静电学基础

电是自然界最普遍的现象之一。冬天脱下毛衣时那声轻微的噼啪，手触金属门把时的细小刺痛，以及雷雨天划破天空的闪电，这些现象的根源都是电荷与电场。静电学研究的正是静止电荷所产生的电场及其相互作用规律，也是整个电动力学的出发点。

电荷与库仑定律

自然界中只存在两种电荷：正电荷与负电荷。用毛皮摩擦橡胶棒，橡胶棒会带上负电；用丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒则带上正电。同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。

电荷不能被无中生有地创造或消灭，只能从一个物体转移到另一个物体。这就是电荷守恒定律：在任何孤立系统中，正负电荷的代数和始终不变。

一切可以观测到的电荷量，都是元电荷 $e$ 的整数倍，这称为电荷的量子化：

e = 1.602 \times 10^{-19} \, \mathrm{C}

库仑定律定量描述了两个静止点电荷之间的相互作用。设两点电荷的量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，它们之间的距离为 $r$ ，则相互作用力的大小为：

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

其中真空介电常数 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}$ ，系数 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9.0 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ 。

写成矢量形式，以 $\hat{r}_{12}$ 表示从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的单位矢量，则 $q_2$ 受到的力为：

\boldsymbol{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\, \hat{r}_{12}

当 $q_1 q_2 > 0$ （同种电荷）时，力沿 $\hat{r}_{12}$ 方向，即排斥力；当 $q_1 q_2 < 0$ 时，力反向，即引力。

例题　两个点电荷 $q_1 = +2 \, \mu\mathrm{C}$ ， $q_2 = -3 \, \mu\mathrm{C}$ ，相距 $r = 0.30 \, \mathrm{m}$ ，求它们之间的静电力大小。

代入数值：

F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{(0.30)^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6 \times 10^{-12}}{0.09} = 0.60 \, \mathrm{N}

两电荷异号，力为引力，大小约为 $0.60 \, \mathrm{N}$ 。

库仑定律中的 $r$ 是两点电荷之间的直线距离，而非路径长度。该定律严格适用于点电荷，即可将电荷视作集中于一点的情形。

电场与叠加原理

为描述电荷对周围空间的影响，物理学引入了电场的概念。在空间某点放置一个足够小的试探电荷 $q_0$ ，测量该点所受的电场力 $\boldsymbol{F}$ ，定义电场强度：

\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q_0}

电场强度的单位是 $\mathrm{N/C}$ ，也等价地写作 $\mathrm{V/m}$ 。单个点电荷 $q$ 在距其 $r$ 处产生的电场为：

\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\, \hat{r}

正电荷产生向外辐射的电场，负电荷产生向内汇聚的电场。

当空间中存在多个电荷时，各电荷产生的电场彼此互不干扰，总电场等于各个电场的矢量和，这就是叠加原理：

\boldsymbol{E}_{\text{总}} = \sum_i \boldsymbol{E}_i = \sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2}\, \hat{r}_i

对于连续分布的电荷，求和变为体积分：

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')\,(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3} \, \mathrm{d}^3r'

其中 $\rho(\boldsymbol{r}')$ 是电荷体密度，单位为 $\mathrm{C/m^3}$ 。

下图列出了三种典型电荷分布在对称方向上产生的电场：

例题　均匀带电圆环，总电荷量为 $Q$ ，半径为 $R$ ，求轴线上距圆心 $x$ 处的电场强度。

由对称性，轴线上各点的电场只有沿轴方向的分量（垂直分量相互抵消）。积分得：

E_x = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0 (R^2 + x^2)^{3/2}}

当 $x \gg R$ 时，上式趋近于点电荷公式 $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}$ ，符合物理直觉。

