摩尔与阿伏伽德罗常数

在上一节中，我们初步了解了“物质的量”和“摩尔”这两个基础而重要的概念，明确了 1 mol 任何粒子都对应着大约 $6.02 \times 10^{23}$ 个“基本单元”（比如原子、分子、离子等）。乍一看，这个数字非常庞大，甚至让人难以想象它具体代表着多少个“东西”。然而，这一巨大数字背后隐藏着深刻的科学意义——它不仅是科学家用于计量和沟通的“桥梁”，也是现代化学定量计算的基础。那么，这样一个精确的数字到底是如何被确定下来的？在实际科研与工业应用中，化学家们又是如何利用这个数字去计算物质间的关系、衡量原子或分子的数量、预测化学变化的结果？理解这些问题，对于进一步学习化学、认识物质微观世界的规律至关重要。本节我们将一一揭示这些答案，让抽象的“阿伏伽德罗常数”变得具体而生动。

摩尔的本质：打包计数

一打铅笔是 12 支，一令纸是 500 张，这些单位背后的逻辑都是一样的：把一个固定数量的个体打包成一个整体单位，方便操作。摩尔做的事情完全相同，只不过打包的数量大得多——每包 $6.02 \times 10^{23}$ 个。

这个数之所以被选中，并不是随意的。科学家发现，把 12 克碳-12（ $^{12}\text{C}$ ）中的碳原子数目定义为“1 摩尔”，可以让各种物质的计量与它们的相对原子质量（或相对分子质量）完美对应。

以下几种常见物质的“1 摩尔”展示了这种对应关系：

可以看出，1 mol 某物质的质量（以克为单位）在数值上恰好等于该物质的相对原子质量或相对分子质量。这不是巧合，正是科学家当初选择这个定义的目的所在。

摩尔是一种“粒子集合”的计量单位。1 mol 物质中包含的粒子数目固定为 $N_A \approx 6.02 \times 10^{23}$ 个，这个数字叫做阿伏伽德罗常数，符号为 $N_A$ ，单位是。

阿伏伽德罗常数是怎么测出来的

$6.02 \times 10^{23}$ 这个数字并非凭空想象，而是由实验测定的。历史上，科学家曾用多种方法估算这个值，最终得到了高度一致的结果。

方法一：电解实验

法拉第电解定律告诉我们，通过一定量的电荷，可以沉积出精确质量的金属。例如，电解硫酸铜溶液时，转移 $96485$ 库仑的电荷，可以沉积 $32$ 克铜（即 $0.5$ mol 铜原子，因为铜的化合价为 +2 价，每个铜原子需要转移 2 个电子）。由此可以反推出每个电子携带的电荷量，结合已知电子电量便能算出粒子总数。

方法二：X 射线晶体衍射

食盐（NaCl）的晶体结构非常规整，Na⁺ 和 Cl⁻ 交替排列，间距可用 X 射线衍射精确测量。已知 NaCl 的密度和每个晶胞的体积，就能推算出每克 NaCl 中含有多少个离子对，进而得出 $N_A$ 。

方法三：油膜实验

将一小滴油酸滴在水面上，它会铺展成单分子层薄膜。测量液滴体积与油膜面积，可估算出分子的直径，再从物质的摩尔质量和密度出发，推算出每摩尔中的分子数目。

这三种完全不同的实验，给出的答案都集中在 $6.02 \times 10^{23}$ 附近。这种“异途同归”的结果，正是自然规律的体现。

目前国际公认的精确值为：

N_A = 6.02214076 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}

中学阶段计算统一取：

N_A = 6.02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}

不同粒子种类与摩尔

摩尔可以用来计量任何粒子，包括原子、分子、离子，甚至是电子。但关键在于：使用摩尔时，必须指明是哪种粒子。

下面用一道例题来说明这一点。

例题 1

1 mol $\text{H}_2\text{O}$ 、1 mol $\text{H}$ 原子和 1 mol $\text{H}_2$ 分子，各含有多少个粒子？它们之间有什么关系？

分析与解答：

三者的“粒子数”相同，都是 $6.02 \times 10^{23}$ 个，但“粒子种类”不同，因此含有的氢原子数目并不相同：

N(\text{H 原子，来自 H}_2\text{O}) = 1 \text{ mol} \times 2 \times N_A = 1.204 \times 10^{24} \text{ 个}

