狭义相对论基础

19世纪末，经典力学在工程和日常世界中运转得无懈可击。然而，当物理学家把目光投向光速问题时，一系列令人困惑的实验结果开始动摇牛顿力学的根基。爱因斯坦在1905年提出的狭义相对论，彻底重塑了人类对时间和空间的理解，揭示出时间与空间并非绝对，而是相互交织、随观察者的运动状态而变化的。

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以太假说与迈克耳孙-莫雷实验

光需要介质来传播吗

19世纪的物理学家普遍认为，光是一种波，波的传播需要介质。声波在空气中传播，水波在水面传播，那么光波应当在某种弥漫宇宙的介质中传播。这种假想的介质被称为“以太”。

以太被设想为充满整个宇宙空间、绝对静止的背景。地球在绕日公转过程中，相对以太运动，就如同在以太的“风”中穿行。如果以太存在，地球上沿不同方向传播的光，其速度相对于地球应当不同。

迈克耳孙-莫雷实验（1887年）

美国物理学家迈克耳孙和莫雷设计了一台精密干涉仪，利用光的干涉条纹来检测不同方向上光速的差异。实验原理如下图所示：

实验结论是：无论光沿哪个方向传播，其速度始终相同，与地球的运动状态无关。这个结果与以太理论的预言完全矛盾。

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狭义相对论的两个基本假设

爱因斯坦没有试图修补以太理论，而是从两条简洁的假设出发，重新建立了运动学的理论体系。

假设一：相对性原理

物理定律在所有惯性参考系中具有相同的形式。没有任何实验能够区分不同的惯性参考系，也不存在绝对静止的参考系。

假设二：光速不变原理

在真空中，光的速度相对于任何惯性参考系都相同，且与光源的运动状态无关，恒为：

$c = 2.998 \times 10^8 \,\text{m/s} \approx 3 \times 10^8 \,\text{m/s}$

这两条假设看似简单，却与伽利略速度叠加原理存在根本矛盾，迫使我们放弃时间和空间的绝对性。

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伽利略变换的局限

经典情形下的伽利略变换

设参考系 $S'$ 相对参考系 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向匀速运动，两坐标系在 $t = 0$ 时重合。伽利略变换给出：

$x' = x - vt, \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = t$

伽利略变换隐含着时间的绝对性：$t' = t$，即所有观察者共享同一时间。

与光速不变原理的矛盾

在 $S$ 系中，光沿 $x$ 轴以速度 $c$ 传播：$x = ct$。按伽利略速度叠加，$S'$ 系中测得光速为：

$u' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{d(x - vt)}{dt} = c - v$

这与光速不变原理直接矛盾。因此，伽利略变换在高速情形下不再适用，必须用洛伦兹变换取代。

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洛伦兹变换

洛伦兹因子

定义一个无量纲参数 $\beta = v/c$，以及洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$，相对论效应可以忽略；当 $v \to c$ 时，$\gamma \to \infty$，效应变得极为显著。

洛伦兹变换公式

在 $S'$ 相对 $S$ 沿 $x$ 轴以速度 $v$ 运动的情形下：

$x' = \gamma(x - vt)$

$t' = \gamma\!\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$

$y' = y, \quad z' = z$

逆变换（从 $S'$ 到 $S$，将 $v$ 换成 $-v$）：

$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\!\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$

验证光速不变

在 $S$ 系中，设光信号在 $t = 0$ 时从原点出发：$x = ct$。代入洛伦兹变换：

$\frac{x'}{t'} = \frac{\gamma(x - vt)}{\gamma(t - vx/c^2)} = \frac{x - vt}{t - vx/c^2} = \frac{ct - vt}{t - vct/c^2} = \frac{c(1 - v/c)}{1 - v/c} = c$

在 $S'$ 系中，光速仍为 $c$，验证了光速不变原理的自洽性。

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同时性的相对性

同时的相对性

洛伦兹变换中时间坐标包含空间坐标，这直接导致“同时”不再是绝对的概念。

在 $S$ 系中，两个事件同时发生（$t_1 = t_2$），但发生在不同位置（$x_1 \neq x_2$）。在 $S'$ 系中，这两个事件的时间差为：

$\Delta t' = t'_2 - t'_1 = \gamma\!\left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) = \gamma\!\left(0 - \frac{v(x_2 - x_1)}{c^2}\right) \neq 0$

因此，在 $S'$ 系中，这两个事件并不同时发生。

例 1　列车上的闪光

一列以速度 $v = 0.6c$ 运动的列车，车厢中点处发出一道闪光。地面观察者（$S$ 系）认为，闪光同时到达车厢两端。而站台上静止的观察者（$S'$ 系）看到，列车向前运动，前端在向闪光跑去，后端在逃离闪光，因此闪光先到达车厢后端，后到达前端。两个观察者对“同时”的判断不同，但各自都是正确的。

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时间膨胀

固有时与膨胀时

发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔，称为固有时（或原时），记作 $\Delta t_0$。相对于这两个事件有相对运动的观察者，测得的时间间隔为：

