角动量与定轴转动

转动是自然界中极为普遍的运动形式。门绕合页转动、飞轮高速旋转、车轮沿地面滚动——这些现象背后都遵循着与平动力学完全对应的规律。力矩驱动转动，正如力驱动平动；转动惯量衡量转动的“惰性”，正如质量衡量平动的惰性；角动量是转动状态的量度，正如动量是平动状态的量度。掌握这套对应关系，就能系统地分析各种转动问题。

力矩

推开一扇门时，手施加的力越大、距合页越远，门越容易转动。这说明力对转动的效果，不仅取决于力的大小，还取决于力的作用点到转轴的距离，以及力的方向。这个描述力对转动影响的物理量，称为力矩（Torque）。

对于作用在质点上大小为 $F$、方向与位移矢量夹角为 $\theta$ 的力，相对于转轴的力矩定义为：

$\tau = rF\sin\theta$

其中 $r$ 是质点到转轴的距离，$\theta$ 是力 $\vec{F}$ 与位置矢量 $\vec{r}$ 的夹角。力矩的矢量形式为：

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

力矩的单位是 $\text{N}{\cdot}\text{m}$（牛·米）。力矩为正表示使物体逆时针转动（通常取逆时针为正方向），为负表示使物体顺时针转动。

例 1　用 $F = 20\,\text{N}$ 的力垂直推门，力的作用点距合页 $r = 0.8\,\text{m}$，求力矩。

$\tau = rF\sin 90° = 0.8 \times 20 \times 1 = 16\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

例 2　同样的力 $F = 20\,\text{N}$，但方向与门面夹角 $\theta = 30°$（即与位置矢量夹角为 $60°$），力矩为：

$\tau = rF\sin 60° = 0.8 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.9\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

同样的力，斜推时效果比垂直推差，因为有一部分力沿半径方向，对转动没有贡献。

角动量的定义与角动量定理

描述平动状态用动量 $\vec{p} = m\vec{v}$，描述转动状态则用角动量。对于质量为 $$、位置矢量为 、速度为 的质点，相对于参考点的角动量定义为：

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$

对于绕固定轴转动的质点（$\vec{r}$ 与 $\vec{v}$ 垂直），角动量大小为：

$L = rmv = mr^2\omega$

角动量的单位是 $\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$，方向由右手定则确定。

对角动量求时间导数，可以得到角动量定理：

$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$

合外力矩等于角动量对时间的变化率——这与牛顿第二定律 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ 在形式上完全对应。

例 3　质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的小球以角速度 $\omega = 4\,\text{rad/s}$ 在半径 $r = 1.5\,\text{m}$ 的圆周上匀速转动，求小球对圆心的角动量。

$v = r\omega = 1.5 \times 4 = 6\,\text{m/s}$

$L = mrv = 0.5 \times 1.5 \times 6 = 4.5\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2/\text{s}$

转动惯量

在平动中，质量越大，加速同样的速度越难——质量是平动惯性的量度。在转动中，相同的力矩下，有些物体转得快，有些转得慢，这种转动的“惰性”由转动惯量（Moment of Inertia）描述。

对于离散质量系统，转动惯量定义为：

$I = \sum_i m_i r_i^2$

对于连续分布的刚体，则为：

$I = \int r^2\,dm$

其中 $r_i$（或 $r$）是各质量元到转轴的垂直距离。转动惯量的单位是 $\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$。

下图列出几种常见均匀刚体绕特定轴的转动惯量：

例 4　两个质量均为 $m = 1\,\text{kg}$、相距 $2L = 0.6\,\text{m}$ 的小球，用轻杆连接，绕中点轴旋转，求系统转动惯量。

两球相距 $0.6\,\text{m}$，每个球到中点（转轴）的距离 $r = 0.3\,\text{m}$：

$I = mr^2 + mr^2 = 2 \times 1 \times (0.3)^2 = 0.18\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

