压强与流体

生活中处处存在压力的作用：水坝承受着水的巨大推力，注射器推下活塞时液体从针头射出，吸管喝饮料时饮料被“吸”入口中。这些现象背后，都是流体（液体和气体）中压强规律在发挥作用。

固体对接触面的压力只能垂直作用于接触面；而液体和气体则截然不同，它们能向四面八方传递压力。正是这种各向传递的特性，使得流体在工程技术和日常生活中有着极为广泛的应用。

液体内部的压强

液体受重力作用，会对容器底部和侧壁产生压力。取液体中某一深度 $h$ 处，设其正上方液柱的底面积为 $S$，液体密度为 $\rho$，该液柱的重力为：

$G = \rho g h S$

底部所受的压强为：

$p = \frac{G}{S} = \rho g h$

这就是液体压强公式，其中 $\rho$ 为液体密度（单位：$\text{kg/m}^3$），$g$ 为重力加速度，$h$ 为从液面到该处的竖直深度（单位：m），压强 $p$ 的单位为帕斯卡（Pa），即 $\text{N/m}^2$。

例1 潜水员在水深 $10\,\text{m}$ 处作业，水的密度为 $1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求该深度的液体压强。

$p = \rho g h = 1.0 \times 10^3 \times 10 \times 10 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$

这恰好等于一个标准大气压，说明潜水员在水下 $10\,\text{m}$ 处所受的水压约等于地面大气压大小。

不同深度的水压对比（水的密度取 $1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$）：

从表中可以看出，每下潜 $10\,\text{m}$，液体压强便增加约一个大气压。深海中巨大的压强，对潜水器的材料强度提出了极高要求。

连通器原理

将两个开口的容器用管道连通，静止时两容器中的液面总是在同一高度，这就是连通器原理。根据液体压强公式，若两侧液面高度不同，则较低一侧的底部压强更大，液体会从高压侧流向低压侧，直到两侧液面等高、压强相等时才停止流动。

例2 一个茶壶，从壶底算起壶嘴开口的高度为 $15\,\text{cm}$。根据连通器原理，水的液面不能超过壶嘴的开口高度，因此最多装水至 $15\,\text{cm}$ 高处，否则水就会从壶嘴溢出。壶嘴的高度实际上限制了茶壶的最大盛水量。

连通器原理在生活和生产中的应用：

帕斯卡定律与液压机

1648年，法国科学家帕斯卡做了一个著名实验：在装满水的密封木桶盖上插入一根细管，从高处向细管中注入少量水。结果仅仅几升水便使桶内压强急剧升高，最终将木桶胀破。

这个实验揭示了帕斯卡定律：密闭液体受到外部施加的压强，能够大小不变地向液体内各处和器壁传递。

帕斯卡定律的应用——液压机，由一个小活塞（面积 $A_1$）和一个大活塞（面积 $A_2$）组成，两者通过密封液体连通。由于液体中各处压强相等：

$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \implies F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1}$

当 $A_2 \gg A_1$ 时，$F_2 \gg F_1$，用很小的力便可产生很大的力，这就是液压机的工作原理。

例3 一台液压机，小活塞面积 $A_1 = 5\,\text{cm}^2$，大活塞面积 $A_2 = 200\,\text{cm}^2$，在小活塞上施加 $F_1 = 100\,\text{N}$ 的力，大活塞能产生多大的力？

$F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 100 \times \frac{200}{5} = 4000\,\text{N}$

仅用 $100\,\text{N}$ 的力，便可产生 $4000\,\text{N}$ 的压力，力被放大了 40 倍。

不同面积比的液压机输出力对比：

液压机的面积比越大，输出力越大，但大活塞的移动距离比小活塞小得多，即“力大位移小”。这是能量守恒的体现：输入的功等于输出的功，$F_1 d_1 = F_2 d_2$，力增大多少倍，移动距离就缩小多少倍。

大气压强

地球被一层厚达数百千米的大气层包围，空气受到重力作用，因此大气对地球表面和其上所有物体都有压强，称为大气压强（简称大气压）。

1643年，意大利科学家托里拆利第一次精确测量了大气压的大小：在一根一端封闭、装满水银的玻璃管中，将开口端倒置在水银槽内，管内水银柱会下降到约 $760\,\text{mm}$ 高处，顶部形成真空。此时大气压恰好支撑住这段水银柱，因此：

$p_0 = \rho_{\text{汞}} g h = 13.6 \times 10^3 \times 10 \times 0.76 \approx 1.013 \times 10^5\,\text{Pa}$

这就是标准大气压，记作 $1\,\text{atm} = 1.013 \times 10^5\,\text{Pa}$。

不同海拔的大气压对比：

例4 用吸管喝饮料时，吸气使吸管内气压降低，外部大气压将饮料压入口中。若大气压为 $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$，吸管内气压降至 $0.6 \times 10^5\,\text{Pa}$，饮料密度近似为 $1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求饮料能被压升多高。

