辐射系统与多极辐射 | 自在学

辐射系统与多极辐射

手机通话时，基站天线将变化的电信号转化为向外传播的电磁波；广播电台的发射塔，无线路由器的天线，甚至原子发光——这些现象的本质都是振荡的电荷或电流在周围空间激发出向外传播的电磁波。以下内容围绕“什么样的电荷电流分布会辐射电磁波、辐射的方向和强度如何”这两个核心问题展开。

局域振荡源的辐射场

设想空间中存在一个很小的区域（尺寸约为 $d$ ），其中分布着随时间正弦振荡的电流和电荷。这类系统称为局域振荡源，是天线和辐射物理的基本模型。

振荡源产生的电磁场，可以从推迟矢量势出发得到：

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',\, t - |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|/c)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}^3r'

这里 $t - |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|/c$ 是“推迟时刻”——由于光速有限，场点 $\boldsymbol{r}$ 在时刻 $t$ 感受到的是源点在更早时刻 $t_{\rm ret}$ 的状态，这段时间差正好等于电磁波从源到场点的传播时间。

对于频率为 $\omega$ （角频率）的单色振荡，电流密度可以写作 $\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',t) = \boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}') e^{-i\omega t}$ ，对应的波数。当源的尺寸远小于波长时，辐射问题可以用多极展开系统处理。

根据观测点 $r$ 与波长 $\lambda$ 的比较，场区通常分为三个区域：

只有远场区（ $r \gg \lambda$ ）的场才是真正意义上的辐射场，其能量能持续向外传输。近场区虽然场强可以很大，但能量在源附近反复振荡，不向外辐射。这就是为什么天线要工作在波长尺度：源的几何尺寸应当与工作波长相当或同阶，才能有效辐射。

电偶极辐射

最简单也最重要的辐射模型是电偶极振子：两个距离为 $d$ 的等量异号电荷，其电荷量随时间正弦振荡，相当于一个振荡的电偶极矩：

\boldsymbol{p}(t) = p_0 \hat{\boldsymbol{z}} \, e^{-i\omega t}

这一模型对应沿 $\hat{z}$ 方向的振荡短天线。在远场区（ $r \gg \lambda \gg d$ ），辐射电场和磁场为：

\boldsymbol{E} = -\frac{\mu_0 \omega^2 p_0}{4\pi c} \frac{e^{ikr}}{r} \sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\theta}}

\boldsymbol{B} = \frac{1}{c} \hat{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{E}

其中 $\theta$ 是场点方向与偶极轴（ $z$ 轴）的夹角。远场中 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 互相垂直，且都与传播方向 $\hat{\boldsymbol{r}}$ 垂直，这与平面波的横波性质完全相同。

辐射强度（单位立体角的辐射功率）为：

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{32\pi^2 c} \sin^2\theta

这个 $\sin^2\theta$ 因子描述了电偶极辐射的方向性：

在 $\theta = 90°$ 时（垂直于偶极轴的方向），辐射最强
在 $\theta = 0°$ 和 $\theta = 180°$ （沿偶极轴的方向），辐射为零

辐射方向图的立体形状像一个“甜甜圈”，轴线穿过甜甜圈的孔。

对全立体角积分，得到总辐射功率：

P = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3}

电偶极辐射功率正比于频率的四次方 $\omega^4$ 。频率翻倍，辐射功率增大16倍。这正是为什么高频天线能以更小的尺寸实现有效辐射。

近场区（ $r \ll \lambda$ ）与远场区的场结构有本质区别。以电场为例：

例题　一个振荡电偶极子，偶极矩幅值 $p_0 = 1.0 \times 10^{-30}\ \mathrm{C{\cdot}m}$ （约为一个电子-质子对在 $0.1\ \mathrm{nm}$ 距离的偶极矩），振荡频率（可见光频段）。求其辐射总功率。

\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{14} \approx 3.14 \times 10^{15}\ \mathrm{rad/s}

P = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3} = \frac{(10^{-30})^2 \times (3.14\times10^{15})^4}{12\pi \times 8.85\times10^{-12} \times (3\times10^8)^3}

= \frac{10^{-60} \times 9.73\times10^{60}}{12\pi \times 8.85\times10^{-12} \times 2.7\times10^{25}} \approx \frac{9.73}{12\pi \times 2.39\times10^{14}} \approx 1.1\times10^{-14}\ \mathrm{W}

这个功率（约 $10^{-14}\ \mathrm{W}$ ）正是单个振荡原子发光的典型量级，与量子力学计算的结果在数量级上吻合。

磁偶极与电四极辐射

除电偶极辐射外，实际辐射源还可能包含磁偶极和电四极等高阶项。这些辐射的强度通常远弱于电偶极辐射，但在对称性阻止电偶极辐射的情形下（例如原子的某些跃迁），它们就成为主要的辐射机制。