平行轴定理

有时需要计算刚体绕非质心轴的转动惯量。平行轴定理给出了一个简便的计算方法：若已知刚体绕过质心轴的转动惯量 $I_c$，则绕与其平行且相距 $d$ 的轴的转动惯量为：

$I = I_c + Md^2$

其中 $M$ 是刚体总质量，$d$ 是两平行轴之间的距离。

例 5　均匀细杆质量 $M = 2\,\text{kg}$、长 $L = 1\,\text{m}$，绕过质心的轴转动惯量为 $I_c = \frac{1}{12}ML^2$。求绕过端点的平行轴的转动惯量。

$I_c = \frac{1}{12} \times 2 \times 1^2 = \frac{1}{6}\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

端点到质心距离 $d = L/2 = 0.5\,\text{m}$：

$I = I_c + Md^2 = \frac{1}{6} + 2 \times (0.5)^2 = \frac{1}{6} + 0.5 \approx 0.667\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

验证：从定义出发，$I_{\text{端}} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 2 \times 1 = \frac{2}{3}\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2 \approx 0.667\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$ ✓

转动动力学方程

将合外力矩与角加速度联系起来，就得到转动中的“牛顿第二定律”——转动动力学方程：

$\tau = I\alpha$

合外力矩 $\tau$ 等于转动惯量 $I$ 与角加速度 $\alpha$ 的乘积。这与平动的 $F = ma$ 完全对应：

• 空心圆环的质量全部集中在距离旋转中心最远的边缘处，因此具有最大的转动惯量$I = mr^2$，最难被加速。

• 实心圆盘的质量从中心到边缘均匀分布，大量质量点靠近中心，因此转动惯量只有空心圆环的一半$I = \frac{1}{2}mr^2$，相对容易被加速。

例 6　一个转动惯量 $I = 2\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$ 的飞轮，受到合力矩 $\tau = 6\,\text{N}{\cdot}\text{m}$，初始角速度 $\omega_0 = 0$，求 后的角速度。

$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{6}{2} = 3\,\text{rad/s}^2$

$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 3 \times 4 = 12\,\text{rad/s}$

例 7　质量 $M = 10\,\text{kg}$、半径 $R = 0.5\,\text{m}$ 的实心圆盘，绕中心轴转动。在边缘施加切向力 $F = 20\,\text{N}$，求角加速度。

$I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 1.25\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$\tau = FR = 20 \times 0.5 = 10\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{10}{1.25} = 8\,\text{rad/s}^2$

物理摆与单摆

将刚体悬挂在某一固定点，使其在重力作用下摆动，这种装置称为物理摆（Physical Pendulum）。设刚体质量为 $M$，悬挂点到质心的距离为 $l$，绕悬挂点的转动惯量为 $I$，偏角为 $\theta$。

在小角度近似（$\sin\theta \approx \theta$，$\theta$ 约小于 $15°$）下，恢复力矩为：

$\tau = -Mgl\sin\theta \approx -Mgl\theta$

由转动动力学方程得到角运动方程：

$I\ddot{\theta} = -Mgl\theta$

这是简谐振动方程，角频率 $\omega_0 = \sqrt{Mgl/I}$，周期为：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgl}}$

单摆是物理摆的特例：质量全部集中在摆长 $l$ 的末端（可视为质点），绕悬挂点的转动惯量为 $I = ml^2$，代入物理摆公式：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{ml^2}{mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

单摆周期只与摆长和重力加速度有关，与摆球质量无关——这正是伽利略发现的结论。

例 8　摆长 $l = 1\,\text{m}$ 的单摆，$g = 9.8\,\text{m/s}^2$，求其振动周期。

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}} \approx 2\pi \times 0.319 \approx 2.0\,\text{s}$

例 9　一根均匀细杆，质量 $M = 1\,\text{kg}$，长 $L = 0.6\,\text{m}$，绕顶端轴摆动（相当于一个物理摆，$l = L/2 = 0.3\,\text{m}$，$I=\frac{}{}$），求周期。

