弯曲剪应力
在前面的内容中，我们学习了梁在弯曲作用下横截面上的正应力（即弯曲正应力）分布规律，并掌握了相关的计算方法。然而，在实际工程中，梁不仅仅受到弯曲作用，还常常承受横向载荷，这时横截面上除了产生正应力之外，还不可避免地产生剪应力。这种剪应力对结构的安全与稳定有着重要影响，特别是在剪力较大的区域。如果只考虑正应力而忽略剪应力，往往会导致设计不安全甚至结构失效。因此，全面理解和掌握剪应力的分布规律与强度计算方法，对于梁的受力分析和安全设计至关重要。
本内容将系统地介绍梁在弯曲时横截面上的剪应力产生机理、分布特性及影响因素，并详细讲解典型截面形式下（如矩形、工字形等）剪应力的计算方法。通过理论推导和实例分析，帮助读者深入理解弯曲剪应力的实际意义和工程应用，提升结构分析与设计能力。
弯曲剪应力的概念
梁横截面上的剪应力
当梁受到横向载荷作用时，梁的任意横截面上除了存在弯矩外，通常还存在剪力。剪力的存在表明横截面上必然产生剪应力。这种由弯曲变形引起的剪应力称为弯曲剪应力。
在工程实际中，许多构件在承受弯曲载荷时都会产生剪应力。例如，高层建筑的主梁在楼板和墙体的重力作用下，不仅要承受弯矩，还要承受较大的剪力。桥梁的主梁在车辆通行时，支座附近的剪力往往很大。对于这些构件，仅仅进行正应力强度计算是不够的，还必须考虑剪应力的影响。
剪应力的分布特点
通过理论分析和实验观察发现，梁横截面上的剪应力分布具有以下基本特点。剪应力的方向平行于横截面，与剪力的方向一致。在截面的同一高度处，各点的剪应力大小相等。剪应力沿截面高度的分布是不均匀的，通常在中性轴处达到最大值，在截面的上下边缘处为零。
弯曲剪应力与截面上的剪力直接相关，剪力越大的位置，剪应力通常也越大。在梁的设计中，支座附近往往是剪应力最需要关注的区域。
为了更好地理解剪应力的分布，我们可以通过一个简单的对比来说明。考虑一根简支梁承受集中载荷的情况，沿着梁的长度方向，剪力的大小是变化的。在支座处剪力最大，在载荷作用点处剪力发生突变，而在跨中某些位置剪力可能为零。
上图展示了简支梁在集中载荷作用下的剪力分布。从图中可以看出，剪力在梁的不同位置具有不同的数值和符号，这直接影响了横截面上剪应力的大小。
矩形截面梁的剪应力
剪应力计算公式
对于矩形截面梁，通过弹性力学的理论推导，可以得到横截面上任意高度处剪应力的计算公式。设矩形截面的宽度为 b，高度为 h，截面上的剪力为 Q，距中性轴为 y 处的剪应力为 τ，则剪应力的计算公式为：
其中， 是截面上距中性轴为 y 的横线以外部分面积对中性轴的静矩，I 是整个截面对中性轴的惯性矩，b 是计算剪应力处的截面宽度。
对于矩形截面，经过计算可以得到更为简便的表达式。中性轴处的最大剪应力为：
而距中性轴为 y 处的剪应力为：
从公式可以看出，剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处达到最大值，在上下边缘处为零。
剪应力分布规律
为了直观地理解矩形截面梁剪应力的分布规律，我们通过图表来展示不同高度处剪应力的变化情况。假设一根矩形截面梁，高度为 200mm，宽度为 100mm，截面上的剪力为 30kN。
矩形截面梁的最大剪应力出现在中性轴处，其数值为平均剪应力的 1.5 倍。这个结论在工程设计中非常重要，直接影响到梁的剪切强度校核。
实际工程中，木结构建筑的梁多采用矩形截面。某木制楼板梁采用截面尺寸为 150mm × 250mm 的方木，跨度为 4m，承受均布载荷。在支座处，剪力达到最大值。根据木材的许用剪应力（通常为 1.0～1.5 MPa），可以校核该梁的剪切强度是否满足要求。
平均剪应力与最大剪应力的关系
在工程实际中，有时会使用平均剪应力来进行粗略估算。平均剪应力定义为剪力除以截面面积，即：
对比最大剪应力的公式可以发现：
这个系数 1.5 反映了剪应力分布的不均匀程度。对于矩形截面，最大剪应力比平均剪应力大 50%。在实际计算中，不能简单地用平均剪应力代替最大剪应力，否则会低估构件所承受的真实应力水平，造成安全隐患。
工字形截面梁的剪应力
工字形截面的特点
在工程中，工字形截面因其优良的抗弯性能而被广泛应用。钢结构建筑的主梁、桥梁的钢梁、起重机的大梁等都常采用工字形截面。工字形截面由上翼缘、腹板和下翼缘三部分组成，其截面形状使得材料主要分布在离中性轴较远的位置，从而获得较大的抗弯截面模量。
工字形截面在承受剪力时，其剪应力分布与矩形截面有显著不同。由于腹板较薄而翼缘较宽，剪应力主要集中在腹板上，而翼缘中的剪应力相对较小。这一特点对工字形梁的强度计算有重要影响。
腹板中的剪应力
在工字形截面中，由于腹板的宽度远小于翼缘的宽度，根据剪应力计算公式 ，当 b 较小时，剪应力 τ 会相应增大。因此，腹板承担了截面上的大部分剪力。
