内能、热量和功

冬天里手冻僵了，人们总会下意识地把两只手掌使劲搓几下，没一会儿手心就热了起来；给自行车轮胎打气时，捏一捏打气筒的下半截，会发现筒壁明显发烫。这两件再寻常不过的小事，背后藏着同一个问题：能量到底是怎样在物体里储存、又是怎样在物体之间传递的。搓手时手心变热，是因为有能量被“送”进了手掌；打气筒发烫，则是因为有能量被“压”进了筒里的空气。前面已经学会了怎样把系统从环境里圈出来、怎样用状态去描述它，接下来要回答的就是：系统内部究竟攒着多少能量，这些能量又能通过哪些方式进出边界。把这三个量——内能、热量和功——讲清楚，热力学最重要的那条规律也就水到渠成了。

藏在物质内部的能量

把一杯水静静放在桌上，它既没有整体地飞奔，也没有被举到高处，从外面看仿佛一点能量都没有。可只要把视线缩小到分子的尺度，就会发现完全是另一番景象：水分子无时无刻不在剧烈地平动、转动和振动，分子与分子之间还彼此吸引、彼此推拒，存着一份看不见的相互作用能。这些藏在物质内部、与分子运动和分子间作用有关的能量加在一起，就是系统的内能，通常用符号 $U$ 表示。

内能并不神秘，它就是把系统里每一个微观粒子的动能和势能统统累加起来的总和。温度越高，分子运动越剧烈，这部分动能就越大；物质的量越多，参与求和的分子越多，内能也就越大。正因如此，内能是一个广度性质——把一杯热水平分成两杯，每杯的内能只剩原来的一半。

这里有一条特别要紧的性质：内能是状态函数。一个系统处在确定的状态时，它的内能就有一个确定的值，至于这个状态是怎么一步步达到的，对内能的数值毫无影响。这一点和前面讲过的温度、压强一样，是后面所有推导能够成立的根基。

内能的绝对数值很难测准，但热力学真正关心的从来不是 $U$ 本身有多大，而是它的变化量 $\Delta U = U_{\text{终}} - U_{\text{始}}$ 。只要始态和终态定下来， $\Delta U$ 就是一个确定的数，与中间怎么折腾无关。

对最常打交道的理想气体，内能还有一个让人省心的特点：它只由温度决定。理想气体的分子被看作不占体积、彼此之间也没有相互吸引，于是分子间势能这一项就消失了，内能里只剩下与温度直接挂钩的分子动能。这就引出一条结论——只要理想气体的温度不变，无论它被压缩还是膨胀，内能都纹丝不动。

看一道小题来体会“只由温度决定”这句话的分量。一定量的理想气体在恒温水浴中由 $2\ \text{L}$ 缓慢膨胀到 $4\ \text{L}$ ，全程温度都保持在 $300\ \text{K}$ ，问它的内能改变了多少。气体的体积确实变了一倍，可它是理想气体，内能只认温度，温度自始至终都是 $300\ \text{K}$ ，于是

\Delta U = 0

体积的变化没有给内能带来任何改变。这个看似简单的结论，正是后面分析等温过程时反复要用到的出发点。

因温差而流动的能量：热量

回到桌上那杯热水。它放久了会凉，是因为它比周围空气热，能量自发地从温度高的水流向温度低的空气，直到两边一样凉为止。这种仅仅因为存在温度差而在系统和环境之间传递的能量，就叫热量，常用符号 $Q$ 表示。判断有没有热量传递，只要看一件事：两边有没有温度差。一旦温度拉平，热量的流动也就停了。

要特别留意的是，热量描述的是“正在传递”这个过程，而不是物体里“存着”的东西。说一杯水“含有多少热量”是不准确的；准确的说法是，这杯水在变凉的过程中向空气“放出了多少热量”。热量是过程中的能量，没有过程，就谈不上热量。

