二次函数
“二次函数到底在学什么？为什么每次都绕不开抛物线、顶点、最大值？”
这个问题问得很实在。很多同学第一次见二次函数，会觉得它像一次函数的“升级版”：原来是 x，现在多了个 x2，公式长一点，图像弯一点，好像也没什么。
但真正的区别在这里：一次函数像一条直路，走多远就涨多少；二次函数像一个有转折的故事，前面上升，后面可能下降，中间还会出现一个最关键的位置。
这个位置，就是顶点。
学二次函数，其实是在学三件事：
- 怎么从公式看出抛物线大概长什么样。
- 怎么找到那个最高点或最低点。
- 怎么把现实里的“最多”“最少”“最划算”翻译成数学问题。
先别急着背公式，我们从一个很日常的画面开始。
你把篮球抛出去，它不是沿直线飞；喷泉水柱也不是直上直下；桥拱、卫星锅、车灯反光碗，都有一种熟悉的弯曲感。它们背后常出现同一个数学形状：抛物线。
而抛物线，就是二次函数的图像。
先说清楚：什么叫二次函数？
二次函数最常见的样子是：
f(x)=ax2+bx+c(a=0)
这里 a,b,c 都是常数。真正让它成为二次函数的，是 ax2 这一项。
为什么必须 a=0？因为如果 a=0，ax2 就没了，式子只剩 bx+，那它就变回一次函数了。
所以你可以先这样记：
二次函数，就是最高次数为 2 的函数。
比如：
f(x)=x2
是二次函数。
g(x)=−2x2+4x−1
也是二次函数。
h(x)=31x2−x+5
还是二次函数。
注意，b 或 c 可以是 0。比如 y=x2 里没有 x 项和常数项，但它依然是二次函数。关键只看最高次数是不是 2，以及二次项系数是不是 0。
一个很快的判断方法：先找最高次。如果最高次是 2，它就是二次函数；如果最高次是 1，它是一次函数；如果最高次是 3，那就已经是三次函数了。
为什么它的图像会弯？
一次函数 y=mx+b 的图像是直线，因为 x 每增加 1，y 的变化量是稳定的。
但 x2 不一样。
当 x 从 1 到 2，x2 从 1 到 4，增加 3；当 x 从 2 到 3，x2 从 4 到 9，增加 5；越往后，变化越快。变化速度不再稳定，图像自然就弯起来。
这种图像叫抛物线。
抛物线有一个很有用的特点：左右对称。你可以想象把它从中间折一下，两边能重合。那条“折痕”就是对称轴。
先抓住第一个开关：a
在
f(x)=ax2+bx+c
里，a 是最有性格的那个系数。
当 a>0 时，抛物线开口向上，像一个碗。它会有最低点。
当 a<0 时，抛物线开口向下，像一个倒扣的碗。它会有最高点。
可以用一个很土但很好用的口诀：
a 为正，开口向上；a 为负，开口向下。
不仅如此，∣a∣ 还决定抛物线的“胖瘦”。
∣a∣ 越大，曲线越窄，变化越猛；∣a∣ 越小，曲线越宽，变化越慢。
拖动上面的 a,b,c，你会发现一个现象：a 决定开口和胖瘦，b 会把顶点推来推去，c 则直接告诉你图像从 y 轴哪里穿过去。
顶点：整条抛物线的“剧情反转点”
二次函数最重要的点叫顶点。
如果抛物线开口向上，顶点就是最低点；如果开口向下，顶点就是最高点。
对很多题来说，顶点一找到，题就已经解了一半。
对于一般式：
f(x)=ax2+bx+c
对称轴公式是：
x=−2ab
这个 x 值，就是顶点的横坐标。把它代回函数，就能得到顶点的纵坐标：
顶点=(−2ab, f(−2ab
还有一个顺手的小信息：令 x=0，就有 f(0)=c。所以 c 就是 y 轴截距，图像会经过 (0,c)。
小练习：f(x)=2x2−8x+3 的对称轴是多少？
答案是 x=−。再代回去，，所以顶点是 。
一般式像身份证，顶点式像定位
一般式：
f(x)=ax2+bx+c
很常见，但它不够直观。你能看到 a,b,c，却不能一眼看到顶点。
所以二次函数还有一个很重要的写法，叫顶点式：
f(x)=a(x−h)2+k
这时候顶点直接写在公式里：
(h,k)
对称轴也直接出来：
x=h
这就是顶点式的价值：它不是为了显得高级，而是为了让信息更好读。
配方法：把顶点“翻译”出来
很多人怕配方法，是因为它看起来像魔法：怎么突然加一个数，又突然减一个数？
其实配方法只是在做一件事：
把前两项补成一个完整平方。
我们用
f(x)=2x2−8x+3
来走一遍。
先把 x2 的系数提出来：
f(x)=2(x2
配方法最容易错的地方，是忘了外面还有一个 a。
比如这里括号里出现了 −4，外面还有 2，所以它真正贡献的是 2×(−4)=−8，最后再加上原来的 +3，才得到 −5。
配方时一定要盯住括号外面的系数。括号里面“加了又减”的数，带到外面时要跟 a 一起计算。
如果对一般式配方，会得到：
f(x)=a(x+2ab)2+
所以：
h=−2ab,k=c−4a
这也解释了为什么对称轴是 x=−2ab。它不是天上掉下来的公式，而是配方法里自然长出来的。
