牛顿运动定律及其基本应用

本章只处理“一个物体在已知几种力作用下会怎样运动”这一层问题：牛顿第一、第二、第三定律，惯性与质量，探究加速度与力、质量的关系，单位制，以及水平面、斜面、电梯等基本应用。图像、临界极值和复杂连接体模型会在后两章单独处理。

一、先卡在车厢里：明明没推你，身体为什么会往前冲？

公交车原本平稳行驶，忽然刹车。脚跟着车厢慢下来，身体却像还想往前走；车刚起步时，又会觉得自己向后“陷”进座椅。你可能会把这种感觉归结为“车在推人”或“有一种把人甩出去的力”。可先停一下：车刹车时，身体前冲的那一瞬间，真正需要解释的是——为什么车已经慢了，身体却不肯立刻慢下来？

如果没有座椅、扶手或脚底的摩擦力，车速改变后，人的身体会尽量维持原有的运动状态。不是运动需要力来“续航”，而是速度要改变时，才需要有力介入。这个想法和日常直觉有点拧：地面上的滑板总会慢下来，是因为摩擦和空气阻力一直在捣乱；把这些影响尽量减小，物体保持原运动状态的倾向才会显露出来。

这就是伽利略理想实验留下的关键问题：把阻力逐步减小后，运动到底会自己停下，还是会一直保持？牛顿把答案压缩成了第一定律。它不是凭空猜出的口号，而是对大量现象和实验推理的总结。

二、从三件看似普通的事，长出三条定律

1. 惯性：不是“静止才有”，而是所有物体都有

牛顿第一定律说：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。现实中很难找到完全不受力的物体，所以这是一条在理想条件下揭示本质的规律；它告诉我们，合外力为零时，加速度为零，物体可以静止，也可以一直做匀速直线运动。

物体保持原来运动状态的性质叫作惯性。注意，惯性不是一种额外的力，也不是“速度大就惯性大”。一辆停在路边的卡车和一辆同样质量、正在行驶的卡车，惯性一样大；它们都不愿意被轻易改变运动状态。高中阶段用质量衡量惯性的大小：质量越大，在相同合外力下越难获得明显的加速度。

2. 第二定律：把“改得多快”算出来

同一只空购物车和装满货物的购物车，用差不多的力推，哪一辆更容易提速？答案并不只靠感觉。保持质量不变时，合外力越大，加速度越大；保持合外力不变时，质量越大，加速度越小。把两个关系合在一起，便得到牛顿第二定律：

这里的 $\sum\vec F$ 是物体所受所有外力的矢量和，不是把每个力的大小随手相加；$m$ 是物体的质量；$\vec a$ 与合外力同向。它回答的是“力为什么会改变运动状态”，而不是说力沿着速度方向才起作用。刹车时，合力常与速度反向，车仍在向前运动，却在减速；转弯时，合力还可能与速度垂直。

实验不是把公式摆上去再“验证一下”。研究 $a$ 与 $F$ 的关系时，要让小车质量保持不变，只改变合外力；研究 $a$ 与 $m$ 的关系时，要让合外力保持不变，只改变研究对象的总质量。第二组数据若画 $a$—$m$ 图像，通常是一条曲线；改画 $a$—$1/m$ 图像，才方便看出正比例关系。控制变量法在这里不是形式，而是在防止两个因素同时变动、让结论失去归属。

以“小车—纸带—悬挂砝码”为例，先在不挂牵引砝码时微调木板倾角，使小车拖着纸带能近似匀速运动，这一步是在平衡阻力。细线不可伸长且保持绷紧时，悬挂砝码与小车的加速度大小本就相等；若要把悬挂砝码的重力近似看作小车所受合外力，还必须让悬挂砝码的质量远小于小车和车载砝码的总质量，使系统加速度满足 $a\ll g$。对悬挂砝码有 $mg-T=ma$，即 $T=m(g-a)\approx mg$，这才是该近似的依据。若直接用弹簧测力计或力传感器读出小车所受拉力，则应以实际读数作为 $F$，不再依赖这项重力近似。