$\Delta t = \gamma \Delta t_0$

由于 $\gamma \geq 1$，运动时钟走得更慢，即时间发生了膨胀。

例 2　μ子的寿命

宇宙射线与大气层碰撞产生μ子，μ子的固有寿命为 $\tau_0 = 2.2 \,\mu\text{s}$，速度约为 $v = 0.998c$。

按经典力学，μ子在寿命内能走的距离为：

$d_{\text{经典}} = v\tau_0 = 0.998 \times 3\times10^8 \times 2.2\times10^{-6} \approx 660\,\text{m}$

然而大气层厚度约 $15\,\text{km}$，μ子按经典预测根本无法到达地面。

按相对论，地面观察者测得μ子的寿命为：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.998^2}} \approx 15.8$

$\Delta t = \gamma \tau_0 = 15.8 \times 2.2 \,\mu\text{s} \approx 34.8 \,\mu\text{s}$

在此时间内，μ子能走：

$d = v\Delta t = 0.998 \times 3\times10^8 \times 34.8\times10^{-6} \approx 10.4\,\text{km}$

这与实验观测到的μ子能穿透大气层的事实完全吻合，是时间膨胀最有力的实验证据之一。

例 3　钟慢效应的对称性

若 $A$、$B$ 两人各持一只时钟做匀速相对运动，$A$ 观测 $B$ 的钟走慢，$B$ 也同样观测 $A$ 的钟走慢。这种对称性在相对性原理的框架下是完全合理的——没有谁处于“真正静止”的特权地位。

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长度收缩

固有长度与收缩长度

物体静止时在某一方向上的长度，称为固有长度（或原长），记作 $L_0$。当物体沿该方向以速度 $v$ 运动时，运动方向上的长度变为：

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

由于 $\gamma \geq 1$，运动物体在运动方向上的长度缩短，垂直方向的长度不变。

例 4　高速飞船的长度

一艘飞船静止时长度为 $L_0 = 100\,\text{m}$，以 $v = 0.8c$ 的速度飞过地球。

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.667$

$L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{100}{1.667} \approx 60\,\text{m}$

地球上的观察者测得飞船长度只有 $60\,\text{m}$，但飞船内的乘客测得船长仍为 $100\,\text{m}$。

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相对论速度变换

经典速度叠加的失效

经典力学中，若物体在 $S'$ 系中以速度 $u'$ 运动，$S'$ 相对 $S$ 以速度 $v$ 运动，则在 $S$ 系中物体的速度为 $u = u' + v$。若 $u' = c$ 且 $v = c$，则 $u = 2c$，超过光速——这违背光速不变原理。

相对论速度变换公式

由洛伦兹变换推导得到，沿 $x$ 方向的速度变换为：

$u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$

例 5　两飞船的接近速度

飞船 $A$ 以速度 $0.8c$ 向右飞行，飞船 $B$ 以速度 $0.7c$ 向左飞行（相对地面）。在 $A$ 上观测 $B$ 的速度是多少？

取向右为正，$v = 0.8c$（$A$ 相对地面的速度），$u = -0.7c$（$B$ 相对地面的速度）。在 $A$ 的参考系中，$B$ 的速度为：

$u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2} = \frac{-0.7c - 0.8c}{1 - (-0.7c)(0.8c)/c^2} = \frac{-1.5c}{1 + 0.56} = \frac{-1.5c}{1.56} \approx -0.962c$

两飞船相对速度约为 $0.962c$，小于光速，符合相对论要求。

光速叠加验证

若 $u' = c$，则：

$u = \frac{c + v}{1 + cv/c^2} = \frac{c + v}{1 + v/c} = \frac{c(1 + v/c)}{1 + v/c} = c$

无论 $v$ 取何值，光速始终等于 $c$，完全自洽。

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多普勒效应的相对论修正

经典多普勒效应回顾

经典多普勒效应表明，当声源与观察者发生相对运动时，观察者接收到的频率与声源频率不同。光也有类似效应，但由于光速不变，其公式与声波有所差异。

相对论多普勒公式

设光源与观察者之间的相对速度为 $v$，令 $\beta = v/c$：

当光源远离观察者时（红移），接收频率为：

$f' = f_0\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$

当光源靠近观察者时（蓝移），接收频率为：

$f' = f_0\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$

与经典多普勒公式相比，相对论版本对两个方向的处理是对称的——体现了相对性原理的要求。

例 6　河外星系的红移

某星系发出的氢原子谱线，固有波长 $\lambda_0 = 656\,\text{nm}$，地球上观测到的波长为 $\lambda = 724\,\text{nm}$（红移）。求该星系远离地球的速度。

由于 $f = c/\lambda$，将频率公式转换为波长形式：

$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$

$\frac{724}{656} \approx 1.104$

$1.104^2 = \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \implies 1.219(1 - \beta) = 1 + \beta$

$1.219 - 1.219\beta = 1 + \beta \implies \beta = \frac{0.219}{2.219} \approx 0.099$

