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物理量子力学入门波函数与薛定谔方程

波函数与薛定谔方程

经典力学用牛顿方程描述粒子的位置和速度；量子力学则完全不同——它用一个叫做「波函数」的数学对象来描述粒子的状态，而这个波函数满足薛定谔方程。从薛定谔方程的来源出发，逐步揭示波函数的含义、概率诠释，以及量子力学与经典力学在根本概念上的差异。

从经典力学到量子力学

在经典力学中，描述一个粒子的运动，只需要知道它在任意时刻的位置 x(t)x(t)x(t) 和速度 v(t)v(t)v(t)，一切力学量都可以由此推算。牛顿第二定律 F=maF = maF=ma 告诉我们，知道初始条件之后，粒子的整个运动轨迹就完全确定了。

但是，微观粒子（比如电子）根本没有确定的轨迹。双缝实验中，一个电子「同时」穿过两条缝并产生干涉，这用经典的「粒子走一条路」根本无法解释。薛定谔受德布罗意物质波的启发，认为微观粒子必须用一个波动的量来描述，并为这个「物质波」写出了对应的波动方程。

welearn-67826642.png

经典波动方程（如绳子上的横波）具有如下形式：

∂2y∂t2=v2∂2y∂x2\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}∂t2∂2y​=v2∂x2∂2y​

薛定谔的推导策略是：从粒子的能量-动量关系出发，让经典关系「量子化」。对于非相对论粒子，总能量等于动能加势能：

E=p22m+V(x)E = \frac{p^2}{2m} + V(x)E=2mp2​+V(x)

根据德布罗意关系，一个具有确定动量 ppp 的自由粒子对应一个平面波：

Ψ(x,t)=A ei(kx−ωt)\Psi(x, t) = A \, e^{i(kx - \omega t)}Ψ(x,t)=Aei(kx−ωt)

其中 k=p/ℏk = p/\hbark=p/ℏ，ω=E/ℏ\omega = E/\hbarω=E/ℏ。对这个平面波求偏导数，可以发现：

∂Ψ∂t=−iωΨ=−iEℏΨ  ⟹  EΨ=iℏ∂Ψ∂t\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i\omega \Psi = -\frac{iE}{\hbar} \Psi \implies E\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}∂t∂Ψ​=−iωΨ=−ℏiE​Ψ⟹EΨ=iℏ∂t∂Ψ​ ∂2Ψ∂x2=−k2Ψ=−p2ℏ2Ψ  ⟹  p2Ψ=−ℏ2∂2Ψ∂x2\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2 \Psi = -\frac{p^2}{\hbar^2} \Psi \implies p^2 \Psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}∂x2∂2Ψ​=−k2Ψ=−ℏ2p2​Ψ⟹p2Ψ=−ℏ2∂x2∂2Ψ​

将能量关系 E=p2/(2m)+VE = p^2/(2m) + VE=p2/(2m)+V 两边作用到波函数上，得到含时薛定谔方程：

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+V(x,t)Ψi\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x,t)\Psiiℏ∂t∂Ψ​=−2mℏ2​∂x2∂2Ψ​+V(x,t)Ψ

这个方程是量子力学的基本方程，地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

薛定谔方程不能从更基本的原理「推导」出来——它是量子力学的公理。上面的类比推导只是说明这个方程「从何而来」的启发性过程，真正的依据是它与实验结果的完美符合。

波函数的物理意义

薛定谔方程的解 Ψ(x,t)\Psi(x, t)Ψ(x,t) 称为波函数，它是一个复数值函数。在某一位置 xxx、某一时刻 ttt，Ψ(x,t)\Psi(x, t)Ψ(x,t) 是一个复数，它本身没有直接的物理意义。

  • 概率密度：波函数的模平方 ∣Ψ(x,t)∣2|\Psi(x, t)|^2∣Ψ(x,t)∣2 才是可以观测的量，它代表在时刻 ttt、位置 xxx 处发现粒子的概率密度。

