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激光物理与量子光学
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物理高级物理四广义相对论初步

广义相对论初步

牛顿力学用了两百多年时间成功解释了从苹果落地到行星运动的几乎一切力学现象。然而进入20世纪，爱因斯坦意识到，牛顿的引力理论与他自己刚刚建立的狭义相对论在根本层面存在矛盾：牛顿引力是超距作用，信息传播速度无限快，这与狭义相对论规定的光速上限直接冲突。为了解决这个矛盾，爱因斯坦花费了整整十年时间，于1915年完成了广义相对论。

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这一理论彻底改变了人类对引力本质的认识。在广义相对论中，引力不再是一种力，而是时空弯曲的几何效应——有质量的物体使周围时空发生弯曲，其他物体在弯曲时空中沿最短路径运动，这种运动看起来就像是受到了「引力」的作用。广义相对论预言了黑洞的存在、引力使光线弯曲、引力波的传播，这些预言在一百年间被一一实验证实。

等效原理

广义相对论的出发点是一个思想实验：一个人站在密闭电梯里，感受到了「重力」。他无法判断，这究竟是地球引力拉着他向下，还是电梯正在以某个加速度向上加速，两种情况在物理上完全无法区分。这一深刻认识被爱因斯坦总结为等效原理。

等效原理有两种表述层次：

表述内容适用范围
弱等效原理引力质量与惯性质量严格相等，任何物体在同一引力场中下落加速度相同经典力学中已知
强等效原理在足够小的局部区域内，均匀引力场与匀加速参考系完全等价，所有物理定律的形式相同广义相对论的核心假设

弱等效原理早在伽利略时代就被实验验证：无论轻重，物体在真空中下落的加速度相同，均为 ggg。牛顿曾用摆长相同、摆球材质不同的摆做过精确实验，确认摆的周期与材质无关，从而验证了引力质量与惯性质量之比对各种物质都相同。现代 Eötvös 实验将这一比值的精度验证到了 10−1310^{-13}10−13 量级。

强等效原理则更为深刻。它意味着，在一个自由下落的参考系内（如绕地球运行的空间站），局部区域内的引力效应完全消失，物理规律与没有引力的惯性系完全相同。宇航员在空间站中感受不到重力，正是这一原理的直接体现。

等效原理说明引力与加速度从根本上无法区分，这迫使我们抛弃「引力是一种力」的观念，转而用时空几何来描述引力。正是从这一步出发，爱因斯坦走向了弯曲时空的概念。

等效原理有一个重要推论：引力使光线弯折，也使光的频率发生变化。在一个向上加速的电梯中，从下方发出的光打到上方时，由于上方已经比光发出时运动得更快，接收到的光频率会略低于发出时的频率。由等效原理，均匀引力场中从低处发出的光传到高处时，频率同样会降低——这称为引力红移。

引力红移的公式为：

Δνν=−ghc2\frac{\Delta \nu}{\nu} = -\frac{gh}{c^2}νΔν​=−c2gh​

其中 ggg 是引力加速度，hhh 是高度差，ccc 是光速。1959年，庞德和雷布卡在哈佛大学22.6米高的楼内，用穆斯堡尔效应测量了 γ\gammaγ 射线从底部传到顶部时的频率变化，实验结果与上式预言吻合到1%以内，是等效原理的直接实验验证之一。

弯曲时空的几何图像

要理解弯曲时空，先来看一个二维类比。地球表面是一个曲面，两个人从赤道上相距1000千米的两点同时向正北方向出发，一开始两人的路径是平行的。但走到北极时，两条路径会相交于一点。如果不知道地球是球形的，站在曲面上的人会说：「一定有什么力在把我们向彼此吸引。」然而真相是：他们只是在弯曲曲面上沿测地线（曲面上两点间最短路径）行走，「引力」是曲面弯曲的几何效应。

广义相对论把这个思想推广到四维时空。爱因斯坦的核心方程——爱因斯坦场方程——描述了物质-能量分布如何决定时空的弯曲程度：

Gμν=8πGc4TμνG_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}Gμν​=c48πG​Tμν​

