刚体运动与角动量守恒

刚体绕固定轴转动的规律、转动惯量和角动量的基本概念已在前面学习过。现在将视野进一步拓展——当转动轴本身也可以改变方向时，角速度和角动量都成为真正的矢量。理解角速度的矢量性质、掌握角动量守恒的条件与应用，是分析陀螺仪、花样滑冰、行星自转等众多实际问题的基础。

角速度的矢量性质

用标量 $\omega$ 描述刚体绕固定轴旋转的快慢，只是一种简化。实际上，角速度是一个矢量 $\vec{\omega}$，它不仅有大小，还有方向。

方向的确定——右手定则

用右手四指弯向旋转的方向，大拇指伸直所指的方向，就是角速度矢量 $\vec{\omega}$ 的方向。

一个在竖直平面内旋转的轮子，从正面看为逆时针方向，角速度 $\vec{\omega}$ 指向正前方（垂直纸面向外）；若改为顺时针旋转，则 $\vec{\omega}$ 指向背面（垂直纸面向里）。

线速度与角速度的关系

对于刚体上某一质点，若其相对转轴的位置矢量为 $\vec{r}$，则该质点的线速度为：

$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

叉积的结果垂直于 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{r}$ 所在平面，大小为 $v=\omega$，其中 为 与 的夹角。对于质点在垂直于轴的平面内运动的情形，，退化为熟悉的 。

例 1　一个圆盘以 $\omega = 5\,\text{rad/s}$ 绕水平轴（$x$ 轴正方向）旋转，盘上某质点距轴 $r = 0.2\,\text{m}$，求该质点的线速度大小。

$v = \omega r = 5 \times 0.2 = 1\,\text{m/s}$

速度方向垂直于 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{r}$ 所确定的平面，沿切线方向。

角动量守恒定律

角动量定理的矢量形式

对于绕固定轴转动的刚体，角动量为 $\vec{L} = I\vec{\omega}$，方向与 $\vec{\omega}$ 一致，大小为 。角动量定理的完整矢量形式为：

$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$

合外力矩等于角动量对时间的变化率。

守恒条件

当合外力矩 $\vec{\tau}_{\text{合}} = \vec{0}$ 时，，即：

$\vec{L} = I\vec{\omega} = \text{常矢量}$

这就是角动量守恒定律：若系统所受合外力矩为零，系统的总角动量（大小和方向）保持不变。

转动惯量改变时的角速度变化

一个孤立旋转系统，合外力矩为零，但转动惯量 $I$ 可以因形状改变而变化。由 $L = I\omega = \text{常数}$：

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

例 2　花样滑冰运动员以 $\omega_1 = 2\,\text{rad/s}$ 旋转，此时转动惯量 $I_1 = 4\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$。她收拢双臂后转动惯量变为 ，求收臂后的角速度。

$\omega_2 = \frac{I_1\omega_1}{I_2} = \frac{4 \times 2}{1} = 8\,\text{rad/s}$

收拢双臂后，转速增大为原来的 4 倍。

例 3　一个质量 $M = 80\,\text{kg}$、半径 $R = 2\,\text{m}$ 的圆形转台（$I_{\text{台}} = \frac{1}{2}MR^2$）在水平面上绕竖直中心轴自由旋转，初始角速度 。一个质量 的人从转台中心走到边缘，求此时转台的角速度。

初始：仅转台旋转，$L_0 = I_{\text{台}}\omega_0 = \frac{1}{2} \times 80 \times 4 \times 1 = 160\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

人走到边缘后，系统总转动惯量为：

$I = I_{\text{台}} + mR^2 = 160 + 10 \times 4 = 200\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$\omega = \frac{L_0}{I} = \frac{160}{200} = 0.8\,\text{rad/s}$

人远离轴心，系统 $I$ 增大，角速度相应减小。

绕固定点转动的角动量

• 质点的角动量

对于一个质点，相对某固定点 $O$ 的角动量定义为：

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$

其中 $\vec{r}$ 是从 $O$ 到质点的位置矢量，$\vec{p} = m\vec{v}$ 是质点的动量。叉积的大小为：

$L = mvr\sin\phi$

其中 $\phi$ 是 $\vec{r}$ 与 $\vec{v}$ 的夹角。若从参考点向速度所在直线作垂线，垂线长度为 （称为力臂或垂直距离），则：

$L = mvd$

例 4　一颗质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的小球以速度 $v = 6\,\text{m/s}$ 做匀速圆周运动，轨道半径 $R = 2\,\text{m}$，求小球对圆心 $O$ 的角动量大小。