$I = \frac{1}{3} \times 1 \times (0.6)^2 = 0.12\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.12}{1 \times 9.8 \times 0.3}} \approx 2\pi\sqrt{0.0408} \approx 1.27\,\text{s}$

平动与转动的合运动——滚动

圆柱体、圆球沿地面滚动时，既有平动（质心向前移动）又有转动（绕质心轴旋转）。纯滚动（无滑动的滚动）满足约束条件：

$v_c = R\omega$

其中 $v_c$ 是质心速度，$R$ 是半径，$\omega$ 是角速度。

纯滚动物体的总动能等于质心平动动能与绕质心转动动能之和：

$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2$

利用 $v_c = R\omega$ 代入：

$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\frac{v_c^2}{R^2} = \frac{1}{2}\left(M + \frac{I_c}{R^2}\right)v_c^2$

例 10　质量 $M = 2\,\text{kg}$、半径 $R = 0.1\,\text{m}$ 的实心圆柱以 $v_c = 3\,\text{m/s}$ 在平面上纯滚动，求总动能。

$I_c = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.01\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$

$\omega = \frac{v_c}{R} = \frac{3}{0.1} = 30\,\text{rad/s}$

$E_k = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 0.01 \times 30^2 = 9 + 4.5 = 13.5\,\text{J}$

其中平动动能占 $9/13.5 \approx 67\%$，转动动能占 $33\%$。

例 11　实心球从高 $h = 2\,\text{m}$ 的斜面顶端由静止开始纯滚动到底部（忽略摩擦做功），求底部质心速度。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。

实心球 $I_c = \frac{2}{5}MR^2$，由机械能守恒：

$Mgh = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}MR^2 \cdot \frac{v_c^2}{R^2} = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{5}Mv_c^2 = \frac{7}{10}Mv_c^2$

$v_c = \sqrt{\frac{10gh}{7}} = \sqrt{\frac{10 \times 10 \times 2}{7}} \approx \sqrt{28.6} \approx 5.35\,\text{m/s}$

相比纯平动（$v = \sqrt{2gh} \approx 6.32\,\text{m/s}$），滚动物体速度更小——因为一部分势能转化为转动动能。

练习题

选择题

题目一（力矩计算）

用大小为 $F = 30\,\text{N}$ 的力推一扇门，作用点距转轴 $r = 0.6\,\text{m}$，力的方向与位置矢量夹角为 $\theta = 30°$，该力产生的力矩大小为：

A. $18\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

B. $9\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

C. $15.6\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

D. $10.4\,\text{N}{\cdot}\text{m}$

题目二（转动动力学方程）

一个转动惯量 $I = 3\,\text{kg}{\cdot}\text{m}^2$ 的轮子，受到合力矩 $\tau = 12\,\text{N}{\cdot}\text{m}$ 的作用，从静止开始转动，经过 $t = 2\,\text{s}$ 后的角速度为：

A. $4\,\text{rad/s}$

B. $6\,\text{rad/s}$

C. $8\,\text{rad/s}$

D. $18\,\text{rad/s}$

题目三（单摆周期）

将一单摆的摆长增加为原来的 4 倍，其振动周期变为原来的：

A. 4 倍

B. 2 倍

C. $\sqrt{2}$ 倍

D. $\dfrac{1}{2}$ 倍

题目四（纯滚动动能）

质量 $M = 4\,\text{kg}$、半径 $R = 0.2\,\text{m}$ 的薄圆环（$I_c = MR^2$）以质心速度 纯滚动，其总动能为：

A. $8\,\text{J}$

B. $16\,\text{J}$

C. $4\,\text{J}$

D. $12\,\text{J}$

计算题

题目五（转动动力学综合）

一个均匀实心圆盘，质量 $M = 5\,\text{kg}$，半径 $R = 0.4\,\text{m}$，绕中心轴自由转动。在圆盘边缘缠绕一根细绳，绳的另一端挂一质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的重物（忽略绳的质量和轴承摩擦）。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求系统的角加速度；