N(\text{H 原子，来自 H}_2) = 1 \text{ mol} \times 2 \times N_A = 1.204 \times 10^{24} \text{ 个}

N(\text{H 原子，单独计}) = 1 \text{ mol} \times 1 \times N_A = 6.02 \times 10^{23} \text{ 个}

“1 mol H₂O”和“1 mol H₂”所含氢原子数相同，都是 $1.204 \times 10^{24}$ 个；但“1 mol H 原子”只有 $6.02 \times 10^{23}$ 个氢原子，是前两者的一半。粒子种类不同，氢原子数目就不同。

阿伏伽德罗常数的四种典型运用

掌握 $N_A$ 的计算，核心只有一个公式：

N = n \times N_A

变形后可以得到：

n = \frac{N}{N_A}

N_A = \frac{N}{n}

实际题目中，这个公式的运用场景可以分为四类：

摩尔与电子数的联系

化学中不只有原子和分子，电子同样可以用摩尔来计量。在氧化还原反应和电化学中，电子转移的摩尔数是一个核心计算量。

以铝与稀盐酸反应为例：

2\text{Al} + 6\text{HCl} \rightarrow 2\text{AlCl}_3 + 3\text{H}_2\uparrow

铝的化合价从 0 升高到 +3，每个铝原子失去 3 个电子。因此，1 mol 铝参与反应时，转移的电子数为：

N(\text{e}^-) = 1 \text{ mol} \times 3 \times N_A = 3 \times 6.02 \times 10^{23} = 1.806 \times 10^{24} \text{ 个}

用摩尔表示为 $3 \text{ mol}$ 电子。

电子也是粒子的一种，可以用摩尔来计量。 $n(\text{e}^-) = \dfrac{N(\text{e}^-)}{N_A}$ ，与原子、分子的计算方式完全一致。

易错点梳理

学习摩尔和阿伏伽德罗常数时，有几个地方最容易出错，以下用对比的方式列出：

例题 5（纠错练习）

某同学说：“ $1 \text{ mol } \text{NaCl}$ 中共有 $6.02 \times 10^{23}$ 个粒子。”请判断这句话是否正确，并给出理由。

分析：

$\text{NaCl}$ 是由 Na⁺ 和 Cl⁻ 构成的离子晶体。1 mol NaCl 含有 $6.02 \times 10^{23}$ 个 NaCl“式单元”，但每个式单元中有 1 个 Na⁺ 和 1 个 Cl⁻，共 2 个离子。

因此，1 mol NaCl 中：

N(\text{Na}^+) = 6.02 \times 10^{23} \text{ 个}，\quad N(\text{Cl}^-) = 6.02 \times 10^{23} \text{ 个}

N(\text{离子总数}) = 2 \times 6.02 \times 10^{23} = 1.204 \times 10^{24} \text{ 个}

该同学的说法不正确。如果说“ $6.02 \times 10^{23}$ 个 NaCl 式单元”是对的，但若说“粒子”（即离子），则总数应为 $1.204 \times 10^{24}$ 个。

离子化合物（如 NaCl、KOH、 $\text{CaCl}_2$ ）中，1 mol 物质含有的离子总数不是 $N_A$ 个，而要根据化学式中阴阳离子的比例来计算。例如 1 mol $\text{CaCl}_2$ 含有个 Ca²⁺ 和个 Cl⁻，共个离子。

特殊粒子的摩尔计算

化学中有一些“特殊粒子”需要格外注意，包括质子（氢离子 H⁺）、中子、同位素等。

以水（ $\text{H}_2\text{O}$ ）为例，下面统计 1 mol 水中各类粒子的数目：

例题 6

$0.1 \text{ mol } \text{H}_2\text{O}$ 中共有多少个电子？

解：

每个 $\text{H}_2\text{O}$ 分子含有： $2 \times 1 + 8 = 10$ 个电子。

N(\text{e}^-) = 0.1 \text{ mol} \times 10 \times N_A = 0.1 \times 10 \times 6.02 \times 10^{23} = 6.02 \times 10^{23} \text{ 个}

