谐振子

振动是自然界中最普遍的运动形式之一。钟摆的摆动、吉他弦的颤动、心脏的跳动，乃至分子在晶格中的热运动，背后都遵循同一套力学规律。谐振子模型正是描述这类振动的核心框架，它的方程简洁优美，解法清晰，所揭示的物理图像在机械、声学、电路等众多领域都有直接的应用。

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简谐振动的方程与解

从弹簧振子出发

将一个质量为 $m$ 的物体挂在劲度系数为 $k$ 的弹簧上，使其在平衡位置附近运动。以平衡位置为原点，向右为正方向，弹簧给物体的恢复力为：

$F = -kx$

由牛顿第二定律 $F = ma = m\ddot{x}$，运动方程为：

$m\ddot{x} = -kx \implies \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$

定义固有角频率 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$，方程化为标准形式：

$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$

这就是简谐振动方程，它的通解为：

$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$

其中 $A$ 是振幅（最大位移），$\varphi$ 是初相位（由初始条件决定），$\omega_0$ 是固有角频率。对应的振动周期和频率为：

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}$

速度与加速度

对 $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$ 求导：

$v(t) = \dot{x} = -A\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi)$

$a(t) = \ddot{x} = -A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \varphi) = -\omega_0^2 x$

速度的最大值为 $v_{\max} = A\omega_0$，加速度的最大值为 $a_{\max} = A\omega_0^2$。加速度始终与位移反向——这正是恢复力的体现。

例 1　一弹簧的劲度系数 $k = 100\,\text{N/m}$，挂上质量 $m = 0.25\,\text{kg}$ 的物体后静止在平衡位置，然后将物体向下拉 $x_0 = 0.05\,\text{m}$ 后由静止释放。求振动的角频率、周期、振幅，以及物体经过平衡位置时的速度。

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.25}} = \sqrt{400} = 20\,\text{rad/s}$

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\,\text{s}$

初始条件：$x(0) = x_0 = 0.05\,\text{m}$，$v(0) = 0$，故 $A = x_0 = 0.05\,\text{m}$，$\varphi = 0$。

过平衡位置时 $x = 0$，此时动能最大，由能量守恒：

$v_{\max} = A\omega_0 = 0.05 \times 20 = 1.0\,\text{m/s}$

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振动的能量

动能与势能的变化

在简谐振动中，物体的动能和弹性势能随时间周期性变化，但总机械能保持不变。

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi)$

$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi)$

利用 $k = m\omega_0^2$，总机械能为：

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi) + \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi) = \frac{1}{2}kA^2$

总能量与时间无关，只取决于振幅 $A$ 和劲度系数 $k$。振幅越大，系统储存的能量越多，能量与振幅的平方成正比。

时间平均

由于 $\sin^2$ 和 $\cos^2$ 在一个周期内的平均值均为 $1/2$，动能和势能的时间平均值相等：

$\langle E_k \rangle = \langle E_p \rangle = \frac{1}{4}kA^2 = \frac{E}{2}$

例 2　一质量 $m = 0.1\,\text{kg}$ 的物体在弹簧上做简谐振动，振幅 $A = 0.08\,\text{m}$，角频率 $\omega_0 = 10\,\text{rad/s}$。求：（1）系统总能量；（2）物体经过 $x = 0.06\,\text{m}$ 处时的速度。

$k = m\omega_0^2 = 0.1 \times 100 = 10\,\text{N/m}$

（1）总能量：

$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.08)^2 = 0.032\,\text{J}$

（2）在 $x = 0.06\,\text{m}$ 处，势能为：

$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.06)^2 = 0.018\,\text{J}$

$E_k = E - E_p = 0.032 - 0.018 = 0.014\,\text{J}$

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.014}{0.1}} = \sqrt{0.28} \approx 0.529\,\text{m/s}$

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阻尼振动

阻尼的作用

现实中振动总会逐渐减弱，这是因为物体运动时受到阻力（空气阻力、摩擦力等）。设阻力与速度成正比：

$F_{\text{阻}} = -b\dot{x}$

其中 $b > 0$ 是阻尼系数。加上恢复力，运动方程变为：

$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$

引入阻尼系数 $\gamma = b/(2m)$ 和固有角频率 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$，方程化为：