做圆周运动时，速度方向始终与半径垂直，即 $\phi = 90°$，$d = R$：

$L = mvR = 0.5 \times 6 \times 2 = 6\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

• 刚体绕对称轴转动的角动量

对于绕通过质心的对称轴旋转的刚体（如圆柱、圆盘），所有质元的角动量都平行于转轴，总角动量为：

$\vec{L} = I\vec{\omega}$

这个简化公式只对对称轴成立。对于不对称物体绕非对称轴转动，角动量方向一般不与 $\vec{\omega}$ 平行，分析难度大幅增加（超出当前范围）。

例 5　一个质量 $m = 2\,\text{kg}$、半径 $R = 0.5\,\text{m}$ 的均匀圆盘绕其中心轴以 $\omega = 10\,\text{rad/s}$ 旋转，求其角动量。

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 = 0.25\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$L = I\omega = 0.25 \times 10 = 2.5\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

陀螺仪与进动

进动现象

一个快速旋转的陀螺在重力作用下并不直接倒下，而是绕竖直轴缓慢旋转，这种现象叫做进动。自行车轮、飞机导航用的陀螺仪，以及地球自转轴绕黄道轴的长周期旋转，都属于进动现象。

进动的物理原理

陀螺的角动量 $\vec{L} = I\vec{\omega}$ 沿自转轴方向。重力 $mg$ 在支点处产生力矩 ，方向水平，且垂直于当前的 。由角动量定理：

$d\vec{L} = \vec{\tau}\,dt$

由于 $\vec{\tau}$ 始终垂直于 $\vec{L}$，$d\vec{L}$ 是一个水平的微小矢量——加到 上后， 的大小不变，方向水平偏转。这就是进动的几何本质：角动量矢量末端在水平圆上匀速转动。

进动角速度的推导

设陀螺质心到支点的距离为 $r$，重力力矩大小 $\tau = mgr$，自转角动量大小 $L = I\omega$。在极短时间 $dt$ 内，$\vec{L}$ 的末端在水平圆上转过弧长 ，对应转角：

$d\phi = \frac{|d\vec{L}|}{L} = \frac{\tau\,dt}{L}$

进动角速度：

$\Omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{\tau}{L} = \frac{mgr}{I\omega}$

自转越快（$\omega$ 越大），进动越慢（$\Omega$ 越小）——这正是旋转物体稳定性的来源。

例 6　一个陀螺，转动惯量 $I = 5 \times 10^{-4}\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$，质量 $m = 0.1\,\text{kg}$，质心到支点距离 ，自转角速度 ，取 ，求进动角速度。

$\tau = mgr = 0.1 \times 10 \times 0.05 = 0.05\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

$L = I\omega = 5 \times 10^{-4} \times 200 = 0.1\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

$\Omega = \frac{\tau}{L} = \frac{0.05}{0.1} = 0.5\,\text{rad/s}$

陀螺每秒自转约 $31.8$ 圈，却每秒仅进动 $0.5\,\text{rad}$（约 $28.6°$），进动远慢于自转。

练习题

选择题

题目一（角速度矢量方向）

一个圆形飞轮在竖直平面内旋转，从正面看为逆时针方向，飞轮轴沿水平方向。以垂直纸面向外为 $z$ 轴正方向，飞轮的角速度矢量 $\vec{\omega}$ 的方向为：

A. 竖直向上

B. 水平向右

C. 垂直纸面向外（$+z$ 方向）

D. 垂直纸面向里（$-z$ 方向）

题目二（角动量守恒）

一名花样滑冰运动员在冰面上以角速度 $\omega_1$ 旋转，转动惯量为 $I_1$。她将双臂收拢，使转动惯量变为 $\dfrac{I_1}{4}$，则她收臂后的角速度为：