更准确地说，在位置区间 [x, x+dx][x,\, x + dx][x,x+dx] 内发现粒子的概率为：

dP=∣Ψ(x,t)∣2 dxdP = |\Psi(x, t)|^2 \, dxdP=∣Ψ(x,t)∣2dx

这一诠释由德国物理学家马克斯·玻恩于1926年提出，称为玻恩规则，是量子力学最核心的诠释。

波函数描述的是一种「概率分布的振幅」，类比于声波的振幅决定声音的强度，但这里是「出现概率的振幅」而非能量的振幅。

下面这个表格对比了经典力学与量子力学中描述粒子状态的方式：

welearn-16330170.png

波函数 Ψ\PsiΨ 本身是复数，不代表任何可直接测量的物理量。只有 ∣Ψ∣2|\Psi|^2∣Ψ∣2 才有概率密度的物理意义。这是量子力学最令人陌生的地方，也是它与经典理论最根本的区别。

统计诠释与玻恩规则

玻恩诠释告诉我们，量子力学从根本上是一种「概率理论」。即使完全知道一个粒子的波函数，也无法预测单次测量的确切结果，只能知道得到各个结果的概率。

welearn-98759356.png

做多次相同实验，每次都从相同的波函数 Ψ\PsiΨ 出发，把每次测量到的位置 xxx 记录下来，结果的统计分布将符合 ∣Ψ(x)∣2|\Psi(x)|^2∣Ψ(x)∣2 描述的概率密度曲线。

这里有一个关键问题：测量之前，粒子到底「在哪里」？量子力学给出的答案是：测量之前，粒子没有确定的位置，它处于各种可能位置的「叠加态」，测量行为本身使粒子的状态「塌缩」到某个确定的位置。

这与经典概率论中的「不确定性」有本质区别。经典概率中，硬币「实际上」已经是正面或反面，只是我们不知道；量子力学中，粒子在测量前「真的没有」确定的位置，不是我们不知道，而是根本就不存在。爱因斯坦终身对此不满，但实验（尤其是贝尔不等式的验证）表明量子力学的诠释是正确的。

期望值与标准差

要定量描述一个概率分布，最常用的两个量是期望值和标准差。

对于连续概率分布，位置 xxx 的期望值（均值）定义为：

⟨x⟩=∫−∞+∞x ∣Ψ(x,t)∣2 dx\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, |\Psi(x, t)|^2 \, dx⟨x⟩=∫−∞+∞​x∣Ψ(x,t)∣2dx

⟨x⟩\langle x \rangle⟨x⟩ 代表大量重复测量后，测量值的平均结果。注意 ⟨x⟩\langle x \rangle⟨x⟩ 是随时间变化的——随着粒子的运动，概率密度分布会改变，期望值也随之移动。

位置的方差和标准差分别为：

σx2=⟨x2⟩−⟨x⟩2,σx=⟨x2⟩−⟨x⟩2\sigma_x^2 = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2, \quad \sigma_x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}σx2​=⟨x2⟩−⟨x⟩2,σx​=⟨x2⟩−⟨x⟩2​

其中：

⟨x2⟩=∫−∞+∞x2 ∣Ψ(x,t)∣2 dx\langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \, |\Psi(x, t)|^2 \, dx⟨x2⟩=∫−∞+∞​x2∣Ψ(x,t)∣2dx

σx\sigma_xσx​ 称为位置的不确定度（或弥散度），它反映了测量结果在期望值附近的分散程度。σx\sigma_xσx​ 越大，测量结果越分散，粒子的位置越「模糊」。

以高斯型波函数为例，设：

∣Ψ(x)∣2=12π σ e−x2/(2σ2)|\Psi(x)|^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \, e^{-x^2/(2\sigma^2)}∣Ψ(x)∣2=2π​σ1​e−x2/(2σ2)

这是以 x=0x = 0x=0 为中心的正态分布，可以计算出 ⟨x⟩=0\langle x \rangle = 0⟨x⟩=0，⟨x2⟩=σ2\langle x^2 \rangle = \sigma^2⟨x2⟩=σ2，σx=σ\sigma_x = \sigmaσx​=σ。

归一化条件

welearn-25175769.png

由于 ∣Ψ(x,t)∣2|\Psi(x, t)|^2∣Ψ(x,t)∣2 表示概率密度，在整个空间中找到粒子的总概率必须等于 1：

∫−∞+∞∣Ψ(x,t)∣2 dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx = 1∫−∞+∞​∣Ψ(x,t)∣2dx=1

