激光物理与量子光学

光是人类最熟悉的物理现象之一。从蜡烛的火焰到太阳的辐射，自然界中的光都来自原子在能级跃迁时自发放出的光子。然而在20世纪60年代，人类第一次制造出了与自然光本质不同的光——激光。激光不是普通光的增强版本，它的产生依赖一个在量子力学建立初期就被爱因斯坦预言、但当时几乎无人重视的物理过程：受激辐射。正是这个过程，让数以亿计的光子步调一致、相位相同地向同一方向传播，产生了亮度超过太阳表面千亿倍的相干光束。

激光的发明在短短几十年内彻底改变了工业、医学、通信和科学研究的面貌。与此同时，量子光学的发展揭示了光子之间可以存在一种奇异的关联——量子纠缠——并由此催生了量子密码通信等全新技术方向。

原子能级与光的辐射

理解激光必须从原子的能级结构开始。根据量子力学，原子的内部能量不是连续变化的，而是只能取一系列离散的确定值，每个值称为一个能级。原子通常处于能量最低的基态，在外界激发下可以跃迁到能量更高的激发态。

当原子从高能级 $E_2$ 向低能级 $E_1$ 跃迁时，多余的能量以光子的形式释放出来。光子的频率 $\nu$ 满足：

$h\nu = E_2 - E_1$

其中 $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J}{\cdot}\text{s}$ 是普朗克常量。这个关系称为频率条件，它决定了每对能级只能辐射特定频率（特定颜色）的光，这也是原子发射光谱为何只有分立谱线的根本原因。

反过来，处于低能级的原子可以吸收一个频率满足上述关系的光子，跃迁到高能级，称为受激吸收。下表对比了三种基本的光与原子相互作用过程：

受激辐射是三者中最特殊的：一个入射光子触发了一个处于高能级的原子发射光子，得到的新光子与入射光子在频率、相位、传播方向上完全一致。这相当于对光信号进行了一次精确的复制和放大。

爱因斯坦系数

1917年，爱因斯坦从热力学平衡的角度出发，对上述三个过程进行了精确的数学描述，引入了三个关键系数：

• 自发辐射系数 $A_{21}$：单位时间内处于激发态 $E_2$ 的原子自发跃迁到 $E_1$ 的概率。原子在激发态停留的平均时间（自然寿命）为 $$。

爱因斯坦推导出这三个系数之间存在严格的关联关系。对于能级简并度相等的情况：

$B_{12} = B_{21}$

$A_{21} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} B_{21}$

第二个关系式揭示了一个重要规律：自发辐射系数与受激辐射系数的比值正比于 $\nu^3$。频率越高（波长越短），自发辐射相对于受激辐射越占主导。这就是为什么制造 X 射线激光器远比制造红外激光器困难——高频光子在激发态停留时间极短，远在受激辐射充分发生之前，原子就已自发辐射了。

粒子数反转：激光放大的前提

在热平衡状态下，原子按玻尔兹曼分布分布在各能级：温度越高，处于高能级的原子数越多，但在任意有限温度下，高能级的粒子数 $N_2$ 始终小于低能级的粒子数 $N_1$：

$\frac{N_2}{N_1} = e^{-(E_2-E_1)/(k_BT)}$

其中 $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\text{J/K}$ 是玻尔兹曼常量，$T$ 是绝对温度。以可见光能量（约 $2\,\text{eV}$）为例，在室温（）下：

$\frac{N_2}{N_1} = e^{-2\times 1.6\times 10^{-19}/(1.38\times10^{-23}\times300)} \approx e^{-77} \approx 10^{-34}$

这意味着在热平衡下，高能级上几乎没有原子。光通过这样的介质时，受激吸收远大于受激辐射，光只会被衰减，不会被放大。

要让受激辐射超过受激吸收，使光在通过介质时得到净放大，必须将高能级的粒子数做到大于低能级，即实现 $N_2 > N_1$，这一状态称为粒子数反转（Population Inversion）。

粒子数反转是违背热平衡的非平衡态，必须持续向系统输入能量才能维持。这个输入能量的过程称为泵浦（Pumping）。

在三能级系统中，泵浦将原子从基态 $E_1$ 激发到高能级 $E_3$，原子在 $E_3$ 上迅速（通过非辐射跃迁）弛豫到中间亚稳态 ${}_{}$（寿命较长，可达毫秒量级），在 上积累大量粒子，从而在 之间实现粒子数反转。

