有理表达式与函数：分母说了算的世界

“为什么我明明把 $(x+3)$ 约掉了，老师还说 $x=-3$ 不能取？它不是已经没了吗？”

这个问题特别好，因为它正好戳中了有理表达式最容易让人困惑的地方：你看到的是化简后的样子，题目记住的却是它最开始的样子。

有理表达式就像一张带门禁的入场券。分子可以热闹，分母才是门卫。只要某个 $x$ 会让分母变成 $0$，不管后面这个因子有没有被约掉，它都已经上了黑名单。

所以这一章我们不从“公式大全”开始，而从一个很朴素的问题开始：

一个代数分式，到底什么时候能算，什么时候不能算？

把这个问题想清楚，后面的化简、四则运算、函数图像、解方程，就都会顺很多。

有理表达式是什么？

有理表达式的标准样子是：

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，而且 $Q(x) \neq 0$。

这里的“有理”不是“讲道理”的意思。它来自 ratio，也就是“比值”。简单说，有理表达式就是两个多项式做成的分数。

比如这些都是有理表达式：

最后一个 $\frac{5}{x}$ 也算，因为 5 本身就是一个零次多项式。

但这个就不算：

因为分子里有根号，$\sqrt{x}$ 不是多项式。

你可以把多项式看成代数里的“整块积木”，有理表达式就是拿两块积木做成一个分数。它能表达更复杂的关系，也会带来一个更麻烦的规则：分母绝对不能为 0。

第一步不是算，是查门禁

很多同学一看到有理表达式，第一反应是化简。其实老手第一眼看的是分母。

拿这个例子来说：

你先别急着拆分子。先问分母：

它什么时候等于 0？

所以：

这两个数一代进去，分母就变成 0。分母为 0 的分式没有意义，所以它们必须从定义域里排除。

换句话说，这个表达式的定义域是：

这一步像进门前查票。只要票上写了“禁止进入”，后面就不能装作没看见。

这里最值得养成的习惯是：

每看到一个有理表达式，先找分母为 0 的值。

不是因为老师喜欢刁难你，而是因为后面所有运算都要站在这个前提上。

化简：像约分，但别把历史记录删了

有理表达式的化简，其实和普通分数约分很像。

比如：

能约掉 6，是因为它作为一个完整因子，同时出现在分子和分母里。

有理表达式也一样：

先因式分解：

所以：

分子分母都有完整因子 $(x+3)$，可以约掉：

但注意，结果后面还要带上：

为什么 $x \neq -3$ 还在？因为原式的分母里曾经有 $(x+3)$。当 $x=-3$ 时，原式根本没有意义。化简式只是长得更简单，不是重新发了一张没有门禁的新票。

这里还有一个常见到离谱的坑：

不能把上面的 $x$ 和下面的 $x$ 划掉，变成 $\frac{3}{5}$。

原因很简单：这里的 $x$ 是加法里面的一项，不是乘法里的完整因子。你能约掉的是“整块相乘的因子”，不是看着像的字母。

再看一个小技巧：

因为：

所以：

这种“顺序反过来”的式子，很多时候只差一个负号。看见 $a-b$ 和 $b-a$，先想到：

乘除法：先拆开，再动手

有理表达式乘法规则本身很直接：

但真正做题时，不建议一上来就展开相乘。那样很容易把式子越搞越大。

更稳的顺序是：

1. 分子分母全部因式分解。
2. 先约掉能约的公因子。
3. 最后再写结果。
4. 别忘了保留原来的限制条件。

比如：

先拆：

于是：

能约的先约，最后得到：

限制条件来自所有原始分母：

除法只多一个动作：把第二个分数倒过来。

然后就回到乘法流程：拆、约、写结果、查限制。

加减法：先找共同桌面

乘法可以直接横着乘，加减法不行。

普通分数里，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 不能直接等于 $\frac{2}{5}$。你得先通分。有理表达式也是同一个道理，只不过分母从数字变成了多项式。