这就是波函数的归一化条件。如果初始波函数满足归一化，薛定谔方程会保证它在之后的任意时刻依然满足归一化——这是薛定谔方程的一个重要性质。

验证这一点需要计算归一化条件对时间的导数：

ddt∫−∞+∞∣Ψ∣2 dx=∫−∞+∞∂∂t∣Ψ∣2 dx\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 \, dxdtd​∫−∞+∞​∣Ψ∣2dx=∫−∞+∞​∂t∂​∣Ψ∣2dx

利用薛定谔方程，可以推导出：

∂∂t∣Ψ∣2=iℏ2m∂∂x ⁣(Ψ∗∂Ψ∂x−Ψ∂Ψ∗∂x)\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)∂t∂​∣Ψ∣2=2miℏ​∂x∂​(Ψ∗∂x∂Ψ​−Ψ∂x∂Ψ∗​)

右侧是某个函数对 xxx 的导数，将其在 (−∞, +∞)(-\infty,\, +\infty)(−∞,+∞) 上积分，利用「物理上合理的波函数在无穷远处趋于零」的边界条件，结果为零。这表明归一化积分不随时间变化——总概率守恒。

总概率守恒是量子力学自洽性的保证：粒子不会在时间演化中「消失」或「凭空产生」。这也是薛定谔方程中虚数单位 iii 不可缺少的原因——若将 iii 换成实数，归一化就无法保持。

如果求得的波函数还未归一化，可以乘以一个常数 AAA 使其归一化：

A2∫−∞+∞∣ψ(x)∣2 dx=1  ⟹  A=(∫−∞+∞∣ψ(x)∣2 dx)−1/2A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1 \implies A = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 \, dx\right)^{-1/2}A2∫−∞+∞​∣ψ(x)∣2dx=1⟹A=(∫−∞+∞​∣ψ(x)∣2dx)−1/2

动量算符与期望值

在量子力学中，动量不再是一个简单的数值，而对应一个作用于波函数的算符：

p^=−iℏ∂∂x\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}p^​=−iℏ∂x∂​

这个记法的含义是：动量算符 p^\hat{p}p^​ 作用于波函数 Ψ\PsiΨ，得到 −iℏ∂Ψ∂x-i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}−iℏ∂x∂Ψ​。

动量的期望值计算公式为：

⟨p⟩=∫−∞+∞Ψ∗ ⁣(−iℏ∂Ψ∂x)dx\langle p \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \!\left(-i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right) dx⟨p⟩=∫−∞+∞​Ψ∗(−iℏ∂x∂Ψ​)dx

注意这里的顺序很重要：Ψ∗\Psi^*Ψ∗ 在左，算符作用于 Ψ\PsiΨ 在右，然后再积分。一般地，任意力学量 Q(x,p)Q(x, p)Q(x,p) 对应的算符，将 ppp 替换为 −iℏ ∂/∂x-i\hbar\, \partial/\partial x−iℏ∂/∂x，其期望值为：

⟨Q⟩=∫−∞+∞Ψ∗ Q^ ⁣(x, −iℏ∂∂x)Ψ dx\langle Q \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \,\hat{Q}\!\left(x,\, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi \, dx⟨Q⟩=∫−∞+∞​Ψ∗Q^​(x,−iℏ∂x∂​)Ψdx

以动能为例，T=p2/(2m)T = p^2/(2m)T=p2/(2m)，对应的算符为：

T^=−ℏ22m∂2∂x2\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}T^=−2mℏ2​∂x2∂2​

下面这个表格列出了几个常见力学量及其对应的算符：

welearn-42134744.png

最后一行中的 H^\hat{H}H^ 称为哈密顿算符，薛定谔方程本身可以简洁地写为：

iℏ∂Ψ∂t=H^Ψi\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psiiℏ∂t∂Ψ​=H^Ψ

不确定性原理

1927年，海森堡提出了量子力学中最著名的结论：位置和动量不能同时具有确定的值。用标准差来表示，这一关系为：

σx⋅σp≥ℏ2\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}σx​⋅σp​≥2ℏ​

其中 σx\sigma_xσx​ 是位置的标准差，σp\sigma_pσp​ 是动量的标准差，ℏ=h/(2π)≈1.055×10−34 J⋅s\hbar = h/(2\pi) \approx 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}ℏ=h/(2π)≈1.055×10−34J⋅s。

