质点与质点系的基本原理

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质点是力学中最基础的抽象模型。当一个物体的形状和大小对所研究的问题影响极小、可以忽略时，就把它看作一个只有质量、没有大小的点。这种简化让复杂的真实运动变得可以用数学精确描述。从单个质点出发，再扩展到由多个质点组成的系统，是理论力学的基本研究路径。

质点的运动方程

牛顿第二定律是质点动力学的基础。设质点的质量为 $m$ ，位置矢量为 $\boldsymbol{r}$ ，所受合力为 $\boldsymbol{F}$ ，则运动方程为：

\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a} = m\ddot{\boldsymbol{r}}

其中 $\boldsymbol{a} = \ddot{\boldsymbol{r}}$ 是加速度，双点表示对时间的二阶导数。这个方程揭示了一个核心关系：力决定加速度，加速度决定运动状态如何随时间变化。

在直角坐标系中，将上式分解为三个独立方向的分量方程：

F_x = m\ddot{x},\quad F_y = m\ddot{y},\quad F_z = m\ddot{z}

求解运动方程，本质上就是根据已知的力 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t)$ 对时间积分，得出质点的运动轨迹 $\boldsymbol{r}(t)$ 。

例一：弹簧振子

将质量为 $m$ 的小滑块连在弹簧上，弹簧劲度系数为 $k$ ，以平衡位置为原点。弹力 $F = -kx$ ，代入运动方程：

m\ddot{x} = -kx \implies \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0

令 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ （单位： $\mathrm{rad/s}$ ），方程的通解为：

x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)

其中 $A$ 为振幅（单位： $\mathrm{m}$ ）， $\varphi$ 为初相位， $\omega_0$ 称为固有角频率。这描述了一个以 $\omega_0$ 为频率的简谐振动。

例二：平抛运动

质量为 $m$ 的质点以初速度 $v_0$ 水平抛出，取水平方向为 $x$ 轴、竖直向下为 $y$ 轴，忽略空气阻力。水平方向无力，竖直方向受重力 $mg$ ：

m\ddot{x} = 0,\quad m\ddot{y} = mg

对时间积分，利用初始条件 $x(0)=0$ 、 $\dot{x}(0)=v_0$ 、 $y(0)=0$ 、，得：

x = v_0 t,\quad y = \frac{1}{2}gt^2

消去 $t$ ，轨迹方程为 $y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$ ，这正是一条抛物线。

动量定理

定义质点的动量为：

\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}

牛顿第二定律改写为动量的形式：

\boldsymbol{F} = \frac{d\boldsymbol{p}}{dt}

这说明合力等于动量对时间的变化率。对时间从 $t_1$ 到 $t_2$ 积分，得到冲量-动量定理：

\int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}\,dt = \boldsymbol{p}(t_2) - \boldsymbol{p}(t_1) = \Delta\boldsymbol{p}

左边的积分 $\boldsymbol{I} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}\,dt$ 称为冲量（单位：），右边是动量的增量。

当系统所受合外力为零时，质点的动量保持不变，即 $\boldsymbol{p} = \text{常矢量}$ 。这就是动量守恒定律，是自然界中最普遍的守恒定律之一。

例三：碰撞问题

两个小球发生正碰，碰撞时间极短，外力（如重力）的冲量可忽略。设碰前速度分别为 $v_1$ 、 $v_2$ ，碰后为 $v_1'$ 、，由动量守恒：

m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'

对于完全非弹性碰撞（碰后合为一体）， $v_1' = v_2' = v'$ ，则：

v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

这个结果可以直接由动量守恒给出，无需了解碰撞过程的细节。

角动量定理

定义质点相对固定点 $O$ 的角动量（也称动量矩）为：

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v}

对时间求导，利用运动方程：

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \dot{\boldsymbol{r}} \times m\boldsymbol{v} + \boldsymbol{r} \times m\dot{\boldsymbol{v}} = \boldsymbol{v} \times m\boldsymbol{v} + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}