（2）求重物下降 $h = 1.6\,\text{m}$ 后的速度。

题目六（物理摆与能量）

一根均匀细杆，质量 $M = 1.5\,\text{kg}$，长 $L = 1.2\,\text{m}$，悬挂在顶端可绕水平轴自由摆动（视为物理摆）。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求细杆在小角度下的振动周期；

（2）若将细杆从水平位置（与竖直方向成 $90°$）由静止释放，求它摆到最低点时质心的速度。

知识点：力矩公式 $\tau = rF\sin\theta$，$\theta$ 是 $\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 的夹角，当力不垂直于位置矢量时，有效力臂只取垂直分量。

$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 4 \times 2 = 8\,\text{rad/s}$

知识点：转动动力学方程 $\tau = I\alpha$，与平动的 $F = ma$ 完全类比，求出角加速度后再用运动学公式求角速度。

$T' = 2\pi\sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \times 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2T$

周期正比于摆长的平方根，摆长变为 4 倍，周期变为 $\sqrt{4} = 2$ 倍。

知识点：单摆周期公式，周期与摆长的平方根成正比，与摆球质量无关。

转动动能：$\omega = v_c/R = 10\,\text{rad/s}$，$E_{k2} = \dfrac{1}{2}I_c\omega^2 = \dfrac{1}{2} \times MR^2 \times \omega^2 = \dfrac{1}{2} \times 4 \times (0.2)^2 \times 100 = 8\,\text{J}$

总动能：$E_k = 8 + 8 = 16\,\text{J}$

知识点：纯滚动物体的总动能 $= \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2$，薄圆环的转动惯量 $I_c = MR^2$，转动动能与平动动能相等，总动能为平动动能的 2 倍。

对圆盘（转动方程，$I = \frac{1}{2}MR^2$）：

$TR = I\alpha = \frac{1}{2}MR^2 \cdot \frac{a}{R} = \frac{1}{2}MRa$

$T = \frac{1}{2}Ma \quad \cdots (2)$

将 (2) 代入 (1)：

$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$

$a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}M} = \frac{2 \times 10}{2 + \frac{1}{2} \times 5} = \frac{20}{4.5} \approx 4.44\,\text{m/s}^2$

$\alpha = \frac{a}{R} = \frac{4.44}{0.4} \approx 11.1\,\text{rad/s}^2$

（2） 重物从静止下降 $h = 1.6\,\text{m}$，用运动学公式（$v^2 = 2ah$）：

$v = \sqrt{2ah} = \sqrt{2 \times 4.44 \times 1.6} = \sqrt{14.2} \approx 3.77\,\text{m/s}$

验证（用能量守恒）：$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}MR^2 \cdot \frac{v^2}{R^2}$

$2 \times 10 \times 1.6 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 + \frac{1}{4} \times 5 \times v^2 = \frac{9}{4}v^2$

$v = \sqrt{\frac{32 \times 4}{9}} = \sqrt{\frac{128}{9}} \approx 3.77\,\text{m/s}$ ✓

质心到悬挂点距离：$l = L/2 = 0.6\,\text{m}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.72}{1.5 \times 10 \times 0.6}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.72}{9}} = 2\pi\sqrt{0.08} \approx 2\pi \times 0.283 \approx 1.78\,\text{s}$

（2） 从水平位置（质心高于最低点 $l = 0.6\,\text{m}$）由静止释放，由机械能守恒：

势能转化为转动动能：

$Mgl = \frac{1}{2}I\omega^2$

$\omega = \sqrt{\frac{2Mgl}{I}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.5 \times 10 \times 0.6}{0.72}} = \sqrt{\frac{18}{0.72}} = \sqrt{25} = 5\,\text{rad/s}$

质心速度（质心距轴 $l = 0.6\,\text{m}$）：

$v_c = l\omega = 0.6 \times 5 = 3\,\text{m/s}$