这个不等式有一个深刻的含义：把粒子的位置限制得越精确（σx\sigma_xσx​ 越小），那么动量的不确定度 σp\sigma_pσp​ 就必然越大，反之亦然。这不是测量手段粗糙造成的，而是量子力学的内在性质。

用一个具体的数量级估算来理解这一点。将一个电子限制在原子核内（约 10−15 m10^{-15} \, \text{m}10−15m），位置不确定度 σx≈10−15 m\sigma_x \approx 10^{-15} \, \text{m}σx​≈10−15m，由不确定性原理：

σp≥ℏ2σx=1.055×10−34 J⋅s2×10−15 m≈5.3×10−20 kg⋅m/s\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2\sigma_x} = \frac{1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}}{2 \times 10^{-15} \, \text{m}} \approx 5.3 \times 10^{-20} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}σp​≥2σx​ℏ​=2×10−15m1.055×10−34J⋅s​≈5.3×10−20kg⋅m/s

对应的动能约为：

Ek≈σp22me=(5.3×10−20)22×9.11×10−31 kg≈1.5×10−9 J≈9.4×109 eVE_k \approx \frac{\sigma_p^2}{2m_e} = \frac{(5.3 \times 10^{-20})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}} \approx 1.5 \times 10^{-9} \, \text{J} \approx 9.4 \times 10^9 \, \text{eV}Ek​≈2me​σp2​​=2×9.11×10−31kg(5.3×10−20)2​≈1.5×10−9J≈9.4×109eV

这相当于 9.4 GeV9.4 \, \text{GeV}9.4GeV，远大于电子的静止能量（0.511 MeV0.511 \, \text{MeV}0.511MeV），说明电子根本无法被束缚在原子核内。这就是量子力学对「核内没有电子」这一实验事实的理论解释。

作为对比，将同一个电子限制在原子大小的范围内（约 10−10 m10^{-10} \, \text{m}10−10m），对应的动量不确定度约为：

σp≥1.055×10−34 J⋅s2×10−10 m≈5.3×10−25 kg⋅m/s\sigma_p \geq \frac{1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}}{2 \times 10^{-10} \, \text{m}} \approx 5.3 \times 10^{-25} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}σp​≥2×10−10m1.055×10−34J⋅s​≈5.3×10−25kg⋅m/s

动能约为 ∼1.5 eV\sim 1.5 \, \text{eV}∼1.5eV，与氢原子基态能量 13.6 eV13.6 \, \text{eV}13.6eV 同一量级，与电子在原子中稳定存在的实验相符。

不确定性原理 σx⋅σp≥ℏ/2\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \hbar/2σx​⋅σp​≥ℏ/2 并不是说测量会干扰系统，而是说「位置精确」与「动量精确」这两件事在量子力学中根本不能同时成立。即使没有任何测量干扰，一个处于确定位置的粒子就必然具有完全不确定的动量，这是波函数的数学性质决定的。

练习题

选择题

  • 题目一（考查知识点：波函数的物理意义）

关于波函数 Ψ(x,t)\Psi(x, t)Ψ(x,t)，以下说法正确的是？

A. 波函数本身代表粒子所在位置的概率

B. 波函数模平方 ∣Ψ∣2|\Psi|^2∣Ψ∣2 代表在 xxx 处发现粒子的概率密度

C. 波函数必须是实数

D. 知道波函数，就能确定粒子的精确位置

正确答案：B

波函数 Ψ\PsiΨ 是复数，不能直接代表概率（选项 A、C 错误）。由玻恩规则，∣Ψ(x,t)∣2 dx|\Psi(x, t)|^2\,dx∣Ψ(x,t)∣2dx 才代表在区间 [x, x+dx][x,\, x+dx][x,x+dx] 发现粒子的概率（B 正确）。知道波函数只能预测各位置的概率，不能确定单次测量的精确结果（选项 D 错误）。

  • 题目二（考查知识点：归一化条件）

一维波函数 ψ(x)=A e−∣x∣/a\psi(x) = A\,e^{-|x|/a}ψ(x)=Ae−∣x∣/a（a>0a > 0a>0），则归一化常数 AAA 为？