磁偶极辐射

一个面积为 $A$ 、电流幅值为 $I_0$ 的圆形电流环，对应磁偶极矩：

\boldsymbol{m} = I_0 A \hat{\boldsymbol{n}} \, e^{-i\omega t}

其中 $\hat{\boldsymbol{n}}$ 是电流环法向。磁偶极辐射的远场结构与电偶极辐射的结构完全相同——方向图也是 $\sin^2\theta$ 形状的甜甜圈——只是电场与磁场的方向互换。总辐射功率为：

P_{\rm m} = \frac{\mu_0 \omega^4 m_0^2}{12\pi c^3}

磁偶极辐射比电偶极辐射弱多少？将 $m_0 = I_0 A$ 与典型电偶极矩 $p_0 = q_0 d$ 比较，系数上差一个量级。由于通常辐射源的尺寸，磁偶极辐射比电偶极辐射弱约倍。

电四极辐射

当电荷分布的总电荷为零且净偶极矩也为零时（例如两个方向相反的振荡偶极子），电四极辐射成为主要贡献。电四极辐射功率更小，比电偶极辐射又弱约 $(d/\lambda)^2$ 倍：

P_{\rm 四极} \sim P_{\rm 偶极} \times \left(\frac{d}{\lambda}\right)^2

在无线电工程中，天线的设计目标通常是尽量增强电偶极辐射，使其远场集中在所需方向。而在某些物理场景（如原子光谱），由于选择定则禁止电偶极跃迁，磁偶极和电四极辐射才得以被观测，这类谱线称为“禁线”。

线天线的辐射方向图

线天线是最常见的辐射装置。将一根导线接上交变电源，导线上流过按正弦规律分布的电流，就构成了线天线。根据天线长度与波长的关系，辐射方向图有显著差异。

设线天线沿 $z$ 轴放置，总长度为 $2L$ ，电流分布近似为：

I(z) = I_0 \sin\!\left(k(L - |z|)\right)

这一正弦电流分布是短路端为零的驻波，满足天线端点电流为零的边界条件。

远场辐射电场（忽略常数因子）正比于：

F(\theta) = \frac{\cos(kL\cos\theta) - \cos(kL)}{\sin\theta}

这个函数称为方向函数，它描述了辐射强度随方向角 $\theta$ 的变化。

常用天线类型及其特性：

半波天线（ $2L = \lambda/2$ ，即 $kL = \pi/2$ ）是工程中最常用的天线，因为它的输入阻抗为实数（约 $73\ \Omega$ ），与常用馈线阻抗（ $50\ \Omega$ 或 $75\ \Omega$ ）容易匹配。其辐射方向图比短偶极稍尖，增益略高：

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega}\bigg|_{\text{半波}} \propto \frac{\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^2\theta}

在 $\theta = 90°$ （正侧方）辐射最强，在轴向（ $\theta = 0°$ ）辐射为零。

例题　一根半波偶极天线，输入电流幅值 $I_0 = 1.0\ \mathrm{A}$ ，工作频率 $f = 100\ \mathrm{MHz}$ （FM广播频段），其辐射总功率约为多少？

半波天线的辐射电阻 $R_{\rm rad} \approx 73\ \Omega$ ，辐射功率为：

P = \frac{1}{2} I_0^2 R_{\rm rad} = \frac{1}{2} \times 1.0^2 \times 73 = 36.5\ \mathrm{W}

这意味着，在馈线传送 $36.5\ \mathrm{W}$ 的电功率时，理想半波天线将全部转化为电磁波向外辐射（理想情况下无欧姆损耗）。

球面波与多极展开

当辐射源的几何结构比较复杂时，单纯用电偶极模型不够精确，需要系统地对辐射场进行多极展开。球面波是这种展开的基础。

球面波基本形式

最简单的球面波是向外传播的球对称波，其电磁势在自由空间中具有 $e^{ikr}/r$ 的形式（时间因子 $e^{-i\omega t}$ 已略去）。这类波的等相位面是以源为中心的同心球面，能量均匀向各方向扩散，场强按 $1/r$ 衰减，强度按 $1/r^2$ 衰减，与能量守恒一致。

多极展开的物理图像

对于尺寸 $d \ll \lambda$ 的局域源，辐射场可以按 $d/\lambda$ （或等价地按 $kd$ ）展开，展开的各项依次称为：

电偶极（ $l=1$ ）：最低阶，辐射最强
磁偶极 / 电四极（ $l=1$ 磁型 / $l=2$ 电型）：次低阶
更高阶项（ $l \geq 3$ ）：随着 $l$ 增大，辐射功率按快速减弱

辐射场按球谐函数 $Y_{lm}(\theta,\phi)$ 展开，不同的 $l$ （极次）和 $m$ （方位次）对应不同的方向图形态。电型多极（Electric multipole）由振荡电荷分布驱动；磁型多极（Magnetic multipole）由振荡电流分布驱动。

多极展开的强大之处在于：只需知道源的多极矩（偶极矩、四极矩等），就能计算出任意远处的辐射场，而无需了解源内部的全部细节。这与静电学中用多极展开描述远处电势是完全类似的思路。