四能级系统效率更高，是目前大多数固体激光器采用的方案。

激光的三要素

任何一台激光器，无论结构多么复杂，都由三个核心要素构成：增益介质、泵浦源和谐振腔。

增益介质

增益介质（Gain Medium）是实现粒子数反转和受激辐射放大的工作物质。它决定了激光的波长，以及可达到的增益大小。

泵浦源

泵浦源（Pump Source）负责将能量输入增益介质，将原子从基态激发到高能级，维持粒子数反转。不同激光器采用不同的泵浦方式：

固体激光器通常使用光泵浦，用高亮度的氙气闪光灯或另一台激光器照射增益介质，使原子大量吸收光子；气体激光器则通常使用放电泵浦，通过高压放电产生的电子碰撞激发气体原子；半导体激光器采用电注入泵浦，通过 P-N 结注入电流直接产生粒子数反转。

谐振腔

谐振腔（Resonator/Optical Cavity）通常由两面相对的反射镜构成，其作用是让光子在增益介质中来回反射、反复通过，每次经过都被受激辐射放大，从而把光能积累到足够高的水平。两面反射镜中，一面是全反射镜（反射率接近 $100\%$），另一面是部分反射镜（反射率通常 $95\%{\sim}99\%$），让一小部分光从这一侧透射出去，形成激光输出。

谐振腔的另一个关键作用是模式选择：只有满足腔内驻波条件的特定频率才能稳定振荡。对于腔长为 $L$ 的谐振腔，满足驻波条件的频率为：

$\nu_m = m \cdot \frac{c}{2L} \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)$

其中 $m$ 为正整数，称为纵模阶数。两个相邻纵模之间的频率间隔称为自由光谱范围：

$\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2L}$

以腔长 $L = 30\,\text{cm}$ 为例，自由光谱范围为 $\Delta\nu_{\text{FSR}} = 3\times10^8/(2\times0.30) = 5\times10^8\,\text{Hz} = 500\,\text{MHz}$。通过在腔内插入标准具（etalon）等选模元件，可以将激光的线宽压缩到极窄，实现极高的单色性。

激光的特性

与普通光源（白炽灯、LED）相比，激光具有四项本质上不同的特性：单色性、相干性、方向性和高亮度。

单色性

普通光源辐射的谱线有一定宽度，即使是钠灯这种“准单色”光源，其谱线宽度也在 $10^9\,\text{Hz}$ 量级，对应波长展宽约 $\Delta\lambda \approx 10^{-3}\,\text{nm}$。稳频激光器的线宽可以压缩到 $1\,\text{Hz}$ 以下，与中心频率（约 $$）之比不足 。这种极高的单色性使激光成为精密测量的理想光源。

相干性

相干性描述了光波在不同时间和空间点之间的相位关联程度。激光的相干长度可达数千千米（稳频激光器），而普通白炽灯的相干长度仅约 $1\,\mu\text{m}$。高相干性使激光能够产生清晰的干涉和衍射图案，这是全息摄影、光纤通信和激光干涉引力波探测的基础。

方向性

受激辐射产生的光子与触发光子方向完全相同，再经谐振腔反复筛选，使激光输出光束的发散角极小。高质量激光束的发散半角可达 $10^{-4}\,\text{rad}$ 量级，满足衍射极限：

$\theta_{\min} \approx \frac{\lambda}{\pi w_0}$

其中 $w_0$ 是光束腰半径。以 He-Ne 激光器为例，$\lambda = 632.8\,\text{nm}$，$w_0 = 0.5\,\text{mm}$，发散半角约 ，传播 后光斑半径仅约 。这种方向性使激光测距、激光雷达和月球测距成为可能。

高亮度

亮度（Brightness）定义为单位面积、单位立体角内的辐射功率，单位为 $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{sr}^{-1}$。激光集中了所有功率到极小的立体角内，亮度远超任何普通光源。

一台 $1\,\text{mW}$ 的 He-Ne 激光器，其亮度约为 $10^9\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{sr}^{-1}$，超过太阳表面亮度（约 ）约100倍。而脉冲激光的峰值功率可达 （）量级，瞬时亮度更高出普通光源许多个数量级。

光子纠缠：量子关联的核心

量子光学不仅研究光的产生和放大，还深入探讨光的量子本质。其中最令人惊奇的现象之一是量子纠缠（Quantum Entanglement）。

当两个光子通过某种物理过程同时产生（例如一个光子在特殊晶体中发生参量下转换，分裂为两个频率各为原频率一半的光子），这两个光子的量子态将形成不可分割的整体，称为纠缠态。

以偏振纠缠光子对为例，若两个光子处于下列纠缠态：

$|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H\rangle_1|V\rangle_2 - |V\rangle_1|H\rangle_2\right)$