其中 GμνG_{\mu\nu}Gμν​ 是描述时空曲率的爱因斯坦张量，TμνT_{\mu\nu}Tμν​ 是描述物质能量分布的能动量张量，GGG 是牛顿引力常数。这个方程的含义可以用约翰·惠勒的一句话概括：「物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。」

在弱引力、低速的极限下，广义相对论退化为牛顿引力理论，牛顿的万有引力公式 F=GMm/r2F = GMm/r^2F=GMm/r2 是广义相对论的近似。但在强引力或高速情形下，两者给出截然不同的预言。

1919年，英国天文学家爱丁顿趁日全食期间观测了太阳附近恒星的视位置偏移，测得光线偏折角约为 1.75′′1.75''1.75′′，与广义相对论预言完全吻合，与牛顿引力预言的 0.875′′0.875''0.875′′ 截然不同。这一结果使爱因斯坦一夜成名，广义相对论从此获得全球关注。

时空弯曲还会影响时间的流逝速率。在引力场中，引力势越低（越靠近大质量天体），时间流逝越慢，这称为引力时间膨胀。对于地球表面引力场，高度差 hhh 处的时间膨胀为：

Δtt=ghc2\frac{\Delta t}{t} = \frac{gh}{c^2}tΔt​=c2gh​

这个效应虽然极小，却在现实中不可忽视。GPS 卫星轨道高度约 20200 km20200\,\text{km}20200km，引力时间膨胀使卫星上的钟每天快约 45.9 μs45.9\,\mu\text{s}45.9μs，而狭义相对论的速度时间膨胀效应使卫星上的钟每天慢约 7.2 μs7.2\,\mu\text{s}7.2μs，综合修正为每天快约 38.4 μs38.4\,\mu\text{s}38.4μs。若不对 GPS 卫星的原子钟进行广义相对论修正，导航误差将以每天 10 km10\,\text{km}10km 的速度累积。

史瓦西解与黑洞

1915年，爱因斯坦场方程发表后仅数周，德国物理学家卡尔·史瓦西就在第一次世界大战的战壕里给出了球对称质量体外部的精确解——史瓦西解。根据史瓦西解，质量为 MMM 的球对称天体外部时空度规为：

ds2=−(1−rsr)c2 dt2+dr21−rs/r+r2 dΩ2ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2\,dt^2 + \frac{dr^2}{1 - r_s/r} + r^2\,d\Omega^2ds2=−(1−rrs​​)c2dt2+1−rs​/rdr2​+r2dΩ2

其中 rsr_srs​ 是一个特殊半径，称为史瓦西半径（Schwarzschild Radius）：

rs=2GMc2r_s = \frac{2GM}{c^2}rs​=c22GM​

当天体的物理半径大于 rsr_srs​ 时（如地球、太阳），rsr_srs​ 只是一个数学参数，没有特别的物理意义。但若天体的物理半径被压缩到 rsr_srs​ 以内，则在 r=rsr = r_sr=rs​ 处出现一个事件视界（Event Horizon），任何物体和光子一旦越过这个边界，就无法再逃回外部——这就是黑洞。

下表列出了几种天体的史瓦西半径，直观地展示了黑洞形成需要多大的密度：

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事件视界是一个单向膜：外部观测者可以看到物体缓慢接近视界（由于引力时间膨胀，物体看起来无限减速、永远到不了），而物体自身穿越视界时感受不到任何特别之处，但之后再也无法发出任何信号到外部。

黑洞的分类

根据质量大小，天文学家将黑洞分为三类：

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黑洞并不会「吸食」周围所有物质。在远处，黑洞的引力与同等质量普通天体完全相同。若太阳突然变成黑洞（质量不变），地球将继续沿原来的轨道绕行，不会被「吸进去」。黑洞危险的原因在于其极高的密度，而非特殊的「吸力」。

2019年，「事件视界望远镜」（EHT）项目将全球8台射电望远镜联网，拍摄到了室女座星系 M87 中心超大质量黑洞的首张图像。图像中明亮的光环（吸积盘热气体发出的辐射）和中心暗影（事件视界）与广义相对论预言高度吻合，黑洞从理论概念成为可直接观测的天文实体。2022年，EHT进一步拍摄了银河系中心黑洞人马座 A* 的图像。