由于 $\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ ，故：

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \equiv \boldsymbol{M}

其中 $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$ 称为力对点 $O$ 的力矩，单位为 $\mathrm{N \cdot m}$ 。角动量定理表明：角动量对时间的变化率等于合力矩。

当合力矩为零时，角动量守恒，即 $\boldsymbol{L} = \text{常矢量}$ 。行星绕太阳运动时，引力始终指向太阳（有心力），力矩为零，因此行星角动量守恒——这正是开普勒第二定律（等面积定律）的根本原因。

例四：行星绕太阳运动

设行星质量为 $m$ ，位置矢量为 $\boldsymbol{r}$ 。太阳对行星的引力沿 $\boldsymbol{r}$ 方向，即 $\boldsymbol{F} = F(r)\hat{\boldsymbol{r}}$ ，因此：

\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times F(r)\hat{\boldsymbol{r}} = F(r)\,(\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{r}}) = \boldsymbol{0}

角动量 $\boldsymbol{L}$ 为常矢量，方向固定，说明行星的运动始终在同一平面内。在时间 $dt$ 内，行星扫过的面积微元为：

dA = \frac{1}{2}|\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}| = \frac{|\boldsymbol{L}|}{2m}dt

由于 $|\boldsymbol{L}|$ 为常数， $dA/dt$ 是常数，即单位时间扫过的面积相等，这正是开普勒第二定律。

功与能定理

功的定义为力沿路径的线积分：

W = \int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_2} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}

动能定义为：

T = \frac{1}{2}mv^2

动能定理表明：合力对质点做的功等于动能的增量：

W = T_2 - T_1 = \Delta T

当力 $\boldsymbol{F}$ 可以表示为某个标量函数 $V(\boldsymbol{r})$ 的负梯度时，称该力为保守力：

\boldsymbol{F} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{z}\right)

$V$ 称为势能（位能），单位为 $\mathrm{J}$ 。此时力做的功只与起止位置有关，与路径无关：

W = -(V_2 - V_1) = V_1 - V_2

结合动能定理，得到机械能守恒定律：

T_1 + V_1 = T_2 + V_2 = E = \text{常数}

下图列出了几种常见力及其对应势能的形式：

例五：弹簧释放问题

弹簧劲度系数 $k = 200\,\mathrm{N/m}$ ，将质量 $m = 0.5\,\mathrm{kg}$ 的滑块从平衡位置压缩 $x_0 = 0.1\,\mathrm{m}$ ，然后释放。求滑块通过平衡位置时的速度。

由机械能守恒，初始时动能为零，弹性势能为 $V_0 = \dfrac{1}{2}kx_0^2$ ；通过平衡位置时势能为零，全部转化为动能：

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx_0^2 \implies v = x_0\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1\times\sqrt{\frac{200}{0.5}} = 0.1\times 20 = 2\,\mathrm{m/s}

质点系的质心运动

由 $N$ 个质点组成的系统称为质点系。定义质点系的质心位置为：

\boldsymbol{R} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \boldsymbol{r}_i}{M},\quad M = \sum_{i=1}^{N} m_i

其中 $M$ 为系统总质量。

对质点系中的任意一个质点，所受的力分为两类：

力的类别	含义	记号
外力	系统之外的物体对该质点的作用力	$\boldsymbol{F}_i^{(e)}$
内力	系统内其他质点对该质点的作用力	$\boldsymbol{f}_{ij}$ （第 $j$ 个质点对第个的力）

由牛顿第三定律，内力总是成对出现： $\boldsymbol{f}_{ij} = -\boldsymbol{f}_{ji}$ ，所以系统内所有内力之和为零：

\sum_{i}\sum_{j \neq i} \boldsymbol{f}_{ij} = \boldsymbol{0}

对整个质点系的运动方程求和，内力相消，只剩合外力，得到质心运动定理：

M\ddot{\boldsymbol{R}} = \boldsymbol{F}^{(e)}, \quad \boldsymbol{F}^{(e)} = \sum_i \boldsymbol{F}_i^{(e)}