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

三种阻尼状态

根据 $\gamma$ 与 $\omega_0$ 的大小关系，振动有三种不同的行为：

在欠阻尼情况下，运动方程的解为：

$x(t) = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_1 t + \varphi)$

其中 $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ 是实际振动的角频率，比固有频率 $\omega_0$ 略小；$A_0 e^{-\gamma t}$ 是随时间指数衰减的振幅包络。

品质因子 $Q$

品质因子（Q 值）定量描述系统的阻尼程度：

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$

$Q$ 值越大，阻尼越小，振动衰减越慢；$Q$ 值越小，阻尼越大，衰减越快。

还可以从能量角度理解 $Q$ 值：$Q = 2\pi \times \dfrac{\text{系统储存的能量}}{\text{每个周期耗散的能量}}$，它反映了系统「维持振动」的效率。

例 3　一个弹簧振子的固有角频率 $\omega_0 = 50\,\text{rad/s}$，阻尼系数 $\gamma = 2\,\text{rad/s}$，求：（1）判断阻尼类型；（2）计算品质因子 $Q$；（3）求实际振动角频率 $\omega_1$。

（1）因为 $\gamma = 2 < \omega_0 = 50$，属于欠阻尼状态。

（2）品质因子：

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{50}{2 \times 2} = 12.5$

（3）实际振动角频率：

$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{50^2 - 2^2} = \sqrt{2496} \approx 49.96\,\text{rad/s}$

实际频率与固有频率几乎相同，说明小阻尼对频率的影响很小。

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受迫振动与共振

受迫振动

若在已有阻尼的弹簧振子上施加一个周期性驱动力：

$F_{\text{驱}} = F_0\cos(\omega t)$

其中 $\omega$ 是驱动力的角频率，$F_0$ 是驱动力幅值。运动方程变为：

$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$

经历一段暂态过程后，系统达到稳定的受迫振动，振动频率等于驱动频率 $\omega$（而非固有频率 $\omega_0$），稳态解为：

$x(t) = A(\omega)\cos(\omega t + \delta)$

稳态振幅为：

$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$

共振

当驱动频率接近固有频率时，振幅 $A(\omega)$ 出现极大值，这种现象称为共振。共振时的驱动频率称为共振频率，约等于：

$\omega_{\text{共振}} \approx \omega_0 \quad (\text{小阻尼时})$

共振时振幅的最大值为：

$A_{\max} \approx \frac{F_0}{2m\gamma\omega_0} = \frac{F_0}{k} \cdot \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{F_0}{k} \cdot Q$

$Q$ 值越大，共振峰越高、越尖锐；$Q$ 值越小，共振峰越矮、越宽。

例 4　某机器的固有角频率 $\omega_0 = 100\,\text{rad/s}$，品质因子 $Q = 5$，受到幅值为 $F_0 = 10\,\text{N}$ 的驱动力作用，机器质量 $m = 2\,\text{kg}$。求共振时的振幅。

由 $Q = \omega_0/(2\gamma)$ 得 $\gamma = \omega_0/(2Q) = 100/10 = 10\,\text{rad/s}$。

共振振幅（$\omega \approx \omega_0$）：

$A_{\max} = \frac{F_0/m}{2\gamma\omega_0} = \frac{10/2}{2 \times 10 \times 100} = \frac{5}{2000} = 0.0025\,\text{m} = 2.5\,\text{mm}$

也可以利用 $k = m\omega_0^2 = 2 \times 10^4\,\text{N/m}$，静态位移 $F_0/k = 10/(2\times10^4) = 5\times10^{-4}\,\text{m}$，放大了 $Q = 5$ 倍，结果一致。

例 5　比较高 $Q$ 值和低 $Q$ 值对频率响应的影响。

频率响应曲线（振幅对驱动频率的图形）中，半高宽 $\Delta\omega \approx 2\gamma = \omega_0/Q$。$Q$ 值高的系统对频率的选择性强，$Q$ 值低的系统响应范围宽但峰值不高。