A. $\dfrac{\omega_1}{4}$

B. $2\omega_1$

C. $4\omega_1$

D. $16\omega_1$

题目三（进动角速度）

一个陀螺的自转角速度增大为原来的 2 倍，其他条件（质量、尺寸、支点位置）均不变，则陀螺的进动角速度变为原来的：

A. 2 倍

B. $\dfrac{1}{2}$ 倍

C. 4 倍

D. 不变

题目四（质点角动量）

质量 $m = 0.2\,\text{kg}$ 的质点以速度 $v = 5\,\text{m/s}$ 做匀速直线运动，运动轨迹到固定参考点 $O$ 的垂直距离为 $d = 3\,\text{m}$，则质点对点 $O$ 的角动量大小为：

A. $1\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

B. $3\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

C. $0.3\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

D. $15\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

计算题

题目五（角动量守恒综合应用）

一个质量 $M = 60\,\text{kg}$、半径 $R = 1.5\,\text{m}$ 的均匀圆形转台（可绕竖直中心轴自由旋转，$I_{\text{台}} = \dfrac{1}{2}MR^2$）初始静止。一个质量 的人突然从转台边缘沿切线方向以相对地面 的速度跑开。

（1）求此时转台的角速度 $\omega$；

（2）求转台旋转方向与人奔跑方向之间的关系；

（3）若人从转台边缘向内走到距轴 $r = 0.5\,\text{m}$ 处（此时人与转台相对静止），求系统的角速度。

题目六（陀螺进动计算）

一个均匀圆盘形陀螺，质量 $m = 0.2\,\text{kg}$，半径 $R = 0.1\,\text{m}$，自转轴为圆盘对称轴，质心到支点的距离 $r = 0.08\,\text{m}$，自转角速度 $\omega = 500\,\text{rad/s}$，取 。

（1）求陀螺自转角动量的大小；

（2）求重力对支点产生的力矩大小；

（3）求进动角速度 $\Omega$；

（4）若自转角速度减半，进动角速度变为多少？

知识点：合外力矩为零时角动量守恒，$I$ 减小为原来的 $\dfrac{1}{4}$，$\omega$ 增大为原来的 4 倍。

知识点：进动角速度与自转角速度成反比，自转越快，进动越慢。

知识点：质点角动量 $L = mvr\sin\phi = mvd$，其中 $d$ 是速度方向所在直线到参考点的垂直距离。

转台转动惯量：

$I_{\text{台}} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 60 \times (1.5)^2 = 67.5\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

由角动量守恒（总角动量始终为零）：

$L_{\text{人}} - I_{\text{台}}\omega = 0$

$\omega = \frac{L_{\text{人}}}{I_{\text{台}}} = \frac{90}{67.5} = \frac{4}{3} \approx 1.33\,\text{rad/s}$

（2） 人跑开的方向与转台旋转方向相反（角动量守恒，人与台的角动量方向相反，总和为零）。

（3） 人走到距轴 $r = 0.5\,\text{m}$ 处（人视为质点），系统总角动量仍等于人跑开后的值 $L = 90\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$。

此时系统总转动惯量：

$I_{\text{总}} = I_{\text{台}} + mr^2 = 67.5 + 30 \times (0.5)^2 = 67.5 + 7.5 = 75\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$\omega' = \frac{L}{I_{\text{总}}} = \frac{90}{75} = 1.2\,\text{rad/s}$

人向轴心走近，系统 $I$ 减小，角速度略有增大。

自转角动量：

$L = I\omega = 1.0 \times 10^{-3} \times 500 = 0.5\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

（2） 重力矩：

$\tau = mgr = 0.2 \times 10 \times 0.08 = 0.16\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

（3） 进动角速度：

$\Omega = \frac{\tau}{L} = \frac{0.16}{0.5} = 0.32\,\text{rad/s}$

陀螺每秒自转约 $79.6$ 圈，进动角速度仅约 $0.32\,\text{rad/s}$，合每秒转过约 $18.3°$。

（4） 自转角速度减半：$\omega' = 250\,\text{rad/s}$

$L' = I\omega' = 1.0 \times 10^{-3} \times 250 = 0.25\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

$\Omega' = \frac{\tau}{L'} = \frac{0.16}{0.25} = 0.64\,\text{rad/s}$

自转变慢一半，进动变快一倍，符合 $\Omega \propto \dfrac{1}{\omega}$ 的反比关系。