二次方程

“为什么我明明会解一次方程，一到二次方程就像进了迷宫？”

这个问题特别真实。一次方程像一条直路：$2x+3=7$，挪一挪、除一除，答案就出来了。二次方程不一样，它多了一个 $x^2$，图像也从直线变成了弯弯的抛物线。于是你会发现：同一个方程，可能有两个答案，可能只有一个答案，也可能在实数里根本找不到答案。 二次方程其实是在问一个很朴素的问题：

这条抛物线，什么时候碰到 $x$ 轴？

标准形式长这样：

其中 $a \neq 0$。如果 $a=0$，$x^2$ 那一项就没了，它退回一次方程，不算二次方程。

这里的 $a$、$b$、$c$ 是已知数字，$x$ 是我们要找的未知数。解出来的 $x$，叫做根，也叫零点。为什么叫零点？因为当 $x$ 取这些值时，左边的 $ax^2+bx+c$ 正好等于 0。画成图像，就是 正好落在 x 轴上。

先说结论：二次方程不是只有一种解法

很多同学卡住，是因为心里默认“老师讲了三种方法，我必须判断老师想让我用哪种”。其实换个角度就轻松很多：

这三种方法不是三套规矩，而是三把工具。

能拆得开，就用因式分解，最快。

想看清图像顶点，或者题目本来就适合凑平方，就用配方法。

实在拆不开，或者系数看起来很乱，就用求根公式，稳。

这一章我们按这个顺序走：先学最顺手的，再学最有洞察力的，最后学万能保底的。

方法一：因式分解法

因式分解法最像“把大问题拆成两个小问题”。

比如你看到：

这个式子不用展开。因为两个东西相乘等于 0，至少有一个东西必须等于 0：

所以：

这就是零积法则：

所以因式分解法的流程很短：

1. 把方程整理成右边等于 0。
2. 把左边拆成几个因式相乘。
3. 让每个因式分别等于 0。

看一个简单例子：

我们想找两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6。2 和 3 正好满足：

于是：

方程变成：

所以：

如果首项系数不是 1，也不是不能拆，只是多一步“拆中间项”。比如：

先算 $a\cdot c=2\cdot3=6$。找两个数，乘积是 6，和是 7，显然是 1 和 6。于是把 $7x$ 拆成 $x+6x$：

分组：

提取公共括号：

所以：

方法二：配方法

配方法听起来像一个很老派的名字，但它的想法很生活化：

缺一块，就补一块。

比如：

直接因式分解不太顺。那我们把它改造成一个完全平方：

为什么是 3？因为一次项系数是 $-6$，取一半是 $-3$。

先把常数项移到右边：

现在看左边。要把 $x^2-6x$ 补成 $(x-3)^2$，需要加上 $9$：

方程两边要公平，所以两边同时加 9：

于是：

再开平方：

所以：

这张图要表达的意思很直接：$x^2+bx$ 像一个大正方形加两块长条，要补成完整正方形，右下角少的那一块正好是 $\left(\dfrac b2\right)^2$。

配方法的模板可以记成一句话：

一次项系数取一半，再平方，两边一起补。

如果方程是：

那就两边同时加：

得到：

首项系数不是 1 的时候，先把整个方程除以 $a$，让 $x^2$ 前面变成 1，再配方。

配方法看起来比因式分解慢一点，但它有一个很值钱的附加收益：它能看见抛物线的顶点。后面学函数图像、最大值最小值时，这个思路会非常有用。

方法三：求根公式

现在轮到大家最熟悉也最容易害怕的公式：

它适用于所有二次方程：

只要 $a\neq0$，你就可以代进去。

求根公式其实不是天上掉下来的，它就是把一般形式完整配方一遍得到的结果。你可以把它理解成“配方法的快捷键”：配方法每次都要手动补平方，求根公式把这套操作提前打包好了。

真正使用时，最重要的不是背公式，而是别把 $a$、$b$、$c$ 认错。

比如：

这里：

注意，$b$ 是 $-5$，不是 5；$c$ 是 $-2$，不是 2。符号要带着走。

代入：

先算根号里面：

所以：

分两次算：

或：

判别式：提前知道结局

求根公式里有一块特别关键：

它叫判别式，通常记作 $\Delta$：

它为什么重要？因为它在根号里面。

根号里面如果是正数，$\pm$ 会分出两个不同答案。

根号里面如果是 0，$+0$ 和 $-0$ 没区别，所以两个答案合成一个。

根号里面如果是负数，在实数范围内开不出来，所以没有实数根。

整理成表就是：

举三个小例子：

判别式：

所以有两个不同实数根。

再看：

判别式：

所以有一个重根。

最后：

判别式：

所以没有实数根。

二次方程为什么会出现在现实里？

因为现实里很多东西不是直线走的。

比如你把球往上抛。它一开始往上冲，速度慢慢变小；到最高点后开始下落，速度又越来越快。高度随时间变化的图像，不是一条直线，而是一条抛物线。

常见模型是：

其中 $v_0$ 是初速度，$h_0$ 是初始高度。什么时候落地？就是高度 $h(t)$ 变成 0 的时候。所以我们令：

这就变成了二次方程。

面积问题也很容易变成二次方程。

比如有人发帖问：

一块矩形草坪，长比宽多 3 米，面积是 40 平方米，长和宽是多少？

设宽为 $x$，长就是 $x+3$。面积为 40：

整理：

分解：

所以：

长度不能是负数，所以宽是 5 米，长是 8 米。

利润问题也一样。假设某商品售价是 $p$ 元，每天销量大约是 $100-p$ 件，每件成本 20 元。利润就是：

展开：

这是一个开口向下的抛物线。开口向下意味着它有最高点，而最高点对应的售价，就是利润最大的售价。

例题一：能分解就别绕远

解方程：

例题二：拆不开，就配方

解方程：

例题三：系数复杂，直接公式

解方程：

例题四：已知重根，反推参数

已知方程：

有两个相等的实数根，求 $k$。

例题五：火箭什么时候落地？

一支火箭从地面竖直发射，初速度为 $40\,\text{m/s}$。用模型：

求最高点和落地时间。

例题六：面积题别忘了舍掉负数

一个矩形面积为 54 平方厘米，长比宽多 3 厘米，求长和宽。

练习

下面几题不要求都用同一种方法。先判断哪把工具最顺手。

练习一：$x^2-9x+20=0$

练习二：$2x^2+3x-5=0$

练习三：$x^2-6x+11=0$

练习四：$x^2+kx+16=0$ 恰好有重根，求 $k$。

最后补一个很好用的彩蛋：韦达定理

如果 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根是 $x_1$ 和 $x_2$，那么：

这就是韦达定理。

它有什么用？比如：

如果两根是 3 和 4，那么：

完全对上。

韦达定理还有一个很有意思的反向用法：已知两根之和是 5，两根之积是 3，那么可以直接写出一个方程：

因为对 $x^2+bx+c=0$ 来说，两根之和是 $-b$，两根之积是 $c$。

小结

二次方程的核心不是“背一堆方法”，而是看懂一个问题：

让 $ax^2+bx+c$ 等于 0 的 $x$ 在哪里？

图像上，它就是抛物线和 $x$ 轴的交点。

因式分解法最快，前提是能拆得漂亮。

配方法像补完整正方形，能顺便看见顶点。

求根公式最稳，任何二次方程都能用。

判别式负责提前告诉你：有两个根、一个重根，还是没有实数根。

当你把这些工具放在同一个工具箱里，二次方程就不再像迷宫了。它更像一个路口：先看地形，再选路线。

分解：

所以：

也就是：

火箭在 4 秒时到达最高点。