通过详细计算可以发现，腹板承担的剪力通常占截面总剪力的 95% 以上。这意味着在进行工字形梁的剪切强度计算时，可以近似地认为剪力完全由腹板承担。这样，工字形截面腹板中的平均剪应力可以简化为：
其中， 是腹板的高度， 是腹板的厚度。
腹板中的最大剪应力出现在中性轴处，其数值略大于平均剪应力。在工程设计中，常常直接采用平均剪应力进行强度校核，并留有一定的安全余量。
翼缘中的剪应力
与腹板相比，工字形截面翼缘中的剪应力很小，通常可以忽略不计。这是因为翼缘的宽度较大，根据 公式，b 值较大导致剪应力较小。此外，翼缘主要承担由弯矩产生的正应力，其在抗弯中起主要作用。
某钢结构厂房的屋架主梁采用工字钢，型号为 I40a，腹板高度约 380mm，腹板厚度 10.5mm。在最大剪力作用下，腹板中的剪应力约为 45 MPa，而翼缘中的剪应力不超过 3 MPa。这验证了腹板承担主要剪力的结论。
工字形截面剪应力分布
为了更清晰地展示工字形截面中剪应力的分布特点，我们通过数据表格来对比腹板和翼缘在不同位置的剪应力值。
从表格可以清楚地看到，腹板中的剪应力数值远大于翼缘中的剪应力，且剪应力沿腹板高度的变化相对平缓，在中性轴处达到最大值。
梁的剪应力强度条件
强度条件的建立
与正应力强度条件类似，为了保证梁在剪力作用下不发生剪切破坏，必须使梁横截面上的最大剪应力不超过材料的许用剪应力。剪应力强度条件可以表示为：
其中， 是梁横截面上的最大剪应力， 是材料的许用剪应力。许用剪应力是根据材料的剪切屈服极限或剪切强度极限，除以适当的安全系数而得到的。
对于不同的材料，许用剪应力的数值是不同的。常见材料的许用剪应力参考值如下表所示。
在实际工程中，对于塑性材料（如钢材），剪切破坏往往不是主要的破坏形式，因为正应力通常首先达到极限。但对于脆性材料（如混凝土、铸铁）以及某些特殊情况（如短梁、支座附近），剪切强度的校核就显得尤为重要。
强度校核与设计
根据剪应力强度条件，梁的剪切强度计算包括三类问题。第一类是强度校核，即已知梁的截面尺寸和所受载荷，计算最大剪应力，检验是否满足强度条件。第二类是截面设计，即根据所受载荷和材料的许用剪应力，确定梁的截面尺寸。第三类是确定许可载荷，即已知梁的截面尺寸和材料的许用剪应力，确定梁所能承受的最大载荷。
某钢筋混凝土简支梁，跨度 6m，截面为矩形，宽度 250mm，高度 500mm。梁承受均布载荷，在支座处剪力最大，数值为 90kN。混凝土的许用剪应力为 1.43 MPa。我们来校核该梁的剪切强度。
根据矩形截面梁的最大剪应力公式：
由于 ，因此该梁的剪切强度满足要求。
对于钢筋混凝土梁，由于混凝土的抗剪能力较弱，在实际设计中通常需要配置箍筋来提高梁的抗剪承载力。单纯依靠混凝土本身的抗剪能力往往是不够的。
剪应力与正应力的综合作用
在实际的梁中，横截面上既有正应力又有剪应力，两者共同作用于同一点。这种情况称为复合应力状态。虽然在多数情况下，梁的破坏主要由正应力控制，但在某些位置（如支座附近、腹板区域），剪应力的影响不可忽视。
对于跨高比较小的梁（称为短梁或深梁），剪应力的影响更加显著。当梁的跨度与高度之比小于 5 时，剪切变形对梁的挠度有明显影响，剪应力强度也可能成为控制因素。在这种情况下，必须同时进行正应力强度校核和剪应力强度校核，确保梁在两个方面都满足强度要求。
下表对比了不同跨高比梁的应力特点。
某大型桥梁的主梁在支座附近设置了加劲肋，这是为了增强该区域的抗剪能力。因为在支座处，剪力达到最大值，而弯矩相对较小，此时剪应力成为主要的关注对象。通过设置加劲肋，可以有效地提高腹板的抗剪承载力，防止剪切破坏的发生。
从上图可以看出，沿梁的长度方向，正应力和剪应力的影响程度是不同的。在跨中位置，弯矩最大而剪力较小，因此正应力起主导作用。而在支座附近，剪力最大而弯矩较小，剪应力的影响变得显著。这一分布规律指导着梁的强度设计和配筋布置。
小结
我们从剪应力的基本概念出发，分别研究了矩形截面和工字形截面梁的剪应力特点。矩形截面梁的剪应力呈抛物线分布，最大剪应力出现在中性轴处，数值为平均剪应力的 1.5 倍。工字形截面梁的剪应力主要集中在腹板上，翼缘中的剪应力很小。
在梁的强度设计中，必须同时考虑正应力和剪应力的作用。对于一般的梁，正应力往往起控制作用，但在支座附近、短梁以及薄腹板梁中，剪应力的校核同样重要。通过建立剪应力强度条件 ，可以进行强度校核、截面设计和许可载荷的确定。
掌握弯曲剪应力的分析方法，对于正确理解梁的受力性能、合理进行梁的设计具有重要意义。在后续章节中，我们将进一步学习复合应力状态下的强度理论，以及组合变形的分析方法，这些内容都建立在本章所学知识的基础之上。