引力波

广义相对论预言，加速运动的质量会在时空中激起涟漪，以光速向外传播，这就是引力波（Gravitational Wave）。引力波是时空本身的振荡，它经过时会使空间在两个垂直方向上交替拉伸和压缩：一个方向被拉长时，垂直方向被压缩，就像一块橡皮泥被来回揉搓。

引力波的产生

能够产生可观测引力波的天文事件，需要极端大质量、极端加速度的组合，通常包括：

引力波的强度用应变 hhh（Strain）描述，定义为空间长度的相对变化量：

h=ΔLLh = \frac{\Delta L}{L}h=LΔL​

即探测器臂长 LLL 因引力波引起的变化量 ΔL\Delta LΔL 与 LLL 之比。来自遥远天体的引力波应变极其微小，第一个被探测到的引力波事件（GW150914）在地球处产生的应变约为 h≈10−21h \approx 10^{-21}h≈10−21，相当于在4光年的距离上，长度变化量约为一个质子直径。

LIGO 探测器

为了探测如此微小的应变，美国激光干涉引力波天文台（LIGO）设计了两台巨型迈克尔逊干涉仪：

每台探测器由两条互相垂直的臂组成，臂长 L=4 kmL = 4\,\text{km}L=4km，激光在臂内来回反射约300次，等效光程约 1200 km1200\,\text{km}1200km。引力波经过时，两臂长度交替发生微小变化，导致两路激光的光程差改变，干涉条纹发生变化，从而被探测到。两台 LIGO 分别位于美国华盛顿州汉福德和路易斯安那州利文斯顿，相距约 3000 km3000\,\text{km}3000km，通过两地信号的时间差可以确定引力波到来的方向。

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2015年9月14日，LIGO 首次探测到引力波信号 GW150914，来源是两个质量分别约为 29 M⊙29\,M_\odot29M⊙​ 和 36 M⊙36\,M_\odot36M⊙​ 的黑洞并合，距地球约 1.3×1091.3 \times 10^91.3×109 光年。并合过程持续约0.2秒，最终形成约 62 M⊙62\,M_\odot62M⊙​ 的黑洞，约 3 M⊙3\,M_\odot3M⊙​ 的质量以引力波形式辐射出去，峰值功率约为 3.6×1049 W3.6 \times 10^{49}\,\text{W}3.6×1049W，超过全宇宙所有恒星电磁辐射功率的总和。基普·索恩、雷纳·韦斯和巴里·巴里什因此获得2017年诺贝尔物理学奖。

2017年，LIGO 与欧洲 Virgo 探测器联合探测到了双中子星并合事件 GW170817，同时全球70多个电磁波段望远镜观测到了这一事件的伽马射线、X射线、光学和射电对应体，开创了多信使天文学的新纪元。这一事件还为中子星方程的研究提供了宝贵数据。

练习题

选择题

第1题　关于等效原理，下列说法正确的是：

A. 等效原理是说引力与电磁力是等效的，可以相互转化

B. 等效原理是说在足够小的局部区域内，均匀引力场与匀加速参考系在物理上无法区分

C. 等效原理只适用于力学现象，对光学现象不适用

D. 等效原理预言引力红移，但这一现象至今尚未被实验证实

答案：B

A 错：等效原理讨论的是引力与惯性力（加速度产生的赝力）的等价性，与电磁力无关。

B 正确：强等效原理的核心表述就是，在足够小的局部区域内，均匀引力场与匀加速参考系完全等价，无论什么物理实验都无法区分两者。这是广义相对论的基础假设。

C 错：等效原理适用于所有物理规律，包括光学。正是通过等效原理，爱因斯坦预言了引力使光线弯折和引力红移等光学效应。

D 错：引力红移已经被多个实验证实。1959年庞德-雷布卡实验用穆斯堡尔效应在22.6米的高度差上测量了引力红移，与理论预言吻合精度达1%；此后更精密的实验将吻合精度提升到 0.007%0.007\%0.007%。