质心运动定理的物理含义是：质点系的质心运动，就像一个具有总质量 $M$ 、受到合外力 $\boldsymbol{F}^{(e)}$ 作用的单质点一样。内力不影响质心的运动，只影响系统内各质点的相对运动。

例六：两人在冰面上互推

两人站在光滑冰面上，质量分别为 $m_1 = 60\,\mathrm{kg}$ 、 $m_2 = 80\,\mathrm{kg}$ ，初始静止。两人互推后，获得速度（向右）。由于冰面光滑，合外力（水平方向）为零，系统动量守恒：

0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies v_2 = -\frac{m_1 v_1}{m_2} = -\frac{60 \times 2}{80} = -1.5\,\mathrm{m/s}

负号表示 $m_2$ 向左运动。互推的力是内力，不影响质心（两人初始静止，质心始终静止）。

约束的概念

在实际问题中，质点的运动往往受到某种几何或运动学限制，这种限制称为约束。约束使得系统的独立坐标数减少。

完整约束（holonomic constraint）：约束方程只涉及坐标和时间，形如：

f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \ldots, t) = 0

非完整约束（non-holonomic constraint）：约束方程中含有不可积分的速度项，无法化为纯坐标关系。

系统的独立坐标数称为自由度。对于有 $N$ 个质点、受到 $k$ 个完整约束的系统，自由度为：

s = 3N - k

可以选取 $s$ 个独立变量 $q_1, q_2, \ldots, q_s$ 描述系统的构型，这些变量称为广义坐标。

约束施加于质点的力称为约束力（如绳子的张力、支持面的法向力），主动力是除约束力之外的其他力（如重力、弹力）。对于理想约束，约束力总是垂直于约束面或约束允许的运动方向，因此在虚位移下做的功为零。

达朗贝尔原理与虚功原理

虚位移与虚功原理

虚位移 $\delta\boldsymbol{r}_i$ 是在约束条件允许的范围内，质点在某一固定时刻可能发生的无穷小位移（时间不变）。它是一种分析工具，用于推导系统的平衡条件或运动方程。

对于处于静力平衡的系统，每个质点所受合力为零。在理想约束条件下，约束力在虚位移下做的虚功为零，因此所有主动力做的虚功之和满足：

\sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \delta\boldsymbol{r}_i = 0

这就是静力学的虚功原理：系统处于平衡的充要条件是所有主动力的虚功之和为零。

达朗贝尔原理

对于运动中的质点系，将牛顿第二定律改写为：

(\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{N}_i) - m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i = \boldsymbol{0}

将 $-m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i$ 视为一个附加的”惯性力“，在理想约束条件下约束力 $\boldsymbol{N}_i$ 的虚功为零，故：

\sum_i (\boldsymbol{F}_i - m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i)\cdot\delta\boldsymbol{r}_i = 0

这就是达朗贝尔原理。

达朗贝尔原理的核心价值在于：将动力学问题转化为”广义静力学“问题来处理。引入惯性力后，每个质点在形式上处于”平衡“，从而可以直接用虚功原理建立方程。这是推导拉格朗日方程的重要出发点。

例七：单摆方程的推导

质量为 $m$ 、摆长为 $l$ 的单摆，摆角为 $\theta$ 。取沿切线方向的虚位移 $\delta\boldsymbol{r}$ ，大小为 $l\,\delta\theta$ 。绳子张力沿径向，与切向虚位移垂直，虚功为零。重力在切向的分量为 $-mg\sin\theta$ （取增大方向为正），加速度切向分量为。由达朗贝尔原理：

(-mg\sin\theta - ml\ddot{\theta})\cdot l\,\delta\theta = 0

由于 $\delta\theta$ 为任意量，系数必须为零：

ml\ddot{\theta} + mg\sin\theta = 0 \implies \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

这就是单摆的精确运动方程。小角度近似 $\sin\theta \approx \theta$ 时，简化为简谐振动，固有角频率 $\omega_0 = \sqrt{g/l}$ 。