在国际单位制中，力的单位是牛顿，记作 $\mathrm N$。由 $F=ma$ 可得：

力学里最常用的基本单位是米（$\mathrm m$）、千克（$\mathrm{kg}$）和秒（$\mathrm s$）。牛顿、焦耳、帕斯卡这类单位都可由基本单位推导出来。单位不是计算结尾才补上的标签：若把质量误写成克、把加速度误写成厘米每二次方秒，数值即使“算对”也已经换了问题。

3. 第三定律：两只手从来不会只出现一只

两位穿轮滑鞋的同学面对面互推，松手后两人都向后滑开。你可能会说：“力气大的那位推力更大。”这正是容易卡住的地方。两人相互作用时，甲对乙的力与乙对甲的力总是大小相等、方向相反、作用在同一直线上，并且同时产生、同时消失。这就是牛顿第三定律。

它们为什么不会抵消？因为这一对力分别作用在不同物体上。甲受到的力改变甲的运动，乙受到的力改变乙的运动；质量不同，两人的加速度当然可以不同。书压桌面时，书对桌面的压力和桌面对书的支持力是一对作用力与反作用力；而书自身受到的重力和支持力若恰好平衡，才是作用在同一物体上的两力。

三、把最容易错的地方钉住：先画受力图，再谈运动

面对一个物体，最容易发生的错误往往不是列方程，而是把根本不存在的力画了上去，或漏掉真正存在的力。一个稳妥的起点是：先选研究对象；只画施加在它身上的力；再选正方向，把每个力沿正方向和垂直正方向分解，最后才写 $\sum F=ma$。

例如，水平面上的箱子向右滑动，若拉力也向右，滑动摩擦力就向左；竖直方向没有加速度时，支持力与重力平衡，但水平方向仍可有合力。注意，这是个陷阱：摩擦力的方向总是阻碍相对运动或相对运动趋势，不是机械地“永远与速度相反”。本章只处理物体已经滑动时的基本情形；静摩擦的具体大小需由平衡或动力学方程决定，不能一上来就套 $f=\mu N$。

斜面问题同样如此。若滑块正沿倾角为 $\theta$ 的粗糙斜面下滑，取沿斜面向下为正，重力的分力为 $mg\sin\theta$，支持力为 $N=mg\cos\theta$，滑动摩擦力为 $f=\mu N$、方向沿斜面向上，于是

这个结果有自己的前提：物体确实在向下滑动，接触面只有所给的滑动摩擦，且没有额外拉力。若算得 $a<0$，意思是加速度实际向上，滑块仍可能向下运动但在减速；它不自动说明“摩擦力方向该反过来”。方向要由相对运动先判断，不能由算出的正负事后改写。

两条路都要会走：由力找运动，或由运动倒找力

牛顿第二定律像一座桥。一头是受力情况，另一头是运动情况。已知各力时，先求合外力，用 $\sum F=ma$ 得到加速度，再结合前面学过的运动学关系求速度、位移或时间；已知运动情况时，则先从速度、位移和时间中求出加速度，再由 $\sum F=ma$ 倒推出合外力，最后才判断未知拉力、摩擦力或支持力。

举个只走一步的例子：质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的滑块在光滑水平面上从静止开始受 $6\ \mathrm N$ 水平恒力作用。这里“光滑”意味着水平方向没有摩擦力，合外力就是 $6\ \mathrm N$，所以 $a=3\ \mathrm{m\,s^{-2}}$。若接着问 $2\ \mathrm s$ 后速度，才再用 $v=v_0+at$ 得 $v=6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$。把动力学方程和运动学方程一股脑儿写在第一行，常会把“力决定加速度”这条因果链弄丢。

电梯里“变重”了，重力真的变了吗？

站上体重计，电梯刚向上启动时读数变大；向上运行却减速时，读数反而变小。重力 $mg$ 并没有因为楼层变化而突然改写，变化的是人对秤的压力，或秤对人的支持力 $N$。取竖直向上为正方向，有