最值问题：顶点就是答案候选人
二次函数特别适合处理“最大”“最小”。
因为顶点式：
f(x)=a(x−h)2+k
已经把最值藏得很明显了。
如果 a>0，那么 (x−h)2≥0，所以 a(x−h)。函数最小只能到 ，在 时取到。
如果 a<0，那么 a(x−h)2≤0。函数最大只能到 k，也是在 x= 时取到。
一句话：
开口向上找最小值，开口向下找最大值，位置都在顶点。
但有一个坑要注意。
如果题目限制了范围，比如 x∈[m,n]，就不能只看顶点。你要先判断顶点的横坐标在不在这个区间里。
如果在，顶点要参与比较；如果不在，最大最小值通常只会出现在两个端点。
现实里为什么总能碰到它？
因为很多现实问题都不是“越多越好”或“越少越好”，而是有一个平衡点。
价格太低，单件利润少；价格太高，没人买。围栏一边太短，面积小；一边太长，另一边又被挤没了。球往上飞，先升高，后下降。
这些都很像二次函数：先变化，后转折。
抛体运动
物体竖直上抛时，高度关于时间常写成：
h(t)=−21gt2+v0
这里 g 是重力加速度，v0 是初速度，h0 是初始高度。
因为二次项系数是负的，所以这是一条开口向下的抛物线。顶点就是最高点。
围地面积最大化
有 60 米围栏，靠墙围一块矩形地，靠墙那一边不用围。设垂直墙的边长为 x，另一条需要围的边就是 60−2x。
面积是：
S(x)=x(60−2x)=−2x2+60x
开口向下，所以最大面积在顶点：
x=−2⋅(−2)60=15
最大面积：
S(15)=450
收益最大化
某商品售价为 p 元时，每天销量是 80−p 件，每件成本 20 元。利润是：
Π(p)=(p−20)(80−p)
展开：
Π(p)=−p2+100p−1600
这也是开口向下的二次函数。对称轴：
p=−2⋅(−1)100=50
所以售价 50 元时利润最大，最大利润为 900 元。
桥梁与聚焦设计
拱桥、卫星锅、车灯反射镜，也经常和抛物线有关。
抛物线还有一个重要性质：从焦点发出的光，经过抛物面反射后会变成平行光；反过来，平行光射进来会汇聚到焦点。
这就是为什么抛物线不只是一条曲线，它还是工程设计里很有用的形状。
例题：把方法落到纸面上
例题一：求顶点与对称轴
题目：已知
f(x)=−3x2+12x−7
求对称轴、顶点和最大值。
读出 a=−3, b=12, c=−7。
例题二：一般式转顶点式
题目：把
f(x)=x2+6x+2
化为顶点式。
取 x 系数 6 的一半，再平方：
(26)2例题三：上抛问题
题目：一个球从地面以 20 m/s 的初速度竖直上抛，取 g=10 m/s2。求最大高度和落地时间。
高度函数：
h(t)=−5t2+20t
顶点时刻：
t=−2⋅(−5)20=2
最大高度：
h(2)=−5⋅4+20⋅2=20
落地时 h(t)=0：
−5t2+20t=0
5t(t−4)=0
所以 t=0 是出发时刻，t=4 是落地时刻。球 4 秒后落地。
例题四：由顶点式求解析式
题目：一个二次函数的顶点是 (1,−4)，并且经过点 (3,8)，求解析式。
既然顶点是 (1,−4)，先写顶点式：
f(x)=a(x−1)2−4
代入点 (3,8)：
8=a(3−1)2−4
8=4a−4
所以 a=3。
因此：
f(x)=3(x−1)2−4
展开得：
f(x)=3x2−6x−1
三种常用形式
二次函数有三张常见“面孔”。
选哪种形式，不是看心情，而是看题目想问什么。
要看 y 轴截距，用一般式舒服；要看最大最小值，用顶点式舒服；要解和 x 轴交点有关的问题，因式式舒服。
自我练习
练习 1：已知
f(x)=x2−4x+7
求对称轴和顶点。
对称轴：x=−2⋅1−4=2。
顶点纵坐标：f(2)=4。
顶点为 ，因为 ，所以最小值为 3。
练习 2：把
f(x)=3x2−12x+5
化为顶点式。
先提取 3：f(x)=3(x2−4x)+5。
括号里配方：x2。
代回：。
顶点为 。
练习 3：一个球从 5 米高处以 15 m/s 的初速度竖直上抛，取 g=10 m/s2。求最大高度和落地时间。
高度函数：h(t)=−5t2+15t+5。
顶点时刻：t=− 秒。
最大高度： 米。
落地时令 ：，即 。
取正根： 秒。
练习 4：一个二次函数过点 (−1,0)、(3,0) 和 (0,−6)，求解析式。
因为两个零点是 −1 和 3，所以先写成 f(x)=a(x+1)(x−3)。
代入 ：，所以 。
因此 。
小结
二次函数不是一堆公式的集合，而是一套观察“转折”的工具。
看到
f(x)=ax2+bx+c
先看 a：它决定开口方向和胖瘦。
再找对称轴：
x=−2ab
最后找顶点。顶点就是最高点或最低点，也是很多现实最优化问题的答案核心。
如果你只记一件事，就记这个：
二次函数的图像是抛物线，而抛物线最会说话的位置，是顶点。