如果分母一样，就直接合并分子：

如果分母不同，就要找最小公分母，也就是 LCD。

看这个：

先把分母拆开：

LCD 要同时覆盖两个分母，所以取：

通分：

合并分子：

限制条件是：

找 LCD 的时候可以这样想：你要搭一张公共桌子，让每个原来的分母都能完整坐上去。桌子要够用，但不要多拿没必要的因子。

有理函数：图像为什么像在绕墙走？

当有理表达式变成函数：

我们就得关心它的图像。

有理函数最有辨识度的地方，是它经常有渐近线。所谓渐近线，就是图像越来越靠近，却通常不会真的撞上的线。

最常见的有两类。

垂直渐近线来自没有被约掉的分母零点。

比如化简之后分母里还剩 $(x-a)$，那 $x=a$ 附近函数值可能会冲向正无穷或负无穷。图像像遇到一堵竖墙，只能往上或往下逃。

水平渐近线看的是 $x$ 越来越大时，函数大致靠近哪条水平线。

设分子次数是 $m$，分母次数是 $n$：

• 如果 $m<n$，水平渐近线是 $y=0$。
• 如果 $m=n$，水平渐近线是首项系数之比。
• 如果 $m>n$，一般没有水平渐近线；当 $m=n+1$ 时会出现斜渐近线，这是下一阶段的话题。

还有一种很容易和渐近线混淆的东西：空洞。

空洞来自被约掉的公因子。它不是一堵墙，而是图像上少了一个点。

比如：

先拆：

约掉 $(x-2)$：

这里 $x=2$ 对应的是空洞，因为 $(x-2)$ 被约掉了。空洞的纵坐标用化简后的式子算：

所以空洞在 $(2,4)$。

而 $x=-1$ 对应的是垂直渐近线，因为化简后分母里还剩 $(x+1)$。

最基础的有理函数是：

它的垂直渐近线是 $x=0$，水平渐近线是 $y=0$。当 $k>0$ 时，图像在第一、三象限；当 $k<0$ 时，图像在第二、四象限。

平移版本：

会把垂直渐近线移到 $x=h$，把水平渐近线移到 $y=k$。

解有理方程：清分母以后一定要验根

有理方程就是方程里出现了有理表达式。

它的常用办法很爽：两边同乘 LCD，把分母一次性清掉。

但爽的地方也有风险。你把分母清掉以后，有些原来不能代入的值，可能会假装成答案混进来。这种东西叫增根。

所以有理方程的流程是：

1. 先写限制条件。
2. 找 LCD。
3. 两边同乘 LCD。
4. 解得到的新方程。
5. 把答案拿回原来的限制条件里验一遍。

看一个很典型的例子：

先拆分母：

限制条件：

LCD 是：

两边同乘 LCD：

整理：

看起来有两个答案，但别高兴太早。$2$ 和 $-2$ 都在限制条件里，全部不能要。

所以这个方程的答案是：

这就是有理方程很有意思的地方：你算出来的“答案”，可能只是清分母时混进来的路人。

例题与解答

例题一：化简有理表达式

化简：

例题二：有理表达式加法

计算：

例题三：解有理方程

解方程：

例题四：有理函数的渐近线与空洞

分析：

例题五：实际应用——平均速度

小明驾车郊游。去时速度是 $v$ km/h，回时速度是 $(v+20)$ km/h，单程 60 km。求全程平均速度的有理表达式，并计算 $v=60$ 时的平均速度。

这道题最容易错在一个地方：很多人会直接算速度平均数。

但平均速度不是“两个速度加起来除以 2”，而是：

它比 $\frac{60+80}{2}=70$ 小一点。原因是回程速度更快，花的时间更短，所以它在“总时间”里的权重没有去程那么大。这就是有理表达式的现实感：它不只是符号游戏，它在描述真正的比例关系。

练习

练习一：化简 $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$，并指出定义域限制条件。

练习二：计算 $\frac{3}{x-2}+\frac{5}{x+1}$。

练习三：判断 $f(x)=\frac{4x^2-1}{2x^2+3}$ 的水平渐近线。

练习四：解方程 $\frac{3}{x}+2=\frac{5}{x}$。

小结

有理表达式看起来像分式，其实最重要的角色是分母。分母决定哪些 $x$ 不能取，也决定后面哪些点可能变成渐近线或空洞。

化简时，先因式分解，再约掉共同因子；但原来的限制条件必须保留。乘除法先拆再约，加减法先找 LCD 再通分。解有理方程时，两边同乘 LCD 可以清掉分母，但最后一定要验根。

如果只记一句话，就记这句：

有理表达式不是“约完就完了”，而是“先查分母，再放心运算”。

LCD 是：

总路程是 120 km。

限制条件来自原分母：

限制条件：

验根：$x=1$ 不违反限制条件，代入原方程成立。所以解为：