为了让加减运算有统一的口径，热力学约定了一套正负号规则：系统从环境吸收热量时， $Q$ 取正；系统向环境放出热量时， $Q$ 取负。这个约定的出发点是“站在系统的立场看进账”——能量进了系统就记正，出了系统就记负。

判断 $Q$ 的正负，关键是先认准谁是系统。同一桶热水倒进凉水盆里，若把热水当系统，它放热， $Q<0$ ；若把凉水盆当系统，它吸热， $Q>0$ 。符号取决于站在谁的角度，所以动笔之前务必先把系统圈定清楚。

举个常见的判断例子。把一块刚从冰箱里取出的金属块放进一杯温水中，过一会儿水变凉了、金属块变温了。如果把金属块选作系统，它的温度从低升高，是从温水那里得到了能量，所以它吸热， $Q>0$ ；与此同时，温水作为环境放出了热量。反过来，若改把温水选作系统，那么它温度下降、向金属块放热， $Q<0$ 。同一件事，系统选得不同， $Q$ 的符号就跟着翻转，这正说明热量是描述能量“往哪边流”的过程量。

通过做功传递的能量

搓手能让手心发热，打气筒压缩空气会让筒壁发烫，这两件事里并没有谁比谁更热而引起的热量流动，能量却实实在在地进了手掌、进了筒内的空气。这种不依靠温度差、而是通过力推着物体移动来传递的能量，就是功，常用符号 $W$ 表示。热力学里最常遇到的功，是气体在膨胀或被压缩时和外界交换的功，称为体积功。

想象一个装着气体、上面盖着一个可以自由滑动活塞的气缸。如果外界顶住活塞、把气体往里压，活塞向内移动了一段距离，那就是外界对气体施了力又让它动了，外界对气体做了功，能量被“压”进了气体；反过来，如果气体膨胀、把活塞向外顶开，那就是气体对外界做了功，能量从气体里“跑”了出去。

对于在恒定外压 $p$ 下进行的体积变化，体积功有一个简洁的算式

W = -p\,\Delta V

式中 $\Delta V = V_{\text{终}} - V_{\text{始}}$ 是体积的变化量。和热量一样，功也采用“以系统为本位”的正负号约定：外界对系统做功（系统被压缩， $\Delta V<0$ ），取正，能量进入系统；系统对外界做功（系统膨胀，），取负，能量离开系统。式子前面那个负号，正是为了让这套符号规则自洽——膨胀时，乘上负号后，恰好对应“能量流出系统”。

来算一道具体的题。一定量气体在恒定外压 $p = 1.0\times10^{5}\ \text{Pa}$ 下缓慢膨胀，体积由 $2.0\ \text{L}$ 增大到 $5.0\ \text{L}$ ，求外界对气体做的功。先把体积换算成国际单位， $2.0\ \text{L} = 2.0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ ，，于是

\Delta V = 5.0\times10^{-3}\ \text{m}^3 - 2.0\times10^{-3}\ \text{m}^3 = 3.0\times10^{-3}\ \text{m}^3

代入体积功公式

W = -p\,\Delta V = -\,(1.0\times10^{5}\ \text{Pa})\times(3.0\times10^{-3}\ \text{m}^3) = -300\ \text{J}

结果是 $W = -300\ \text{J}$ ，负号说明这 $300\ \text{J}$ 的能量是从气体流向外界的，也就是气体膨胀时对外界做了 $300\ \text{J}$ 的功。打气筒发烫则是相反的情形：人压下活塞，外界对筒内空气做正功，能量被压进气体，气体温度随之升高。

单位务必统一再代入：压强用帕斯卡（ $\text{Pa}$ ），体积用立方米（ $\text{m}^3$ ），算出来的功才是焦耳（ $\text{J}$ ）。一个常见的失误是把体积留在“升”里直接相乘，结果会差出一千倍。换算关系是 $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$ 。