第2题　GPS 卫星在轨道高度约 20200 km20200\,\text{km}20200km 处运行，与地面相比，下列哪种效应使卫星上的原子钟走得更快？

A. 狭义相对论的速度时间膨胀效应（卫星高速运动）

B. 广义相对论的引力时间膨胀效应（卫星处引力势较高）

C. 两种效应都使卫星上的钟走得更快

D. 两种效应都使卫星上的钟走得更慢

答案：B

广义相对论的引力时间膨胀效应：引力势越低，时间流逝越慢。卫星处于高轨道，引力势高于地面，因此卫星上的钟比地面走得更快，每天约快 45.9 μs45.9\,\mu\text{s}45.9μs。

狭义相对论的速度时间膨胀效应：运动速度越快，时间流逝越慢（相对于地面静止观测者而言）。卫星以约 3.87 km/s3.87\,\text{km/s}3.87km/s 的速度运行，使卫星上的钟比地面走得更慢，每天约慢 7.2 μs7.2\,\mu\text{s}7.2μs。

两种效应方向相反，综合结果是卫星上的钟每天约快 38.4 μs38.4\,\mu\text{s}38.4μs，必须对此进行修正，否则导航误差每天累积约 10 km10\,\text{km}10km。故B正确，A和C、D均描述有误。

第3题　某天体质量为 MMM，其史瓦西半径 rs=2GM/c2r_s = 2GM/c^2rs​=2GM/c2。若将该天体的质量增大为原来的4倍，其史瓦西半径变为原来的多少倍？

A. 222 倍

B. 444 倍

C. 888 倍

D. 161616 倍

答案：B

由史瓦西半径公式 rs=2GM/c2r_s = 2GM/c^2rs​=2GM/c2 可知，rsr_srs​ 与质量 MMM 成正比。

当质量增大为 4M4M4M 时：

rs′=2G(4M)c2=4⋅2GMc2=4rsr_s' = \frac{2G(4M)}{c^2} = 4 \cdot \frac{2GM}{c^2} = 4r_srs′​=c22G(4M)​=4⋅c22GM​=4rs​

史瓦西半径变为原来的 4倍，与质量的变化成正比。

若进一步问事件视界面积的变化：面积 ∝rs2∝M2\propto r_s^2 \propto M^2∝rs2​∝M2，质量变为4倍时面积变为16倍。但本题问的是半径，答案是4倍，选B。

第4题　LIGO 探测引力波时，使用了臂长 L=4 kmL = 4\,\text{km}L=4km 的迈克尔逊干涉仪，探测到的引力波应变约为 h=10−21h = 10^{-21}h=10−21。由此引起的臂长变化量 ΔL\Delta LΔL 约为多少？

A. 4×10−21 m4 \times 10^{-21}\,\text{m}4×10−21m

B. 4×10−18 m4 \times 10^{-18}\,\text{m}4×10−18m

C. 4×10−15 m4 \times 10^{-15}\,\text{m}4×10−15m

D. 4×10−12 m4 \times 10^{-12}\,\text{m}4×10−12m

答案：B

由应变定义 h=ΔL/Lh = \Delta L / Lh=ΔL/L，得：

ΔL=h×L=10−21×4×103 m=4×10−18 m\Delta L = h \times L = 10^{-21} \times 4 \times 10^3\,\text{m} = 4 \times 10^{-18}\,\text{m}ΔL=h×L=10−21×4×103m=4×10−18m

4×10−18 m4 \times 10^{-18}\,\text{m}4×10−18m 约为质子直径（∼10−15 m\sim 10^{-15}\,\text{m}∼10−15m）的千分之四，比原子核还小三个数量级。LIGO 能够测量如此微小的长度变化，依赖激光在臂内来回约300次的多次反射（等效光程约 1200 km1200\,\text{km}1200km）、超高精度的光学系统以及极其精密的隔震措施，是人类精密测量技术的极限挑战。

答案选 B。

计算题

第5题　引力红移与 GPS 修正。GPS 卫星轨道高度为 h=2.02×107 mh = 2.02 \times 10^7\,\text{m}h=2.02×107m，地球表面重力加速度取 g=9.8 m/s2g = 9.8\,\text{m/s}^2g=9.8m/s2，光速 c=3.0×108 m/sc = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}c=3.0×108m/s。

（1）利用公式 Δt/t=gh/c2\Delta t / t = gh/c^2Δt/t=gh/c2 估算引力时间膨胀效应，计算 GPS 卫星上的原子钟每天（t=86400 st = 86400\,\text{s}t=86400s）因引力时间膨胀比地面快多少微秒。