叠加原理是线性叠加：各个电荷产生的电场互不干扰，总电场是它们的矢量和。正是这一线性性质，使得复杂分布的电场计算成为可能。

高斯定律

高斯定律将穿过任意封闭曲面的电场通量与该曲面内部的总电荷联系起来，是静电学最核心的定理之一。

积分形式：通过封闭曲面 $S$ 的总电场通量，等于面内总电荷量除以 $\varepsilon_0$ ：

\oint_S \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{A} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}

其中 $\mathrm{d}\boldsymbol{A}$ 是面积元的外法向矢量。

例题　均匀带电球壳，总电荷量 $Q$ ，半径为 $R$ ，求球壳内外的电场分布。

以球心为中心，取半径为 $r$ 的球形高斯面。

球壳外部（ $r > R$ ）：高斯面内总电荷为 $Q$ ，由球对称性，面上电场大小处处相等且沿径向，因此：

E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \quad (r > R)

这与将 $Q$ 全部集中在球心时的点电荷电场完全相同。

球壳内部（ $r < R$ ）：高斯面内无电荷， $Q_{\text{内}} = 0$ ，得 $E = 0$ 。

导体壳内部电场为零这一性质被称为静电屏蔽，是法拉第笼的物理基础——将精密仪器放置在导体壳内，可以隔绝外部电场的干扰。

对高斯定律的积分形式应用散度定理，得到微分形式（麦克斯韦方程组第一方程）：

\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

这一方程告诉我们：空间中某点电场的散度，等于该点电荷密度除以 $\varepsilon_0$ 。在无电荷的区域，散度为零，电场线是连续的、无起止的。

选取合适的高斯面（使电场在面上大小均匀、方向一致），高斯定律可以将原本复杂的积分化为简单代数运算。但这一技巧只适用于具有高度对称性（球、柱、平面）的问题。

标量电势与泊松方程

静电场是保守场，满足 $\nabla \times \boldsymbol{E} = 0$ 。由此可以引入标量函数——电势 $\varphi$ ——将矢量问题转化为标量问题：

\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi

电势的单位是伏特（ $\mathrm{V}$ ），即 $1 \, \mathrm{V} = 1 \, \mathrm{J/C}$ 。空间中两点 $A$ 、 $B$ 之间的电势差（即电压）为：

U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \int_A^B \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}

单个点电荷 $q$ 在距其 $r$ 处产生的电势（取无穷远处为零势点）：

\varphi(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}

多个点电荷的电势同样满足叠加原理，且电势是标量，叠加时直接代数相加：

\varphi = \sum_i \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}

将 $\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi$ 代入 $\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$ ，得到泊松方程：

\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

在直角坐标系中， $\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ 。

在无电荷区域（ $\rho = 0$ ），泊松方程退化为拉普拉斯方程：

\nabla^2\varphi = 0

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，其在区域内无极大值或极小值，极值只能出现在边界上。这一性质对求解实际问题中的电势分布至关重要。

例题　一对等量异号点电荷 $+q$ 与 $-q$ 相距 $2a$ ，求连线中点 $P$ 的电势与电场强度。

两电荷到 $P$ 点的距离均为 $a$ 。电势叠加：

\varphi_P = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 a} = 0

但电势为零不意味着电场为零。 $+q$ 在 $P$ 处产生的电场沿 $+q \to -q$ 方向（向右）， $-q$ 在 $P$ 处产生的电场也指向 $-q$ （也向右），大小均为 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$ ，两者同向叠加：

E_P = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a^2}，\quad \text{方向从 } +q \text{ 指向 } -q

下表汇总了几种典型电荷分布的电势：

导体的静电平衡与电容

导体内部存在大量可以自由移动的电子。当导体处于静电平衡状态时，内部的净电场为零——若内部有电场，自由电子就会持续运动，直到感应出的电荷场将外场完全抵消为止。由此可以推导出几条重要性质：