热量和功都不是状态函数

内能是状态函数，只看始末态。可热量和功偏偏不是这样——它们的大小，和系统具体走了哪条途径密切相关。这一点初看有些别扭，用一个对照例子就能看明白。

让一定量理想气体从同一个始态出发，最终都到达同一个终态，但走两条不同的途径。途径一：让气体在恒温下自由膨胀，再调整到终态。途径二：先猛地加热使它急剧膨胀，再冷却压回到终态。两条途径的始态和终态完全相同，所以作为状态函数的内能，其变化量 $\Delta U$ 在两条途径上必然一模一样。然而途径一里气体吸的热、做的功，和途径二里的数值却对不上号——走法不同，过程中流动的热量 $Q$ 和交换的功 $W$ 各自都不相同。

正因为热量和功是过程量，它们前面通常不加表示“始末之差”的符号 $\Delta$ 。把 $Q$ 写成 $\Delta Q$ 、把 $W$ 写成 $\Delta W$ 是常见的概念性错误，因为根本不存在“始态的热量”减“终态的热量”这种说法——热量只属于过程，不属于状态。

值得玩味的是， $Q$ 和 $W$ 各自都随途径变化，可它们的“和”却奇迹般地稳定下来：无论走哪条途径，只要始末态相同， $Q$ 与 $W$ 相加的结果总是同一个数，正好等于状态函数 $\Delta U$ 。两个“善变”的量加在一起，竟得到一个“不变”的量，这绝不是巧合，而是隐藏在背后的一条根本规律在起作用。

把三者拴在一起的第一定律

把前面三条线索接起来：系统内部攒着内能 $U$ ，能量可以靠热量 $Q$ 因温差而流入流出，也可以靠功 $W$ 通过推拉做功而进出。能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，那么系统内能的增减，就只能等于它通过这两条渠道净得到的能量。这便是热力学第一定律，写成式子就是

\Delta U = Q + W

它的含义朴素得近乎理所当然：系统内能的变化量，等于它吸收的热量加上外界对它做的功。吸热让 $Q$ 记正、外界做功让 $W$ 记正，二者都给系统送能量，内能自然增加；放热和对外做功则相反，内能减少。这条定律说到底，就是能量守恒定律在热力学系统里的一句具体表述。

历史上有人梦想造出一种“第一类永动机”，希望它不消耗任何能量就源源不断地对外做功。第一定律一句话就堵死了这条路：系统对外做功必然以内能减少或吸收外界热量为代价，能量的总账永远平得分毫不差，不花本钱白得功的机器根本不可能存在。

为了用起来不出错，把各个量的正负号集中列在一起，对照着记最稳妥。

物理量	取正号的情形	取负号的情形
热量 $Q$	系统吸热	系统放热
功 $W$	外界对系统做功（压缩）	系统对外界做功（膨胀）
内能 $\Delta U$	内能增加（理想气体升温）	内能减少（理想气体降温）

看一道把符号规则用全的例题。某系统从环境吸收了 $500\ \text{J}$ 的热量，同时它膨胀着对外界做了 $200\ \text{J}$ 的功，求系统内能的变化量。先逐个确定符号：系统吸热，故 $Q = +500\ \text{J}$ ；系统对外界做功，意味着能量离开系统，按约定外界对系统做的功为 $W = -200\ \text{J}$ 。代入第一定律

\Delta U = Q + W = 500\ \text{J} + (-200\ \text{J}) = 300\ \text{J}

内能增加了 $300\ \text{J}$ 。直观地看，吸进来的 $500\ \text{J}$ 有 $200\ \text{J}$ 被气体“花”在了对外做功上，剩下的 $300\ \text{J}$ 留在系统内部，变成了内能的增量，一进一出，账目清清楚楚。

再把第一定律和前面理想气体的结论合起来用一次，体会它的威力。一定量理想气体在恒温下膨胀，对外做功 $400\ \text{J}$ ，问它从环境吸收了多少热量。气体是理想气体且温度不变，内能只认温度，所以 $\Delta U = 0$ ；对外做功 $400\ \text{J}$ ，即 $W = -400\ \text{J}$ 。由第一定律

0 = Q + (-400\ \text{J})