A. A=aA = \sqrt{a}A=a​

B. A=1/aA = 1/\sqrt{a}A=1/a​

C. A=2aA = \sqrt{2a}A=2a​

D. A=1/aA = 1/aA=1/a

正确答案：B

归一化要求：

∫−∞+∞∣A e−∣x∣/a∣2 dx=A2∫−∞+∞e−2∣x∣/a dx=A2⋅2∫0∞e−2x/a dx=A2⋅2⋅a2=A2a=1\int_{-\infty}^{+\infty} |A\,e^{-|x|/a}|^2\,dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2|x|/a}\,dx = A^2 \cdot 2\int_0^{\infty} e^{-2x/a}\,dx = A^2 \cdot 2 \cdot \frac{a}{2} = A^2 a = 1∫−∞+∞​∣Ae−∣x∣/a∣2dx=A2∫−∞+∞​e−2∣x∣/adx=A2⋅2∫0∞​e−2x/adx=A2⋅2⋅2a​=A2a=1

故 A=1/aA = 1/\sqrt{a}A=1/a​，选项 B 正确。

  • 题目三（考查知识点：动量算符与期望值）

若粒子的波函数为 Ψ(x)=A eikx\Psi(x) = A\,e^{ikx}Ψ(x)=Aeikx（kkk 为实常数），则动量期望值 ⟨p⟩\langle p \rangle⟨p⟩ 为？

A. 000

B. kkk

C. ℏk\hbar kℏk

D. −iℏk-i\hbar k−iℏk

正确答案：C

动量期望值为：

⟨p⟩=∫Ψ∗ ⁣(−iℏ∂∂x) ⁣Ψ dx\langle p \rangle = \int \Psi^*\!\left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)\!\Psi\,dx⟨p⟩=∫Ψ∗(−iℏ∂x∂​)Ψdx

对 Ψ=A eikx\Psi = A\,e^{ikx}Ψ=Aeikx，有 ∂Ψ∂x=ikΨ\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = ik\Psi∂x∂Ψ​=ikΨ，于是 p^Ψ=−iℏ⋅ikΨ=ℏkΨ\hat{p}\Psi = -i\hbar \cdot ik\Psi = \hbar k\Psip^​Ψ=−iℏ⋅ikΨ=ℏkΨ。代入积分：

⟨p⟩=ℏk∫∣Ψ∣2 dx=ℏk⋅1=ℏk\langle p \rangle = \hbar k \int |\Psi|^2\,dx = \hbar k \cdot 1 = \hbar k⟨p⟩=ℏk∫∣Ψ∣2dx=ℏk⋅1=ℏk

eikxe^{ikx}eikx 是动量为 ℏk\hbar kℏk 的本征态，测量结果必然为 ℏk\hbar kℏk，期望值当然也是 ℏk\hbar kℏk。

  • 题目四（考查知识点：不确定性原理）

一个粒子的位置不确定度为 σx=0.10 nm\sigma_x = 0.10 \, \text{nm}σx​=0.10nm，其动量的最小不确定度 σp\sigma_pσp​ 约为多少？（ℏ=1.055×10−34 J⋅s\hbar = 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}ℏ=1.055×10−34J⋅s）

A. 5.3×10−25 kg⋅m/s5.3 \times 10^{-25} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}5.3×10−25kg⋅m/s

B. 1.1×10−24 kg⋅m/s1.1 \times 10^{-24} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}1.1×10−24kg⋅m/s

C. 5.3×10−26 kg⋅m/s5.3 \times 10^{-26} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}5.3×10−26kg⋅m/s

D. 2.1×10−25 kg⋅m/s2.1 \times 10^{-25} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}2.1×10−25kg⋅m/s

正确答案：A

由不确定性原理 σx⋅σp≥ℏ/2\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \hbar/2σx​⋅σp​≥ℏ/2，动量的最小不确定度为：