多极辐射的角分布与辐射功率

不同类型的多极辐射，其角分布（方向图）各有特点，这使得我们可以通过测量辐射的角分布来推断辐射源的性质。

电偶极辐射（ $E1$ ）的角分布

设电偶极矩沿 $z$ 轴，辐射的角功率密度为：

\frac{\mathrm{d}P_{E1}}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3} \sin^2\theta

对全立体角积分（利用 $\int \sin^2\theta \, \mathrm{d}\Omega = \int_0^\pi \sin^2\theta \cdot 2\pi\sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 8\pi/3$ ）：

P_{E1} = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3}

磁偶极辐射（ $M1$ ）的角分布

磁偶极辐射的方向图与电偶极完全相同（也是 $\sin^2\theta$ ），只是场的偏振方向旋转了 $90°$ （电场与磁场的角色互换）：

\frac{\mathrm{d}P_{M1}}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{\mu_0 m_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c^3} \sin^2\theta, \qquad P_{M1} = \frac{\mu_0 m_0^2 \omega^4}{12\pi c^3}

电四极辐射（ $E2$ ）的角分布

电四极辐射的方向图更为复杂。以轴对称四极为例，角分布含有 $\sin^2\theta\cos^2\theta$ 因子，在 $\theta = 45°$ 和 $135°$ 处辐射最强，在轴向和赤道方向辐射最弱：

\frac{\mathrm{d}P_{E2}}{\mathrm{d}\Omega} \propto \sin^2\theta\cos^2\theta

总辐射功率：

P_{E2} \propto \frac{Q_0^2 \omega^6}{960\pi \varepsilon_0 c^5}

其中 $Q_0$ 是四极矩的幅值。与 $P_{E1} \propto \omega^4$ 相比， $P_{E2} \propto \omega^6$ ，频率依赖更强，高频时四极辐射的相对贡献可以增大。

各类多极辐射的功率比较（以 $kd \ll 1$ 为前提）：

在实际天线工程中，通常希望所有辐射功率来自电偶极模式（最高效），其他高阶辐射模式意味着能量利用效率降低。而在核物理和原子物理中，由于量子力学选择定则，各类多极辐射的相对强弱提供了核结构和原子态对称性的丰富信息。

练习题

选择题

题目一（知识点：电偶极辐射功率与频率的关系）

一个振荡电偶极子，偶极矩幅值 $p_0$ 不变，工作频率从 $f$ 提高到 $2f$ ，则总辐射功率变为原来的（　　）

A. $2$ 倍　　B. $4$ 倍　　C. $8$ 倍　　D. $16$ 倍

题目二（知识点：电偶极辐射的方向图）

沿 $z$ 轴放置的振荡电偶极子，在下列哪个方向辐射功率最强？（　　）

A. 沿 $+z$ 方向（ $\theta = 0°$ ）

B. 沿 $-z$ 方向（ $\theta = 180°$ ）

C. 垂直于偶极轴的方向（ $\theta = 90°$ ）

D. 与 $z$ 轴成 $45°$ 的方向（ $\theta = 45°$ ）

题目三（知识点：近场与远场的区别）

在振荡电偶极子的近场区（ $r \ll \lambda$ ），电场强度随距离的变化规律是（　　）

A. $E \propto 1/r$ 　　B. $E \propto 1/r^2$ 　　C. $E \propto 1/r^3$ 　　D.

题目四（知识点：多极辐射的强弱比较）

对于一个尺寸 $d = 0.01\lambda$ 的辐射源（ $kd = 2\pi \times 0.01 \approx 0.063$ ），其磁偶极辐射功率与电偶极辐射功率之比大约为（　　）

A. $1$ 　　B. $10^{-2}$ 　　C. $10^{-3}$ 　　D. $(kd)^2 \approx 4 \times 10^{-3}$

计算题

题目五（知识点：电偶极辐射的功率与方向图）

一根沿 $z$ 轴放置的短偶极天线，天线长度 $L = 0.01\ \mathrm{m}$ ，线上电流幅值均匀为 $I_0 = 2.0\ \mathrm{A}$ ，工作频率 $f = 100\ \mathrm{MHz}$ 。

（1）求等效振荡电偶极矩 $p_0$ （短天线的等效电偶极矩为 $p_0 = I_0 L / \omega$ ）；

（2）求总辐射功率 $P$ ；

（3）在 $\theta = 60°$ 方向，辐射功率密度（单位立体角辐射功率）是最大辐射方向的百分之几？

题目六（知识点：磁偶极辐射与辐射功率）

一个圆形电流环，半径 $a = 5.0\ \mathrm{cm}$ ，环上电流幅值 $I_0 = 1.0\ \mathrm{A}$ ，工作频率 $f = 300\ \mathrm{MHz}$ 。

（1）求磁偶极矩幅值 $m_0 = I_0 \pi a^2$ ；

（2）求磁偶极辐射总功率 $P_{M1} = \dfrac{\mu_0 m_0^2 \omega^4}{12\pi c^3}$ ；

（3）若同一频率下有一电偶极子，偶极矩 $p_0 = m_0/c$ ，求其辐射功率，并与磁偶极功率比较，验证两者相等。

f = 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}