子纸上”，而是把几何关系翻译成代数关系。一个点在平面中的位置，可以用两个数表示；一条线段的长，可以用两个端点的坐标算出来；一个点到两个定点距离相等，可以写成两个平方和相等。
这套翻译有一个很朴素的好处：图形中不容易直接比较的东西，放到坐标里以后可以计算。比如判断一个三角形是不是直角三角形，直接看图容易受画图误差影响；如果把三个顶点坐标写出来，算出三条边长的平方，再比较，就会稳定得多。
坐标法不是为了替代几何直观，而是让几何直观可以落到数字和式子上。做题时仍然要看图，但看图之后要问一句：这个几何条件能不能写成坐标、距离、相等、平行或垂直的关系？
现实中的电子地图、工程图纸、屏幕图形也在做类似的事。地图上一个地点可以用经纬度或平面坐标表示，设计图里每个孔位、拐角和中心点都有坐标。坐标本身不是目标，它只是让位置关系可以被记录、传递和计算。
点的坐标：先横后纵
平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成。横着的是 轴，竖着的是 轴，它们的交点叫原点，通常记作 。一个点的坐标写成 ，前一个数表示横向位置，后一个数表示纵向位置。
读坐标时，顺序很重要。点 表示从原点出发，先向右 个单位，再向下 个单位。点 则是先向左 个单位，再向上 个单位。两个点的数字一样但顺序不同，位置通常也不同。
四个象限的符号规律可以帮助我们快速检查点的大致位置：
- 第一象限：横坐标为正，纵坐标为正。
- 第二象限：横坐标为负，纵坐标为正。
- 第三象限：横坐标为负，纵坐标为负。
- 第四象限：横坐标为正，纵坐标为负。
下面的交互可以拖动点的位置。先别急着算，观察点跨过坐标轴时，坐标符号和象限名称怎样变化。
最常见的读点错误，是把 读成“先纵后横”。另一个错误是把坐标轴上的点硬塞进某个象限。点在 轴上时纵坐标为 ，点在 轴上时横坐标为 ，它们不属于任何象限。
距离公式：把斜线变成直角三角形
如果两点在同一条水平线上，距离就是横坐标之差的绝对值；如果两点在同一条竖直线上，距离就是纵坐标之差的绝对值。真正需要公式的是斜着的线段。
设 ，。从 向水平和竖直方向作辅助线，可以补出一个直角三角形。这个直角三角形的两条直角边分别是横向差和纵向差，斜边就是 。
由勾股定理得到：
所以两点距离为：
公式中的差可以按相反顺序写，因为平方以后结果相同。例如 。但横坐标必须和横坐标相减，纵坐标必须和纵坐标相减，不能把 和 混在一起减。
中点公式：坐标各自取平均
线段中点是把线段分成相等两段的点。如果端点是 ，，那么中点 的横坐标在两个端点横坐标的正中间，纵坐标也在两个端点纵坐标的正中间。
中点公式是：
这个公式比距离公式更像“平均数”。它不是求长度，而是求位置。比如端点 ，，中点的横坐标是 ，纵坐标是 ，所以中点是 。
下面的交互把距离和中点放在一起。拖动两个端点，注意距离公式看的是“差”，中点公式看的是“和的一半”。
距离公式和中点公式容易混用。距离的结果是一个非负数，表示线段有多长；中点的结果是一个坐标，表示点在哪里。看到答案形如 ，它通常是点；看到答案形如 或一个正数，它通常是长度。
坐标法的基本流程
坐标法解决几何问题，通常不是一上来就套公式。比较稳的做法是先看图形有什么特征，再决定怎样放坐标系。
先选坐标系。把原点、坐标轴放在图形中自然的位置上，比如放在对称中心、端点、中点，或让一条已知直线成为坐标轴。
再设点坐标。已知长度、平行、垂直、对称等信息，应尽量直接体现在坐标里。坐标设得好，后面的式子会短很多。
接着翻译几何条件。距离相等可以写成平方和相等，中点可以写成坐标平均，水平线上的点纵坐标相同，竖直线上的点横坐标相同。
然后进行代数计算。计算时要保留几何含义，知道每个式子是在表示长度、位置、相等关系还是某个未知量。
一个常用的翻译例子是“点 到 和 距离相等”。它可以写成：
这里没有开方，是因为两边都是距离的平方。比较相等关系时，用平方常常比用根号更简洁。