解得 $Q = 400\ \text{J}$ 。这说明在等温膨胀里，气体内能一点没变，它对外做功所花的能量，全靠从环境吸进来的等量热量来补足。能量在这里完成了一次干净利落的“热”与“功”之间的转手，而总量始终守恒。

练习题

下面的题目把内能的状态函数特性、热量与功的过程量特性，以及第一定律的符号运算串在一起。先独立做完，再对照答案，重点检查每一处正负号有没有站对立场。

第一题（内能的特性） 关于理想气体的内能，下列说法正确的是

A. 内能的数值与系统经历的途径有关　　B. 理想气体的内能只由温度决定　　C. 气体体积增大，内能一定增大　　D. 热量是系统内部储存的内能

答案：B。内能是状态函数，数值只由状态决定、与途径无关，故 A 错。理想气体分子间没有相互作用势能，内能只剩与温度挂钩的分子动能，所以只由温度决定，B 正确。体积增大但若温度不变，内能并不改变，C 错。热量是因温差而传递的过程量，不是系统里“存着”的东西，D 把热量与内能混为一谈，也错。

第二题（热量与功的符号） 某气体被压缩，同时向环境放出热量。按照以系统为本位的约定，下列符号判断正确的是

A. $Q>0$ ， $W>0$ 　　B. $Q<0$ ， $W>0$ 　　C. $Q>0$ ，　　D. ，

答案：B。系统放热，能量离开系统，故 $Q<0$ ；气体被压缩，是外界对系统做功，能量进入系统，故 $W>0$ 。两者一出一进，对应 B。

第三题（过程量与状态函数） 一定量理想气体由状态 $\text{A}$ 经不同途径变到同一状态 $\text{B}$ ，下列说法正确的是

A. 不同途径的 $\Delta U$ 一定相同， $Q$ 和 $W$ 也一定分别相同　　B. 不同途径的 $\Delta U$ 一定相同，但 $Q$ 、 $W$ 可以不同　　C. 不同途径的 $\Delta U$ 可以不同　　D. 热量可以写成

答案：B。内能是状态函数，只要始末态相同， $\Delta U$ 必然相同，故 C 错。热量和功是过程量，随途径而变，所以 $Q$ 、 $W$ 各自可以不同，A 错而 B 对。过程量不存在“始末之差”，不应写成 $\Delta Q$ ，D 错。

第四题（第一定律的应用） 某系统在一个过程中内能减少了 $150\ \text{J}$ ，同时对外界做了 $100\ \text{J}$ 的功。则在此过程中系统

A. 吸收热量 $250\ \text{J}$ 　　B. 放出热量 $250\ \text{J}$ 　　C. 吸收热量 $50\ \text{J}$ 　　D. 放出热量 $50\ \text{J}$

答案：D。内能减少 $150\ \text{J}$ ，即 $\Delta U = -150\ \text{J}$ ；系统对外做功 $100\ \text{J}$ ，即 $W = -100\ \text{J}$ 。由 $Δ U = Q + W$ 得。为负，说明系统放出了的热量。

第五题（计算：体积功） 一定量气体在恒定外压 $p = 2.0\times10^{5}\ \text{Pa}$ 下被压缩，体积由 $6.0\ \text{L}$ 减小到 $1.0\ \text{L}$ 。求外界对气体做的功，并说明能量的流向。

先统一单位， $6.0\ \text{L} = 6.0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ ， $1.0\ \text{L} = 1.0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ ，体积变化量为

第六题（计算：第一定律综合） 某系统从环境吸收了 $800\ \text{J}$ 的热量，与此同时外界对它做了 $300\ \text{J}$ 的功。求系统内能的变化量；若该系统是理想气体，其温度将升高还是降低？

系统吸热， $Q = +800\ \text{J}$ ；外界对系统做功， $W = +300\ \text{J}$ 。由第一定律

\Delta U = Q + W = 800\ \text{J} + 300\ \text{J} = 1100\ \text{J}

\Delta U = Q + W

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