导体表面处的电场强度与局部面电荷密度 $\sigma$ 的关系为：

E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

其中 $E_n$ 是导体外表面的法向电场（向外为正）。

电容描述导体或导体组合储存电荷的能力。对于由两个导体构成的电容器，两板分别携带 $+Q$ 和 $-Q$ 的电荷量，两板之间的电压为 $U$ ，则：

C = \frac{Q}{U}

电容的单位是法拉（ $\mathrm{F}$ ），实用中常用皮法（ $\mathrm{pF}$ ， $1 \, \mathrm{pF} = 10^{-12} \, \mathrm{F}$ ）和纳法（ $\mathrm{nF}$ ， $1 \, \mathrm{nF} = 10^{-9} \, \mathrm{F}$ ）。

例题　平行板电容器，两极板面积均为 $S$ ，间距为 $d$ （ $d \ll \sqrt{S}$ ），极板上均匀分布面密度为 $\pm\sigma$ 的电荷，求其电容。

两板之间的电场由叠加原理：

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

两板间电压：

U = E \cdot d = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}

总电荷量 $Q = \sigma S$ ，所以：

C = \frac{Q}{U} = \frac{\sigma S}{\sigma d/\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}

平行板电容器的电容只取决于几何尺寸：面积越大、间距越小，电容越大。

导体表面的电荷分布并不均匀——曲率越大的地方，面电荷密度越高，对应的电场也越强。尖端处的强电场会使附近空气电离，形成尖端放电。避雷针正是利用这一效应，将云层中的电荷缓慢导走，从而保护建筑物。

练习题

选择题

题目一（知识点：库仑定律）

两个点电荷相距 $r$ 时，相互作用力为 $F$ 。保持电荷量不变，将距离缩小为 $\dfrac{r}{3}$ ，则力变为（　　）

A. $\dfrac{F}{9}$ 　　B. $\dfrac{F}{3}$ 　　C. $3F$ 　　D. $9F$

答案：D

由库仑定律 $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ，距离变为原来的 $\dfrac{1}{3}$ 后，力变为原来的 $3^2 = 9$ 倍，即 $9F$ 。

题目二（知识点：高斯定律）

一个封闭高斯面内的净电荷为零，则下列说法正确的是（　　）

A. 高斯面上各点的电场强度均为零

B. 通过该封闭曲面的电场通量为零

C. 面内一定没有任何电荷

D. 高斯面上各点的电场方向相同

答案：B

根据高斯定律，通过封闭面的电场通量 $\oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{A} = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$ 。净电荷为零时，通量为零，但面上各点的电场不一定为零（面内可能存在等量正负电荷）。C 选项错误，因为“净电荷为零”允许正负电荷共存。

题目三（知识点：电势的叠加）

两个等量同号点电荷 $+q$ 相距 $2a$ ，连线中点处的电势为（　　）

A. $0$ 　　B. $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}$ 　　C. $\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}$ 　　D. $\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 a}$

答案：C

两个 $+q$ 到中点的距离均为 $a$ ，电势进行标量叠加：

\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}

注意电势是标量，直接代数相加，选 C。

题目四（知识点：导体的静电平衡）

关于静电平衡状态下的导体，下列说法正确的是（　　）

A. 导体内部电势一定为零

B. 导体表面各点的电场强度大小处处相等

C. 导体内部净电荷量为零

D. 导体表面的电场方向与表面平行

答案：C

静电平衡时，净余电荷全部分布在导体表面，内部净电荷量为零（由高斯定律推出）。

A 错误：导体内部电势等于某一常数，但不一定是零，取决于参考零势点的选取。
B 错误：表面各点的电场大小由局部面电荷密度 $\sigma$ 决定（ $E_n = \sigma/\varepsilon_0$ ），曲率不同处的 $\sigma$ 不同，电场大小也不同。
D 错误：导体表面电场垂直于表面，而非平行。

计算题

题目五（知识点：库仑定律、叠加原理与电势）

真空中， $q_1 = +4.0 \, \mu\mathrm{C}$ 位于原点， $q_2 = -4.0 \, \mu\mathrm{C}$ 位于坐标 $(0.30 \, \mathrm{m},\; 0)$ 处。求连线中点 $P = (0.15 \, \mathrm{m},\; 0)$ 处的电场强度（大小与方向）以及该点的电势。