其中 $|H\rangle$ 表示水平偏振，$|V\rangle$ 表示垂直偏振。在测量前，两个光子都没有确定的偏振方向；一旦对光子1测量得到水平偏振（$H$），光子2立即坍缩为垂直偏振（$V$），无论两者相距多远。

这种关联不能用经典物理解释为“出发时就各自携带了隐变量”——贝尔不等式的实验检验（1972年由克劳泽首次完成，2015年由代尔夫特大学完成无漏洞检验）证明了量子纠缠的非定域性是真实存在的。

量子密钥分发

量子纠缠和量子测量的不可克隆性为信息安全提供了一种全新的保护手段：量子密钥分发（Quantum Key Distribution，QKD）。

BB84 协议

1984年，本内特（Bennett）和布拉萨德（Brassard）提出了第一个 QKD 协议，称为 BB84 协议。其核心思想是利用量子态的测量不可避免地干扰原态这一特性，让任何窃听行为都留下可检测的痕迹。

BB84 协议的工作流程如下：发送方（习惯上称爱丽丝）随机选择四种量子态之一发送单个光子：$|0°\rangle$、$|90°\rangle$（直线基）或 $|45°\rangle$、$|135°\rangle$（对角基）；接收方（鲍勃）随机选择两种测量基之一进行测量；双方在公开信道上比对所用的测量基，保留双方碰巧选择了相同基的那些测量结果，丢弃其他结果——留下的结果就构成了一串共同密钥。

安全性的物理根源

QKD 的安全性来自两条量子力学原理：

第一，量子不可克隆定理（No-Cloning Theorem）：未知量子态不能被完美复制。窃听者（夏娃）若要截获光子并转发，必须先测量它，而任何测量都会不可避免地干扰量子态。

第二，测量导致坍缩：光子在测量前处于叠加态，一旦被测量，态就坍缩为确定值。若夏娃选错了测量基，转发的光子携带了错误的信息，会在爱丽丝和鲍勃的比对中引起可统计的错误率升高。

理论证明，若信道中的量子比特错误率（QBER）超过 $11\%$（对于 BB84），则无论窃听者技术多高明，都无法获得足够信息破解密钥。若 QBER 低于此阈值，爱丽丝和鲍勃可以通过纠错和隐私放大从中提取出在信息论意义上绝对安全的密钥。

练习题

选择题

第1题　在热平衡状态下，原子处于各能级的粒子数分布遵循玻尔兹曼分布。以下关于粒子数反转的说法，正确的是：

A. 在足够高的温度下，热平衡态也可以自然出现粒子数反转

B. 对两能级系统持续光泵浦，可以稳定维持 $N_2 > N_1$ 的粒子数反转

C. 粒子数反转必须通过泵浦等方式使系统偏离热平衡态才能实现

D. 粒子数反转只在气体介质中能够实现，固体介质无法实现

第2题　关于爱因斯坦 A、B 系数，以下说法正确的是：

A. 自发辐射系数 $A_{21}$ 越大，原子在激发态的自然寿命越长

B. 受激辐射产生的新光子与触发光子频率、相位和传播方向完全相同

C. 光子频率越高，受激辐射相比自发辐射越占优势

D. 受激吸收系数 $B_{12}$ 总是大于受激辐射系数 $B_{21}$

第3题　一台 He-Ne 激光器的谐振腔腔长为 $L = 30\,\text{cm}$，激光波长约 $\lambda = 632.8\,\text{nm}$。关于该谐振腔，以下说法正确的是：

A. 腔内只存在一个纵模，线宽极窄

B. 相邻两个纵模的频率间隔约为 $500\,\text{MHz}$

C. 腔长越长，相邻纵模间距越大，选模越容易

D. 谐振腔要求腔长必须等于激光波长的整数倍

第4题　关于量子密钥分发（QKD）的安全性，以下说法正确的是：

A. QKD 依赖数学上难以求解的大整数分解问题，与 RSA 加密原理相同

B. 窃听者可以完美复制量子态并转发，因此 QKD 并不能检测窃听

C. 只要信道中的量子比特错误率足够低，就可以在信息论意义上保证密钥安全

D. QKD 产生的密钥传输速率与经典加密完全相同，只是更安全

计算题

第5题　某激光器使用 Nd:YAG 晶体作为增益介质，激光波长 $\lambda = 1064\,\text{nm}$，谐振腔腔长 $L = 20\,\text{cm}$，激光输出功率为 $P = 100\,\text{mW}$。

（1）计算该激光器的激光频率 $\nu$（光速 $c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$）。

（2）计算相邻两个纵模之间的频率间隔 $\Delta\nu_{\text{FSR}}$。

（3）计算该激光器每秒发射的光子数 $n$（普朗克常量 $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J}{\cdot}\text{s}$）。