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练习题

选择题

题目一（简谐振动基本特征）

一弹簧振子做简谐振动，将弹簧的劲度系数变为原来的 4 倍，振动物体的质量不变，则振动周期变为原来的：

A. $4$ 倍

B. $2$ 倍

C. $\dfrac{1}{2}$ 倍

D. $\dfrac{1}{4}$ 倍

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答案：C

周期公式为 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$，$k$ 变为原来的 4 倍时：

$T' = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{2}$

周期变为原来的 $1/2$。

知识点：简谐振动周期与 $\sqrt{1/k}$ 成正比，劲度系数越大，振动越快，周期越短。

题目二（振动能量）

一弹簧振子的振幅从 $A$ 增大到 $2A$，以下说法正确的是：

A. 振动周期变为原来的 $2$ 倍

B. 最大速度变为原来的 $2$ 倍

C. 系统总能量变为原来的 $2$ 倍

D. 最大加速度不变

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答案：B

逐项分析：

A 错误：周期 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ 与振幅无关，不变。

B 正确：最大速度 $v_{\max} = A\omega_0$，振幅变为 $2A$，最大速度变为 $2A\omega_0 = 2v_{\max}$，变为原来的 2 倍。

C 错误：总能量 $E = \frac{1}{2}kA^2$，振幅变为 $2A$ 时，$E' = \frac{1}{2}k(2A)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}kA^2 = 4E$，变为原来的 4 倍。

D 错误：最大加速度 $a_{\max} = A\omega_0^2$，振幅增大为 $2A$ 时，最大加速度也变为原来的 2 倍。

知识点：简谐振动的等时性（周期与振幅无关），能量与振幅平方成正比。

题目三（阻尼振动与品质因子）

关于阻尼振动，以下说法正确的是：

A. 过阻尼振动比临界阻尼振动更快回到平衡位置

B. 品质因子 $Q$ 越大，表示阻尼越大

C. 欠阻尼振动的实际频率低于固有频率 $\omega_0$

D. 临界阻尼振动会在平衡位置附近来回振荡

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答案：C

欠阻尼振动的实际角频率为 $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} < \omega_0$，因此实际频率确实低于固有频率。

A 错误：临界阻尼是回到平衡最快的状态，过阻尼反而更慢。B 错误：$Q = \omega_0/(2\gamma)$，$Q$ 越大说明 $\gamma$ 越小，即阻尼越小。D 错误：临界阻尼是恰好不振荡的临界状态。

知识点：阻尼使实际振动频率降低；临界阻尼是最快回到平衡的状态；$Q$ 值反映的是「阻尼小」而非「阻尼大」。

题目四（共振现象）

一系统在驱动力频率 $\omega = \omega_0$ 时发生共振，共振振幅约为静态位移的 $Q$ 倍。若将阻尼增大（$\gamma$ 增大），以下描述正确的是：

A. 共振频率升高

B. 共振峰变得更高更尖锐

C. 共振峰变得更矮更宽

D. 系统不再发生共振

显示答案

答案：C

阻尼增大（$\gamma$ 增大）时，$Q = \omega_0/(2\gamma)$ 减小。

共振振幅 $A_{\max} \propto Q$，故振幅降低，峰变矮；共振峰宽度 $\Delta\omega \approx 2\gamma$ 增大，故峰变宽。

A 错误：共振频率 $\omega_{\text{共振}} \approx \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$，阻尼增大时略微降低而非升高。D 错误：只要系统是欠阻尼（$\gamma < \omega_0$），就会发生共振，阻尼增大不会消除共振，只是降低共振峰高度。

知识点：$Q$ 值同时决定共振峰的高度和尖锐程度，$Q$ 越大峰越高越尖，$Q$ 越小峰越矮越宽。

计算题

题目五（简谐振动的综合分析）

一质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的物体悬挂在劲度系数 $k = 50\,\text{N/m}$ 的弹簧下端，在竖直方向做简谐振动。初始时刻物体偏离平衡位置 $x_0 = 0.04\,\text{m}$，初速度 $v_0 = 0.6\,\text{m/s}$（向下为正）。

（1）求固有角频率 $\omega_0$ 和振动周期 $T$；

（2）求振幅 $A$；

（3）求系统总能量 $E$；

（4）求物体到达平衡位置时的速度大小。

显示答案

解：

（1） 固有角频率和周期：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10\,\text{rad/s}$

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{10} \approx 0.628\,\text{s}$