解：

$P$ 到 $q_1$ 的距离 $r_1 = 0.15 \, \mathrm{m}$ ，到 $q_2$ 的距离 $r_2 = 0.15 \, \mathrm{m}$ 。

$q_1$ （正电荷）在 $P$ 处产生的电场沿 $+x$ 方向，大小：

E_1 = \frac{9.0 \times 10^9 \times 4.0 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} = \frac{3.6 \times 10^4}{0.0225} \approx 1.60 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}

$q_2$ （负电荷）在 $P$ 处的电场指向 $q_2$ ，即也沿 $+x$ 方向，大小同为 $1.60 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}$ 。

两者方向相同，叠加得：

E_P = E_1 + E_2 = 3.20 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}，\quad \text{方向沿 } +x

电势（标量叠加）：

\varphi_P = \frac{9.0 \times 10^9 \times 4.0 \times 10^{-6}}{0.15} + \frac{9.0 \times 10^9 \times (-4.0 \times 10^{-6})}{0.15} = 2.4 \times 10^5 \, \mathrm{V} - 2.4 \times 10^5 \, \mathrm{V} = 0

中点电势为零，但电场不为零，这是电场与电势之间的重要区别。

题目六（知识点：高斯定律与平行板电容器）

一个平行板电容器，两极板面积 $S = 2.0 \times 10^{-2} \, \mathrm{m^2}$ ，间距 $d = 2.0 \, \mathrm{mm} = 2.0 \times 10^{-3} \, \mathrm{m}$ ，两板之间为真空。两极板上分别带电荷 $+Q = 1.0 \, \mu\mathrm{C}$ 与 $-Q = -1.0 \, \mu\mathrm{C}$ 。求：（1）两板间的电场强度；（2）两板间的电压；（3）该电容器的电容值。

解：
（1）面电荷密度：

\sigma = \frac{Q}{S} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{2.0 \times 10^{-2}} = 5.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{C/m^2}

由高斯定律，两板间电场（两板各贡献 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ ，方向相同）：

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{5.0 \times 10^{-5}}{8.85 \times 10^{-12}} \approx 5.65 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}

（2）两板间电压：

U = E \cdot d = 5.65 \times 10^6 \times 2.0 \times 10^{-3} \approx 1.13 \times 10^4 \, \mathrm{V} \approx 11.3 \, \mathrm{kV}

（3）电容值：

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2.0 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^{-3}} = 8.85 \times 10^{-11} \, \mathrm{F} \approx 88.5 \, \mathrm{pF}

也可验证： $C = Q/U = (1.0 \times 10^{-6}) / (1.13 \times 10^4) \approx 8.85 \times 10^{-11} \, \mathrm{F}$ ，两种方法结果一致。

静电学基础

电荷与库仑定律

电荷不能被无中生有地创造或消灭，只能从一个物体转移到另一个物体。这就是电荷守恒定律：在任何孤立系统中，正负电荷的代数和始终不变。

一切可以观测到的电荷量，都是元电荷 $e$ 的整数倍，这称为电荷的量子化：

e = 1.602 \times 10^{-19} \, \mathrm{C}

库仑定律定量描述了两个静止点电荷之间的相互作用。设两点电荷的量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，它们之间的距离为 $r$ ，则相互作用力的大小为：

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

其中真空介电常数 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}$ ，系数 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9.0 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ 。

写成矢量形式，以 $\hat{r}_{12}$ 表示从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的单位矢量，则 $q_2$ 受到的力为：

\boldsymbol{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\, \hat{r}_{12}

当 $q_1 q_2 > 0$ （同种电荷）时，力沿 $\hat{r}_{12}$ 方向，即排斥力；当 $q_1 q_2 < 0$ 时，力反向，即引力。

例题　两个点电荷 $q_1 = +2 \, \mu\mathrm{C}$ ， $q_2 = -3 \, \mu\mathrm{C}$ ，相距 $r = 0.30 \, \mathrm{m}$ ，求它们之间的静电力大小。