（2）若不对 GPS 系统进行广义相对论修正，光速 c=3.0×108 m/sc = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}c=3.0×108m/s，每天积累的定位误差（仅考虑引力时间膨胀部分）约为多少米？

（1）计算每天引力时间膨胀：

Δtt=ghc2=9.8 m/s2×2.02×107 m(3.0×108 m/s)2\frac{\Delta t}{t} = \frac{gh}{c^2} = \frac{9.8\,\text{m/s}^2 \times 2.02 \times 10^7\,\text{m}}{(3.0 \times 10^8\,\text{m/s})^2}tΔt​=c2gh​=(3.0×108m/s)29.8m/s2×2.02×107m​

=9.8×2.02×1079.0×1016=1.98×1089.0×1016≈2.2×10−9= \frac{9.8 \times 2.02 \times 10^7}{9.0 \times 10^{16}} = \frac{1.98 \times 10^8}{9.0 \times 10^{16}} \approx 2.2 \times 10^{-9}=9.0×10169.8×2.02×107​=9.0×10161.98×108​≈2.2×10−9

每天的时间差：

Δt=Δtt×t=2.2×10−9×86400 s≈1.9×10−4 s=190 μs\Delta t = \frac{\Delta t}{t} \times t = 2.2 \times 10^{-9} \times 86400\,\text{s} \approx 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s} = 190\,\mu\text{s}Δt=tΔt​×t=2.2×10−9×86400s≈1.9×10−4s=190μs

（注：此处用线性近似 g=constg = \text{const}g=const 估算，实际上随高度 ggg 减小，精确积分给出约 45.9 μs45.9\,\mu\text{s}45.9μs/天。本题用匀强场近似，数量级正确。）

（2）每天定位误差：

若忽略修正，卫星时钟误差 Δt≈1.9×10−4 s\Delta t \approx 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s}Δt≈1.9×10−4s，用时间乘以光速得位置误差：

Δx=c⋅Δt=3.0×108 m/s×1.9×10−4 s≈5.7×104 m=57 km\Delta x = c \cdot \Delta t = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s} \times 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s} \approx 5.7 \times 10^4\,\text{m} = 57\,\text{km}Δx=c⋅Δt=3.0×108m/s×1.9×10−4s≈5.7×104m=57km

这意味着若不进行广义相对论修正，GPS 导航误差每天将累积数十千米，完全无法用于导航定位。这也说明广义相对论不只是高深的理论，而是现代技术不可缺少的实用基础。

第6题　黑洞的史瓦西半径与平均密度。

（1）已知太阳质量 M⊙=1.99×1030 kgM_\odot = 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}M⊙​=1.99×1030kg，引力常数 G=6.67×10−11 N⋅m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\text{N}{\cdot}\text{m}^2/\text{kg}^2G=6.67×10−11N⋅m2/kg2，光速 c=3.0×108 m/sc = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}c=3.0×108m/s，计算太阳的史瓦西半径 rsr_srs​。

（2）若将太阳全部质量压缩到史瓦西半径以内形成黑洞，计算这个黑洞（以 rsr_srs​ 为半径的球体）的平均密度 ρ\rhoρ，并与水的密度（1.0×103 kg/m31.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^31.0×103kg/m3）做比较。

（3）对于质量为 M=109 M⊙M = 10^9\,M_\odotM=109M⊙​ 的超大质量黑洞，其史瓦西半径 rs′r_s'rs′​ 为多少？以 rs′r_s'rs′​ 为半径的球体平均密度 ρ′\rho'ρ′ 又为多少？与（2）的结果相比，你能得出什么结论？

（1）太阳的史瓦西半径：

rs=2GM⊙c2=2×6.67×10−11×1.99×1030(3.0×108)2r_s = \frac{2GM_\odot}{c^2} = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(3.0 \times 10^8)^2}rs​=c22GM⊙​​=(3.0×108)22×6.67×10−11×1.99×1030​