（2） 振幅由初始条件确定。初始时刻 $t = 0$：

$x(0) = A\cos\varphi = x_0 = 0.04\,\text{m}$ $v(0) = -A\omega_0\sin\varphi = v_0 = 0.6\,\text{m/s}$

利用能量方法更简便：

$E = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.6)^2 + \frac{1}{2} \times 50 \times (0.04)^2$

$= 0.09 + 0.04 = 0.13\,\text{J}$

由 $E = \frac{1}{2}kA^2$：

$A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.13}{50}} = \sqrt{0.0052} \approx 0.0721\,\text{m} \approx 7.21\,\text{cm}$

（3） 总能量已在（2）中求出：

$E = 0.13\,\text{J}$

（4） 平衡位置处势能为零，动能等于总能量：

$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = E \implies v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.13}{0.5}} = \sqrt{0.52} \approx 0.721\,\text{m/s}$

也可利用 $v_{\max} = A\omega_0 = 0.0721 \times 10 = 0.721\,\text{m/s}$，结果一致。

题目六（阻尼振动与受迫振动）

一摆的固有频率 $f_0 = 2\,\text{Hz}$（即 $\omega_0 = 4\pi\,\text{rad/s}$），品质因子 $Q = 20$。

（1）求阻尼系数 $\gamma$；

（2）求欠阻尼振动的实际角频率 $\omega_1$（精确到小数点后三位）；

（3）施加一幅值 $F_0 = 0.5\,\text{N}$、频率等于固有频率的驱动力，已知摆的等效质量 $m = 0.1\,\text{kg}$，求共振时的振幅；

（4）若将驱动频率调至 $\omega = 2\omega_0$，估算此时的振幅（与共振振幅相比）。

显示答案

解：

（1） 由品质因子定义 $Q = \omega_0/(2\gamma)$：

$\gamma = \frac{\omega_0}{2Q} = \frac{4\pi}{2 \times 20} = \frac{4\pi}{40} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314\,\text{rad/s}$

（2） 实际振动角频率：

$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{(4\pi)^2 - \left(\frac{\pi}{10}\right)^2} = \pi\sqrt{16 - 0.01} = \pi\sqrt{15.99}$

$\omega_1 \approx \pi \times 3.999 \approx 12.563\,\text{rad/s}$

而 $\omega_0 = 4\pi \approx 12.566\,\text{rad/s}$，两者几乎相同，差异不到 $0.02\%$，说明小阻尼（大 $Q$ 值）时实际频率几乎不受影响。

（3） 等效劲度系数 $k = m\omega_0^2 = 0.1 \times (4\pi)^2 = 0.1 \times 16\pi^2 \approx 15.79\,\text{N/m}$。

静态位移 $x_{\text{静}} = F_0/k = 0.5/15.79 \approx 0.0317\,\text{m}$。

共振振幅（驱动频率 $= \omega_0$）：

$A_{\max} = Q \cdot \frac{F_0}{k} = 20 \times 0.0317 \approx 0.634\,\text{m}$

或直接使用公式：

$A_{\max} = \frac{F_0/m}{2\gamma\omega_0} = \frac{0.5/0.1}{2 \times 0.314 \times 4\pi} = \frac{5}{7.90} \approx 0.633\,\text{m}$

（4） 当 $\omega = 2\omega_0$ 时，将 $\omega = 2\omega_0$ 代入振幅公式，分母中：

$(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 = (\omega_0^2 - 4\omega_0^2)^2 + 4\gamma^2 \cdot 4\omega_0^2$ $= 9\omega_0^4 + 16\gamma^2\omega_0^2$

由于 $\gamma \ll \omega_0$（$Q = 20$），$16\gamma^2\omega_0^2 \ll 9\omega_0^4$，可近似：

$A(2\omega_0) \approx \frac{F_0/m}{3\omega_0^2} = \frac{F_0}{3m\omega_0^2} = \frac{F_0}{3k} = \frac{x_{\text{静}}}{3} \approx \frac{0.0317}{3} \approx 0.0106\,\text{m}$

共振振幅约 $0.633\,\text{m}$，驱动频率为 $2\omega_0$ 时振幅约 $0.011\,\text{m}$，仅为共振时的约 $1/60$。可见共振的选频效果非常显著，偏离固有频率时振幅急剧下降。