σp≥ℏ2σx=1.055×10−34 J⋅s2×0.10×10−9 m=1.055×10−342.0×10−10≈5.3×10−25 kg⋅m/s\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2\sigma_x} = \frac{1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}}{2 \times 0.10 \times 10^{-9} \, \text{m}} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2.0 \times 10^{-10}} \approx 5.3 \times 10^{-25} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}σp​≥2σx​ℏ​=2×0.10×10−9m1.055×10−34J⋅s​=2.0×10−101.055×10−34​≈5.3×10−25kg⋅m/s

选项 A 正确。

计算题

  • 计算题一（考查知识点：归一化与期望值的计算）

已知一维粒子的波函数为 ψ(x)=A x e−x/a\psi(x) = A\,x\,e^{-x/a}ψ(x)=Axe−x/a（x≥0x \geq 0x≥0，a>0a > 0a>0），在 x<0x < 0x<0 时 ψ=0\psi = 0ψ=0。

（1）求归一化常数 AAA（可以使用公式 ∫0∞xne−αx dx=n!αn+1\displaystyle\int_0^\infty x^n e^{-\alpha x}\,dx = \dfrac{n!}{\alpha^{n+1}}∫0∞​xne−αxdx=αn+1n!​）。

（2）求位置期望值 ⟨x⟩\langle x \rangle⟨x⟩。

（3）求在 0≤x≤a0 \leq x \leq a0≤x≤a 范围内发现粒子的概率。

（1）求归一化常数 AAA：

∫0∞∣A x e−x/a∣2 dx=A2∫0∞x2 e−2x/a dx=A2⋅2!(2/a)3=A2⋅2a38=A2a34=1\int_0^\infty |A\,x\,e^{-x/a}|^2\,dx = A^2 \int_0^\infty x^2\,e^{-2x/a}\,dx = A^2 \cdot \frac{2!}{(2/a)^3} = A^2 \cdot \frac{2a^3}{8} = \frac{A^2 a^3}{4} = 1∫0∞​∣Axe−x/a∣2dx=A2∫0∞​x2e−2x/adx=A2⋅(2/a)32!​=A2⋅82a3​=4A2a3​=1

故 A=2a3/2A = \dfrac{2}{a^{3/2}}A=a3/22​。

（2）求位置期望值 ⟨x⟩\langle x \rangle⟨x⟩：

⟨x⟩=A2∫0∞x⋅x2 e−2x/a dx=A2∫0∞x3 e−2x/a dx=A2⋅3!(2/a)4=A2⋅6a416\langle x \rangle = A^2 \int_0^\infty x \cdot x^2\,e^{-2x/a}\,dx = A^2 \int_0^\infty x^3\,e^{-2x/a}\,dx = A^2 \cdot \frac{3!}{(2/a)^4} = A^2 \cdot \frac{6a^4}{16}⟨x⟩=A2∫0∞​x⋅x2e−2x/adx=A2∫0∞​x3e−2x/adx=A2⋅(2/a)43!​=A2⋅166a4​

⟨x⟩=4a3⋅6a416=24a16=3a2\langle x \rangle = \frac{4}{a^3} \cdot \frac{6a^4}{16} = \frac{24a}{16} = \frac{3a}{2}⟨x⟩=a34​⋅166a4​=1624a​=23a​

（3）在 0≤x≤a0 \leq x \leq a0≤x≤a 内发现粒子的概率：

P=A2∫0ax2 e−2x/a dx=4a3∫0ax2 e−2x/a dxP = A^2 \int_0^a x^2\,e^{-2x/a}\,dx = \frac{4}{a^3} \int_0^a x^2\,e^{-2x/a}\,dxP=A2∫0a​x2e−2x/adx=a34​∫0a​x2e−2x/adx

令 u=2x/au = 2x/au=2x/a，当 x:0→ax: 0 \to ax:0→a 时 u:0→2u: 0 \to 2u:0→2，变量替换后：

∫0ax2 e−2x/a dx=a38∫02u2 e−u du\int_0^a x^2\,e^{-2x/a}\,dx = \frac{a^3}{8} \int_0^2 u^2\,e^{-u}\,du∫0a​x2e−2x/adx=8a3​∫02​u2e−udu

用分部积分（∫u2e−u du=−e−u(u2+2u+2)+C\int u^2 e^{-u}\,du = -e^{-u}(u^2 + 2u + 2) + C∫u2e−udu=−e−u(u2+2u+2)+C）：