大气压与管内气压之差支撑着液柱：

$\Delta p = \rho g h \implies h = \frac{\Delta p}{\rho g} = \frac{(1.0 - 0.6) \times 10^5}{1.0 \times 10^3 \times 10} = 4\,\text{m}$

流体流速与压强的关系

水在河道变窄的地方流速加快，在宽阔处流速减慢，这是流体连续性的体现：对于不可压缩的流体，在管道中稳定流动时，截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小：

$v_1 A_1 = v_2 A_2$

瑞士科学家伯努利在1738年发现：在同一水平管道的稳定流动中，流速越大的地方，压强反而越小；流速越小的地方，压强越大。这就是伯努利原理，其数学表达为：

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{常数}$

其中 $p$ 为流体压强，$\rho$ 为流体密度，$v$ 为流速。由此可得，两截面之间的压强关系为：

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

例5 水在一根变截面水管中水平流动。粗管截面积 $A_1 = 100\,\text{cm}^2$，细管截面积 $A_2 = 25\,\text{cm}^2$，粗管处流速 $v_1 = 1\,\text{m/s}$，粗管处水压 $p_1 = 3.0 \times 10^4\,\text{Pa}$，水的密度为 $1000\,\text{kg/m}^3$，求细管处的流速和压强。

由连续性方程：

$v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 = \frac{100}{25} \times 1 = 4\,\text{m/s}$

由伯努利原理：

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 3.0 \times 10^4 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1^2 - 4^2)$

$p_2 = 30000 + 500 \times (-15) = 30000 - 7500 = 2.25 \times 10^4\,\text{Pa}$

细管处流速增大为 $4\,\text{m/s}$，压强降低为 $2.25 \times 10^4\,\text{Pa}$，验证了流速大、压强小的规律。

流速与压强的对应关系（同一液体水平流动）：

飞机升力的原理

飞机能在空中飞行，依靠机翼产生的升力。机翼的横截面形状并不对称：上表面弯曲而较长，下表面较平直而较短。

气流绕过机翼时，流过上表面的气流路程更长，速度更快；流过下表面的气流路程较短，速度较慢。根据伯努利原理，速度快的地方压强小，速度慢的地方压强大，因此：

$p_{\text{下}} > p_{\text{上}}$

下表面压强大于上表面压强，形成向上的合力，即升力：

$F_{\text{升}} = (p_{\text{下}} - p_{\text{上}}) \times S_{\text{翼}}$

机翼上下表面的气流对比：

例6 一架小型飞机，机翼面积为 $20\,\text{m}^2$，飞行时机翼上表面的平均气压为 $0.96 \times 10^5\,\text{Pa}$，下表面平均气压为 $1.02 \times 10^5\,\text{Pa}$，求飞机机翼产生的升力。

$F_{\text{升}} = (p_{\text{下}} - p_{\text{上}}) \times S = (1.02 - 0.96) \times 10^5 \times 20 = 0.06 \times 10^5 \times 20 = 1.2 \times 10^5\,\text{N}$

升力为 $1.2 \times 10^5\,\text{N}$，即 $120\,\text{kN}$，足以支撑十余吨的小型飞机在空中飞行。

练习题

选择题

第1题 一种液体在深度 $h = 0.5\,\text{m}$ 处的压强为 $5000\,\text{Pa}$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，则该液体的密度为（　　）

A. $500\,\text{kg/m}^3$　　　B. $800\,\text{kg/m}^3$　　　C. $1000\,\text{kg/m}^3$　　　D. $1200\,\text{kg/m}^3$

第2题 关于连通器，下列说法正确的是（　　）

A. 连通器内任意液体静止时液面一定等高

B. 连通器内装同种液体且静止时各管液面等高

C. 连通器只能用于水，不能用于其他液体

D. 连通器两管粗细不同时，细管液面更高

第3题 一台液压机，小活塞面积为 $10\,\text{cm}^2$，大活塞面积为 $500\,\text{cm}^2$，在小活塞上施加 $200\,\text{N}$ 的力，大活塞上能产生的力为（　　）

A. $4\,\text{N}$　　　B. $400\,\text{N}$　　　C. $4000\,\text{N}$　　　D. $10000\,\text{N}$

第4题 根据伯努利原理，在同一水平管道中稳定流动的液体，流速越大的地方（　　）

A. 压强越大，密度越大

B. 压强越小，密度不变

C. 压强越大，密度不变

D. 压强越小，密度越小

计算题

第5题 一个开口水箱，水面高于底部出水口 $2\,\text{m}$，出水口面积为 $0.02\,\text{m}^2$，水的密度为 $1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$（只考虑液体压强，忽略大气压的影响）。求：（1）出水口处的液体压强；（2）出水口所受的水压力。

第6题 一架大型客机，机翼总面积为 $280\,\text{m}^2$，飞机总质量（含乘客和货物）为 $2.0 \times 10^5\,\text{kg}$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。飞机匀速平飞时升力恰好等于重力。求：（1）飞机所受的重力；（2）机翼上下表面的气压差。