摆长 $l\,(\mathrm{m})$	固有角频率 $\omega_0\,(\mathrm{rad/s})$	周期 $T\,(\mathrm{s})$
0.25	6.26	1.00
1.00	3.13	2.01
4.00

练习题

1. 一个质点做匀速圆周运动，以下说法正确的是：

A. 质点的动量保持不变

B. 质点所受合力为零

C. 质点对圆心的角动量保持不变

D. 质点的动能随时间不断变化

答案：C

分析：匀速圆周运动的速率不变，动能 $T = \dfrac{1}{2}mv^2$ 保持不变，故 D 错误。速度方向持续改变，动量 $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$ 方向随之改变，故 A 错误。向心力不为零（合力指向圆心），故 B 错误。角动量大小中，、、均不变，且向心力方向沿，力矩为零，因此角动量守恒，故 C 正确。

2. 关于质点系的质心运动定理，下列说法正确的是：

A. 内力对质心的加速度有贡献

B. 质心的加速度由合外力唯一决定

C. 只要合外力不为零，质心必定做匀加速直线运动

D. 合外力为零时，质心必定静止

答案：B

分析：质心运动定理 $M\ddot{\boldsymbol{R}} = \boldsymbol{F}^{(e)}$ ，内力在对系统求和时相互抵消，不影响质心加速度，排除 A。合外力不为零时质心有加速度，但方向可以随时间改变（如匀速圆周运动受到向心力），不一定是直线运动，排除 C。合外力为零时质心速度不变（可以匀速运动），不一定静止，排除 D。故 B 正确。

3. 下列哪种情形属于完整约束？

A. 在水平面上做纯滚动的圆盘（速度与角速度有约束关系）

B. 两端固定于刚性杆上的两个质点（杆长不变）

C. 冰刀在冰面上滑行（速度方向垂直于刀刃方向）

D. A 和 C 都属于完整约束

答案：B

分析：完整约束的特征是约束方程可以写成 $f(\boldsymbol{r}_i, t) = 0$ 的纯坐标（和时间）关系。刚性杆两端质点间距固定，约束为 $|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2| = l$ ，只含坐标，属于完整约束。纯滚动的约束含有速度，不可积分为纯坐标关系，属于非完整约束。冰刀的速度方向约束同样含速度项且不可积，也是非完整约束。故选 B。

4. 达朗贝尔原理中引入”惯性力“的作用是：

A. 将保守力转化为势能，简化计算

B. 用来抵消约束力，消除约束的影响

C. 将动力学方程转化为形式上的静力学平衡方程，便于用虚功原理处理

D. 证明内力不影响系统的整体运动

答案：C

分析：达朗贝尔原理将 $\boldsymbol{F}_i - m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i = \boldsymbol{0}$ 理解为：主动力加上惯性力加上约束力，合力为零，即质点处于“广义平衡”。这样就可以直接套用静力学的虚功原理，得到动力学方程，是分析力学建立方程的重要工具。

5. 一质量为 $m = 2\,\mathrm{kg}$ 的质点做半径 $r = 0.5\,\mathrm{m}$ 的匀速圆周运动，角速度 $\omega = 4\,\mathrm{rad/s}$ 。求：（一）质点速度的大小；（二）质点的动能；（三）质点对圆心的角动量大小；（四）维持圆周运动所需的向心力大小。

解：

（一）速度大小：

v = \omega r = 4 \times 0.5 = 2\,\mathrm{m/s}

（二）动能：

T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2^2 = 4\,\mathrm{J}

6. 一个质量 $m = 0.1\,\mathrm{kg}$ 的小球悬挂在弹簧下端，弹簧劲度系数 $k = 10\,\mathrm{N/m}$ 。以平衡位置为原点，将小球向下拉 $A = 0.05\,\mathrm{m}$ 后由静止释放，做简谐振动。求：（一）振动的固有角频率 $\omega_0$ 和周期；（二）小球经过平衡位置时的速度大小；（三）小球在距平衡位置处的速度大小。

解：

（一）固有角频率和周期：

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = 10\,\mathrm{rad/s}

m_{1}

m_1

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