0.1 mol 水中共有 $6.02 \times 10^{23}$ 个电子。

练习题

选择题

第 1 题 下列关于阿伏伽德罗常数 $N_A$ 的说法中，正确的是（　　）

A. $N_A$ 的单位是 mol，数值约为 $6.02 \times 10^{23}$

B. 不同物质中， $N_A$ 的数值会随温度和压强改变

C. $N_A$ 是一个通过实验测定的物理常数，单位为 $\text{mol}^{-1}$

D. 1 mol 任何物质都含有 $N_A$ 个原子

答案：C

知识点：阿伏伽德罗常数的定义与性质

A 错误： $N_A$ 的单位是 $\text{mol}^{-1}$ ，不是 mol。

B 错误： $N_A$ 是一个普适物理常数，不随温度、压强或物质种类改变，始终约为。

第 2 题 1 mol $\text{Na}_2\text{SO}_4$ 中， $\text{SO}_4^{2-}$ 的数目是（　　）

A. $3.01 \times 10^{23}$ 个　　B. $6.02 \times 10^{23}$ 个　　C. $1.204 \times 10^{24}$ 个　　D. 个

答案：B

知识点：离子化合物中各离子的摩尔数计算

$\text{Na}_2\text{SO}_4$ 由 $2\text{Na}^+$ 和 $1\text{SO}_4^{2-}$ 构成，每个化学式单元中含 1 个。

第 3 题 下列各组物质中，所含氧原子数最多的是（　　）

A. 0.5 mol $\text{H}_2\text{O}$

B. 0.5 mol $\text{CO}_2$

C. 0.3 mol $\text{H}_2\text{SO}_4$

D. 0.2 mol $\text{Al}_2(\text{SO}_4)_3$

答案：D

知识点：化学式中原子数目的计算与比较

分别计算各选项中氧原子的物质的量：

A： $0.5 \text{ mol} \times 1 = 0.5 \text{ mol}$ 氧原子

B： $0.5 \text{ mol} \times 2 = 1 \text{ mol}$ 氧原子

C： $0.3 \text{ mol} \times 4 = 1.2 \text{ mol}$ 氧原子

第 4 题 $1 \text{ mol } \text{H}_2\text{O}_2$ （双氧水）与 $1 \text{ mol } \text{H}_2\text{O}$ 相比，下列说法正确的是（　　）

A. 两者含有的氢原子数相同，氧原子数也相同

B. 两者含有的氢原子数相同，但氧原子数不同

C. 两者含有的氢原子数不同，但氧原子数相同

D. 两者含有的分子数相同，且每个分子中的电子数也相同

答案：B

知识点：分子组成与原子数目的对比

$\text{H}_2\text{O}_2$ 的化学式为 $\text{H}_2\text{O}_2$ ，每个分子含 2 个 H 和 2 个 O；每个分子含 2 个 H 和 1 个 O。

计算题

第 5 题 某工厂电解氯化铝（ $\text{AlCl}_3$ ）溶液提取铝，已知每个铝原子在电极上沉积时需得到 3 个电子。现有 $0.2 \text{ mol } \text{AlCl}_3$ 完全电解，求：

（1）溶液中 $\text{Al}^{3+}$ 的数目是多少？

（2）电极上沉积铝时，共转移多少个电子？

解题过程：

知识点：离子数目的计算；电子转移量的计算

（1）求 $\text{Al}^{3+}$ 的数目：

$\text{AlCl}_3$ 由 1 个 $\text{Al}^{3+}$ 和 3 个 ${Cl}^{-}$ 构成，每个化学式单元中含 1 个。

第 6 题 某混合气体由 $\text{CO}$ 和 $\text{CO}_2$ 组成，其中 CO 的物质的量为 $1.5 \text{ mol}$ ， $\text{CO}_2$ 的物质的量为 $0.5 \text{ mol}$ ，求：

（1）混合气体中碳原子的总数是多少？

（2）混合气体中氧原子的总数是多少？

（3）混合气体中氧原子数与碳原子数的比值是多少？

解题过程：

知识点：混合体系中各原子数目的分别计算与汇总

已知： $n(\text{CO}) = 1.5 \text{ mol}$ ， $n(\text{CO}_2) = 0.5 \text{ mol}$

（1）碳原子总数：

CO 和 $\text{CO}_2$ 中每个分子各含 1 个碳原子，因此：

6.02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}

粒子	1 mol H₂O₂	1 mol H₂O
分子数	$N_A$ 个	$N_A$ 个
H 原子数	$2N_A$ 个	$2N_A$ 个
O 原子数	$2N_A$ 个	$N_A$ 个

\text{Cl}^-

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