=2×6.67×1.99×10199.0×1016=26.55×10199.0×1016≈2953 m≈2.95 km= \frac{2 \times 6.67 \times 1.99 \times 10^{19}}{9.0 \times 10^{16}} = \frac{26.55 \times 10^{19}}{9.0 \times 10^{16}} \approx 2953\,\text{m} \approx 2.95\,\text{km}=9.0×10162×6.67×1.99×1019​=9.0×101626.55×1019​≈2953m≈2.95km

（2）以史瓦西半径为半径的黑洞平均密度：

球体体积：

V=43πrs3=43π(2953 m)3=43π×2.574×1010 m3≈1.08×1011 m3V = \frac{4}{3}\pi r_s^3 = \frac{4}{3}\pi (2953\,\text{m})^3 = \frac{4}{3}\pi \times 2.574 \times 10^{10}\,\text{m}^3 \approx 1.08 \times 10^{11}\,\text{m}^3V=34​πrs3​=34​π(2953m)3=34​π×2.574×1010m3≈1.08×1011m3

平均密度：

ρ=M⊙V=1.99×1030 kg1.08×1011 m3≈1.84×1019 kg/m3\rho = \frac{M_\odot}{V} = \frac{1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}}{1.08 \times 10^{11}\,\text{m}^3} \approx 1.84 \times 10^{19}\,\text{kg/m}^3ρ=VM⊙​​=1.08×1011m31.99×1030kg​≈1.84×1019kg/m3

这比水密度（103 kg/m310^3\,\text{kg/m}^3103kg/m3）高约 1.84×10161.84 \times 10^{16}1.84×1016 倍，比核密度（∼2×1017 kg/m3\sim 2 \times 10^{17}\,\text{kg/m}^3∼2×1017kg/m3）还高约100倍，极端致密。

（3）超大质量黑洞的史瓦西半径与密度：

质量 M′=109M⊙=109×1.99×1030 kg=1.99×1039 kgM' = 10^9 M_\odot = 10^9 \times 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg} = 1.99 \times 10^{39}\,\text{kg}M′=109M⊙​=109×1.99×1030kg=1.99×1039kg

rs′=2GM′c2=109×rs=109×2953 m=2.953×1012 m≈2.95×109 kmr_s' = \frac{2GM'}{c^2} = 10^9 \times r_s = 10^9 \times 2953\,\text{m} = 2.953 \times 10^{12}\,\text{m} \approx 2.95 \times 10^9\,\text{km}rs′​=c22GM′​=109×rs​=109×2953m=2.953×1012m≈2.95×109km

（约为地球到太阳距离的20倍）

体积：

V′=43π(rs′)3=43π(109rs)3=1027VV' = \frac{4}{3}\pi (r_s')^3 = \frac{4}{3}\pi (10^9 r_s)^3 = 10^{27} VV′=34​π(rs′​)3=34​π(109rs​)3=1027V

平均密度：

ρ′=M′V′=109M⊙1027V=1091027ρ=10−18×1.84×1019 kg/m3≈18.4 kg/m3\rho' = \frac{M'}{V'} = \frac{10^9 M_\odot}{10^{27} V} = \frac{10^9}{10^{27}} \rho = 10^{-18} \times 1.84 \times 10^{19}\,\text{kg/m}^3 \approx 18.4\,\text{kg/m}^3ρ′=V′M′​=1027V109M⊙​​=1027109​ρ=10−18×1.84×1019kg/m3≈18.4kg/m3

这比水的密度（103 kg/m310^3\,\text{kg/m}^3103kg/m3）还低约50倍！

结论：史瓦西半径与质量成正比（rs∝Mr_s \propto Mrs​∝M），而密度与质量的平方成反比（ρ∝M/rs3∝1/M2\rho \propto M/r_s^3 \propto 1/M^2ρ∝M/rs3​∝1/M2）。超大质量黑洞的平均密度反而极低，甚至低于水——这意味着如果置身于银河系中心超大质量黑洞的事件视界附近，你甚至感受不到特别强的潮汐力，在不知情的情况下可能已经穿越了视界而浑然不觉。

  • 等效原理
  • 弯曲时空的几何图像
  • 史瓦西解与黑洞
    • 黑洞的分类
  • 引力波
    • 引力波的产生
    • LIGO 探测器
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题

目录

  • 等效原理
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  • 史瓦西解与黑洞
    • 黑洞的分类
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