例题：用距离公式判断三角形类型
已知 ，，，判断三角形 的边长关系和角的类型。
先算三条边长的平方。判断角的类型时，平方比长度本身更方便，因为可以避免根号。
用距离公式判断三角形类型时，可以先算边长平方。若最大边平方等于另外两边平方和，是直角三角形；若大于，是钝角三角形；若小于，是锐角三角形。
例题：求线段中点和长度
已知线段端点 ，。求线段 的中点和长度。
先求中点。中点的两个坐标分别取平均：
这个例子里，负号尤其容易出错。 是 ，不是 ； 是 ，平方以后变成 。计算距离时可以得到负的坐标差，但最终距离一定是非负数。
坐标系怎么选
同一个图形可以放进很多坐标系。坐标系选得随意，点的坐标可能很长，方程也会变复杂；坐标系顺着图形特点放，许多坐标会自动变成 、相反数或简单参数。
以一个底边长为 、高为 的等腰三角形为例。若把底边中点设为原点，底边放在 轴上，对称轴放在 轴上，三个顶点可以设为：
这样的坐标把“等腰”和“高”都直接写进去了。两条腰的长度都变成：
如果随便把原点放在图形外，又让坐标轴斜着穿过图形，顶点坐标会多出许多无关的平移量和斜率。题目没有变难，是坐标系让计算变难了。
下面的交互展示同一个等腰三角形在不同建系方式下的坐标表达。看完以后，试着说出哪一种建系更适合计算。
选择坐标系时，可以优先考虑这些位置：
- 有对称中心时，把对称中心设为原点。
- 有对称轴时，让对称轴成为坐标轴。
- 有一条重要线段时，让它落在 轴或 轴上。
- 有中点、垂足、圆心这类关键点时，优先让它们成为坐标简单的点。
一个好的坐标系，通常不是让图形看起来最“正”，而是让关键点的坐标最简单。后面学习圆、椭圆、双曲线时，标准方程之所以整齐，正是因为坐标系贴合了图形的中心、轴和对称性。
例题：为几何问题选择坐标系
一个等腰三角形的底边长为 ，高为 。求它两条腰的长度。这个问题当然可以直接用勾股定理，但我们用它练习坐标法。
观察图形特点。等腰三角形有一条对称轴，高落在底边中点上。为了让坐标简单，把底边中点设为原点，底边放在 轴上，高放在 轴上。
设三个顶点坐标。底边长为 ，所以底边两个端点到原点的距离都是 ；高为 ，所以顶点在 轴上。
常见误区
把坐标顺序读反
和 是两个不同的点。写点、读点、代入公式时，都要坚持“先横后纵”。
横纵坐标混着相减
距离公式中的两个差必须分别来自同一方向：
不能写成 。这样的式子没有清楚的几何意义。
忘记负号
负坐标相减时，最好先写完整括号。比如从 到 的横向差是 ，不要把它看成 。
把距离和位移混为一谈
从 到 的坐标差可以是负数，但两点距离不会是负数。距离表示长度，长度只可能是 或正数。
坐标系选得太随意
坐标法不是“随便画两根轴”。如果图形有对称、垂直、中点、圆心等结构，应先让这些结构进入坐标系。这样后面的代数计算才会干净。
自测
练习一
点 在哪个象限？从原点出发，可以怎样走到这个点？
点 的横坐标为负，纵坐标为正，所以在第二象限。从原点出发，可以先向左走 个单位，再向上走 个单位。
练习二
已知 ，。求 的长度和中点坐标。
横向差为 ，纵向差为 ，所以：
练习三
已知 ，，。判断三角形 的类型。
先算边长平方：
练习四
底边长为 、高为 的等腰三角形，若把底边中点设为原点，底边放在 轴上，三个顶点可以怎样表示？
可以把底边两个端点设为 、，把顶点设为 。如果顶点在下方，也可以设为 ，关键是让对称轴成为 轴，让底边成为 轴。
练习五
点 到 和 的距离相等。求点 满足的关系。
由距离相等，可写成距离平方相等：
小结
本章的重点可以压缩成一句话：坐标法把几何条件变成可以计算的代数关系。点的位置用坐标表示，两点距离来自勾股定理，中点坐标来自分别取平均，坐标系的选择会直接影响计算的长短。
下一步学习直线、圆和圆锥曲线时，我们会反复用到这几个动作：先看图形特点，选一个合适的坐标系，再把几何条件翻译成方程。方程不是脱离图形的符号游戏，它是图形在数的世界里的另一种样子。