第6题　在某量子密钥分发（BB84协议）实验中，爱丽丝以单光子光源发送光子，信道传输效率为 $\eta = 0.10$（即每发送10个光子，鲍勃平均能收到1个）。发送速率为 $f = 1 \times 10^6\,\text{s}^{-1}$。

（1）计算鲍勃每秒实际接收到的光子数 $N_{\text{接收}}$。

（2）BB84 协议中，爱丽丝和鲍勃比对测量基后，只保留双方选基相同的比特，比例约为 $50\%$。计算每秒筛选后的原始密钥比特数 $N_{\text{筛选}}$。

（3）设信道中无窃听，量子比特错误率（QBER）为 $2\%$，经纠错和隐私放大后，最终安全密钥的有效比例约为 $1 - 2H(e)$，其中 $H(e) = -e\log_2 e - (1-e)\log_2(1-e)$ 为二进制香农熵， 为 QBER。请估算最终安全密钥的比特率（先计算 ，取 ，）。

B 错：对于两能级系统，当持续泵浦使 $N_2$ 接近 $N_1$ 时，受激辐射和受激吸收速率相等，无法进一步积累粒子，$N_2$ 最多与 $N_1$ 相等。稳定的粒子数反转至少需要三个能级。

C 正确：粒子数反转是违背热平衡的非平衡态，必须持续向系统输入能量（泵浦），才能将高能级粒子数维持在高于低能级的状态。

D 错：固体激光器（如红宝石激光器、Nd:YAG 激光器）是最早实现和最广泛使用的激光器之一，固体增益介质完全可以实现粒子数反转。

D 错：在能级简并度相等时，$B_{12} = B_{21}$，两者相等；当能级简并度不同时，才会有所差异，但并非总是 $B_{12} > B_{21}$。

C 错：腔长越长，相邻纵模间距 $\Delta\nu = c/(2L)$ 越小，单位增益带宽内包含的纵模数越多，反而使选模更难而非更容易。

D 错：驻波条件要求腔长等于半波长的整数倍，即 $L = m \cdot \lambda/2$（$m$ 为正整数），而非波长的整数倍。对于 $\lambda = 632.8\,\text{nm}$，$L = 30\,\text{cm}$ 对应 $m = 2L/\lambda \approx 948400$，腔内有近百万个半波长的驻波。

（2）自由光谱范围（相邻纵模频率间隔）：

$\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2L} = \frac{3.0 \times 10^8}{2 \times 0.20} = \frac{3.0 \times 10^8}{0.40} = 7.5 \times 10^8\,\text{Hz} = 750\,\text{MHz}$

（3）每秒发射光子数：

每个光子的能量为：

$E_{\text{photon}} = h\nu = 6.626 \times 10^{-34} \times 2.82 \times 10^{14} \approx 1.87 \times 10^{-19}\,\text{J}$

激光输出功率为每秒的总能量，因此每秒发射的光子数为：

$n = \frac{P}{E_{\text{photon}}} = \frac{100 \times 10^{-3}}{1.87 \times 10^{-19}} \approx 5.35 \times 10^{17}\,\text{s}^{-1}$

每秒约有 $5.35 \times 10^{17}$ 个光子从激光器射出。这一数量虽然巨大，但每个光子能量远小于宏观能量，说明量子效应在宏观功率下并不明显。

（2）筛选后的原始密钥比特数：

比对测量基后，保留约 $50\%$ 选基相同的比特：

$N_{\text{筛选}} = N_{\text{接收}} \times 50\% = 10^5 \times 0.50 = 5 \times 10^4\,\text{bit/s} = 50\,\text{kbit/s}$

（3）最终安全密钥比特率：

先计算二进制香农熵 $H(0.02)$：

$H(0.02) = -0.02 \times \log_2(0.02) - 0.98 \times \log_2(0.98)$

$= -0.02 \times (-5.64) - 0.98 \times (-0.029)$

$= 0.1128 + 0.02842 \approx 0.141$

有效密钥比例：

$r = 1 - 2H(0.02) = 1 - 2 \times 0.141 = 1 - 0.282 = 0.718$

最终安全密钥比特率：

$R_{\text{安全}} = N_{\text{筛选}} \times r = 5 \times 10^4 \times 0.718 \approx 3.59 \times 10^4\,\text{bit/s} \approx 35.9\,\text{kbit/s}$

在该实验条件下，最终安全密钥生成速率约为 $35.9\,\text{kbit/s}$。若 QBER 升高（例如有窃听），香农熵增大，可用密钥比例下降；当 QBER 超过 $11\%$ 时，$r$ 降至零，无法生成安全密钥。