∫02u2 e−u du=[−e−u(u2+2u+2)]02=2−10e−2\int_0^2 u^2\,e^{-u}\,du = \left[-e^{-u}(u^2 + 2u + 2)\right]_0^2 = 2 - 10e^{-2}∫02​u2e−udu=[−e−u(u2+2u+2)]02​=2−10e−2

P=4a3⋅a38(2−10e−2)=12(2−10e−2)=1−5e−2≈1−5×0.135≈0.323P = \frac{4}{a^3} \cdot \frac{a^3}{8}(2 - 10e^{-2}) = \frac{1}{2}(2 - 10e^{-2}) = 1 - 5e^{-2} \approx 1 - 5 \times 0.135 \approx 0.323P=a34​⋅8a3​(2−10e−2)=21​(2−10e−2)=1−5e−2≈1−5×0.135≈0.323

在 0≤x≤a0 \leq x \leq a0≤x≤a 范围内发现粒子的概率约为 32.3%32.3\%32.3%。

  • 计算题二（考查知识点：不确定性原理的估算应用）

氢原子的玻尔半径 a0≈0.053 nma_0 \approx 0.053 \, \text{nm}a0​≈0.053nm，用不确定性原理估算氢原子基态中电子的最低可能动能，并与氢原子基态能量 ∣E1∣=13.6 eV|E_1| = 13.6 \, \text{eV}∣E1​∣=13.6eV 进行比较。

已知：ℏ=1.055×10−34 J⋅s\hbar = 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}ℏ=1.055×10−34J⋅s，me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}me​=9.11×10−31kg，1 eV=1.6×10−19 J1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}1eV=1.6×10−19J。

电子被束缚在氢原子内，位置不确定度取 σx≈a0=0.053×10−9 m\sigma_x \approx a_0 = 0.053 \times 10^{-9} \, \text{m}σx​≈a0​=0.053×10−9m。

由不确定性原理，动量不确定度的最小值为：

σp≥ℏ2σx=1.055×10−34 J⋅s2×0.053×10−9 m≈1.055×10−341.06×10−10≈9.95×10−25 kg⋅m/s\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2\sigma_x} = \frac{1.055 \times 10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}}{2 \times 0.053 \times 10^{-9} \, \text{m}} \approx \frac{1.055 \times 10^{-34}}{1.06 \times 10^{-10}} \approx 9.95 \times 10^{-25} \, \text{kg}{\cdot}\text{m/s}σp​≥2σx​ℏ​=2×0.053×10−9m1.055×10−34J⋅s​≈1.06×10−101.055×10−34​≈9.95×10−25kg⋅m/s

将动量不确定度作为动量大小的估计值，最低动能约为：

Ek≈σp22me=(9.95×10−25)22×9.11×10−31 kg=9.90×10−491.82×10−30≈5.4×10−19 JE_k \approx \frac{\sigma_p^2}{2m_e} = \frac{(9.95 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}} = \frac{9.90 \times 10^{-49}}{1.82 \times 10^{-30}} \approx 5.4 \times 10^{-19} \, \text{J}Ek​≈2me​σp2​​=2×9.11×10−31kg(9.95×10−25)2​=1.82×10−309.90×10−49​≈5.4×10−19J

换算为电子伏特：

Ek≈5.4×10−191.6×10−19≈3.4 eVE_k \approx \frac{5.4 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.4 \, \text{eV}Ek​≈1.6×10−195.4×10−19​≈3.4eV

这一估算结果约为 3.4 eV3.4 \, \text{eV}3.4eV，与氢原子基态动能（精确值为 13.6 eV13.6 \, \text{eV}13.6eV）同一数量级，符合不确定性原理估算的精度范围。不确定性原理给出的是正确的量级，而非精确值。

  • 从经典力学到量子力学
  • 波函数的物理意义
  • 统计诠释与玻恩规则
  • 期望值与标准差
  • 归一化条件
  • 动量算符与期望值
  • 不确定性原理
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题

目录

  • 从经典力学到量子力学
  • 波函数的物理意义
  • 统计诠释与玻恩规则
  • 期望值与标准差
  • 归一化条件
  • 动量算符与期望值
  • 不确定性原理
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题