加速度向上，$N>mg$，读数偏大，叫超重；加速度向下，$N<mg$，读数偏小，叫失重。匀速上行、匀速下行和静止时 $a=0$，读数都等于平时的值。完全失重时 $N=0$，比如自由下落的瞬间；这绝不等于重力消失了，而是支持作用消失了。

四、轮到你先判断：别急着算，先把一句话翻译成物理量

小问题一： 一只质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的箱子在光滑水平面上受到 $10\ \mathrm N$ 水平拉力。有人说“箱子已经在向右运动，所以加速度一定小于 $5\ \mathrm{m\,s^{-2}}$”。你同意吗？

小问题二： 电梯正在向上运行，但速度越来越小。体重计示数偏大还是偏小？别只抓住“向上”两个字，真正决定支持力变化的是哪一个量？

小问题三： 你用手推墙，墙也推你。若墙纹丝不动，这对力是否因为“没有产生运动”而不存在？

先把答案按住。三题分别在试探三个习惯：把速度和加速度混在一起；只看运动方向、不看加速度方向；把作用力与反作用力误当成“必须让物体动起来”的力。下面再回头核对。

五、答案揭晓：把过程放回高考复习的坐标里

第一题中，合外力为 $10\ \mathrm N$，所以 $a=F/m=5\ \mathrm{m\,s^{-2}}$，与箱子此刻速度大小无关。速度描述“现在怎样运动”，加速度描述“速度正在怎样变”；把两者混为一谈，是计算题中常见的失分起点。

第二题的加速度方向向下。取向上为正，$a<0$，故 $N=mg+ma<mg$，示数偏小，处于失重状态。高考题常把“上行减速”包装得很像超重，阅卷真正看的是方程中的加速度方向；先定正方向再判断正负，就不容易被运动方向带偏。

第三题中，两力始终存在：手对墙的推力和墙对手的推力是第三定律的一对力。墙不动并不表示它没有受力，而是墙连同地面等构成的系统受力与约束更复杂。答案中若把这对力写成“互相抵消”，会因两力不在同一物体上而失去关键依据。

六、门已经打开：下一章为什么不只看一张图？

到这里，你已经能用受力图和牛顿第二定律处理一个物体的基础问题。但更棘手的题往往会换一种提问：力或速度怎样随时间变？刚要离开地面、刚好不断绳、刚好不打滑时，哪个条件先触发？下一章会把今天的受力方程接到 $v$—$t$、$a$—$t$ 等图像上，再专门讨论临界与极值。先别急着背“临界公式”——能够稳定画出受力图，才是看懂图像变化的底盘。

课后练习：先做判断，再打开核对

5．质量为 $4\ \mathrm{kg}$ 的物体受水平合外力 $12\ \mathrm N$ 作用。求加速度的大小和方向。

6．一木箱正沿粗糙水平面向右滑动，受到一个向右的拉力。请画出木箱受力图，并说明滑动摩擦力方向。

7．质量为 $m$ 的滑块正沿倾角为 $\theta$ 的粗糙斜面向下滑，动摩擦因数为 $\mu$。求其加速度。

8．电梯向下加速时，站在体重计上的人处于超重还是失重状态？重力是否改变？

9．用小车、纸带和钩码探究加速度与力、质量的关系时，为什么研究 $a$ 与质量关系常作 $a$—$1/m$ 图像？

10．两名同学穿着轮滑鞋互相推开。甲质量较大，为什么两人受到的推力大小仍相等，而加速度大小不同？

本章收束

牛顿第一定律让我们从“力维持运动”的直觉里走出来；第二定律把合外力、质量和加速度连成可计算的关系；第三定律提醒我们，相互作用的两只“手”永远同时伸出，却落在不同物体上。以后遇到动力学题，先问“研究谁、它受哪些真实的力、哪个方向为正”，再写方程。算完后还要回头看方向、单位和极端情形：合力为零时是否回到 $a=0$，摩擦力方向是否真的阻碍相对运动，电梯加速度方向是否和示数判断一致。最后别漏写研究对象：同一组力换了研究对象，方程和结论都可能随之改变。把这几步做稳，后面的图像、临界和复杂模型才有可靠的落脚点。