该星系以约 $0.099c \approx 2.97 \times 10^7\,\text{m/s}$ 的速度远离地球。

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练习题

选择题

第 1 题　以速度 $v = 0.6c$ 飞行的飞船，其洛伦兹因子 $\gamma$ 最接近于哪个值？（知识点：洛伦兹因子的计算）

A. $1.00$　　B. $1.25$　　C. $1.67$　　D. $2.50$

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答案：B

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.64}} = \dfrac{1}{0.8} = 1.25$

选 B。

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第 2 题　宇宙飞船以 $v = 0.8c$ 的速度飞行，飞船上的时钟每走 $1\,\text{s}$，地球上的时钟走了多少？（知识点：时间膨胀）

A. $0.6\,\text{s}$　　B. $1.0\,\text{s}$　　C. $1.25\,\text{s}$　　D. $1.67\,\text{s}$

显示答案

答案：D

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} = \dfrac{1}{0.6} \approx 1.667$

飞船上经历 $\Delta t_0 = 1\,\text{s}$（固有时），地球测得 $\Delta t = \gamma \Delta t_0 \approx 1.67\,\text{s}$。

选 D。

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第 3 题　一根静止长度为 $L_0 = 10\,\text{m}$ 的杆，以 $v = 0.866c$ 的速度沿其长度方向运动。地面观察者测得其长度约为多少？（知识点：长度收缩，$\gamma \approx 2$）

A. $20\,\text{m}$　　B. $10\,\text{m}$　　C. $8.66\,\text{m}$　　D. $5\,\text{m}$

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答案：D

$v = 0.866c \approx \dfrac{\sqrt{3}}{2}c$，则 $v^2/c^2 = 0.75$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.75}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.25}} = \dfrac{1}{0.5} = 2$

$L = \dfrac{L_0}{\gamma} = \dfrac{10}{2} = 5\,\text{m}$

选 D。

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第 4 题　飞船 $A$ 以 $0.5c$ 向右飞行，在 $A$ 上向右发射一颗速度为 $0.6c$ 的炮弹（相对飞船）。地面观测到炮弹的速度最接近哪个值？（知识点：相对论速度叠加）

A. $1.1c$　　B. $0.846c$　　C. $0.6c$　　D. $0.5c$

显示答案

答案：B

$u = \dfrac{u' + v}{1 + u'v/c^2} = \dfrac{0.6c + 0.5c}{1 + 0.6 \times 0.5} = \dfrac{1.1c}{1.3} \approx 0.846c$

选 B。

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计算题

第 5 题　一个不稳定粒子在实验室参考系中以速度 $v = 0.99c$ 运动。已知该粒子的固有寿命为 $\tau_0 = 1.0 \times 10^{-8}\,\text{s}$。（知识点：时间膨胀与实际飞行距离）

（1）实验室中测得该粒子的寿命是多少？

（2）在实验室中，该粒子在衰变前能飞行多远？

显示答案

解：

（1）计算洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.99^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} \approx \frac{1}{0.141} \approx 7.09$

实验室测得寿命：

$\Delta t = \gamma \tau_0 = 7.09 \times 1.0 \times 10^{-8}\,\text{s} \approx 7.09 \times 10^{-8}\,\text{s}$

（2）飞行距离：

$d = v \cdot \Delta t = 0.99 \times 3 \times 10^8 \times 7.09 \times 10^{-8}\,\text{m} \approx 21.1\,\text{m}$

若按固有寿命计算：$d_0 = 0.99c \times \tau_0 \approx 0.99 \times 3\times10^8 \times 10^{-8} \approx 2.97\,\text{m}$

时间膨胀使粒子的飞行距离从约 $3\,\text{m}$ 增加到约 $21\,\text{m}$，这一效应在粒子物理实验中每天都在被观测和利用。

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第 6 题　两艘飞船在地面观测者看来，分别以 $v_A = 0.70c$ 和 $v_B = 0.80c$ 的速度向同一方向飞行，$B$ 在 $A$ 前方。（知识点：相对论速度变换）

（1）在飞船 $A$ 的参考系中，飞船 $B$ 的速度是多少？

（2）若改为 $B$ 以 $0.80c$ 向右、$A$ 以 $0.70c$ 向左飞行（相对地面），则在 $A$ 的参考系中 $B$ 的速度是多少？

显示答案

解：

（1）$A$ 的参考系以 $v = 0.70c$ 相对地面向右运动，$B$ 相对地面的速度 $u = 0.80c$（同向）。

$u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2} = \frac{0.80c - 0.70c}{1 - 0.80 \times 0.70} = \frac{0.10c}{1 - 0.56} = \frac{0.10c}{0.44} \approx 0.227c$

在 $A$ 看来，$B$ 以约 $0.227c$ 的速度向前飞。

（2）取向右为正，$v = -0.70c$（$A$ 向左），$u = 0.80c$（$B$ 向右）。

$u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2} = \frac{0.80c - (-0.70c)}{1 - (0.80)(-0.70)} = \frac{1.50c}{1 + 0.56} = \frac{1.50c}{1.56} \approx 0.962c$

在 $A$ 看来，$B$ 以约 $0.962c$ 的速度向右运动，仍然小于光速。经典叠加给出的 $1.50c$ 是错误的。