代入数值：

F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{(0.30)^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6 \times 10^{-12}}{0.09} = 0.60 \, \mathrm{N}

两电荷异号，力为引力，大小约为 $0.60 \, \mathrm{N}$ 。

库仑定律中的 $r$ 是两点电荷之间的直线距离，而非路径长度。该定律严格适用于点电荷，即可将电荷视作集中于一点的情形。

电场与叠加原理

\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q_0}

电场强度的单位是 $\mathrm{N/C}$ ，也等价地写作 $\mathrm{V/m}$ 。单个点电荷 $q$ 在距其 $r$ 处产生的电场为：

\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\, \hat{r}

正电荷产生向外辐射的电场，负电荷产生向内汇聚的电场。

当空间中存在多个电荷时，各电荷产生的电场彼此互不干扰，总电场等于各个电场的矢量和，这就是叠加原理：

\boldsymbol{E}_{\text{总}} = \sum_i \boldsymbol{E}_i = \sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2}\, \hat{r}_i

对于连续分布的电荷，求和变为体积分：

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')\,(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3} \, \mathrm{d}^3r'

其中 $\rho(\boldsymbol{r}')$ 是电荷体密度，单位为 $\mathrm{C/m^3}$ 。

下图列出了三种典型电荷分布在对称方向上产生的电场：

例题　均匀带电圆环，总电荷量为 $Q$ ，半径为 $R$ ，求轴线上距圆心 $x$ 处的电场强度。

由对称性，轴线上各点的电场只有沿轴方向的分量（垂直分量相互抵消）。积分得：

E_x = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0 (R^2 + x^2)^{3/2}}

当 $x \gg R$ 时，上式趋近于点电荷公式 $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}$ ，符合物理直觉。

叠加原理是线性叠加：各个电荷产生的电场互不干扰，总电场是它们的矢量和。正是这一线性性质，使得复杂分布的电场计算成为可能。

高斯定律

高斯定律将穿过任意封闭曲面的电场通量与该曲面内部的总电荷联系起来，是静电学最核心的定理之一。

积分形式：通过封闭曲面 $S$ 的总电场通量，等于面内总电荷量除以 $\varepsilon_0$ ：

\oint_S \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{A} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}

其中 $\mathrm{d}\boldsymbol{A}$ 是面积元的外法向矢量。

例题　均匀带电球壳，总电荷量 $Q$ ，半径为 $R$ ，求球壳内外的电场分布。

以球心为中心，取半径为 $r$ 的球形高斯面。

球壳外部（ $r > R$ ）：高斯面内总电荷为 $Q$ ，由球对称性，面上电场大小处处相等且沿径向，因此：

E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \quad (r > R)

这与将 $Q$ 全部集中在球心时的点电荷电场完全相同。

球壳内部（ $r < R$ ）：高斯面内无电荷， $Q_{\text{内}} = 0$ ，得 $E = 0$ 。

导体壳内部电场为零这一性质被称为静电屏蔽，是法拉第笼的物理基础——将精密仪器放置在导体壳内，可以隔绝外部电场的干扰。

对高斯定律的积分形式应用散度定理，得到微分形式（麦克斯韦方程组第一方程）：

\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

这一方程告诉我们：空间中某点电场的散度，等于该点电荷密度除以 $\varepsilon_0$ 。在无电荷的区域，散度为零，电场线是连续的、无起止的。

标量电势与泊松方程

静电场是保守场，满足 $\nabla \times \boldsymbol{E} = 0$ 。由此可以引入标量函数——电势 $\varphi$ ——将矢量问题转化为标量问题：

\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi

电势的单位是伏特（ $\mathrm{V}$ ），即 $1 \, \mathrm{V} = 1 \, \mathrm{J/C}$ 。空间中两点 $A$ 、 $B$ 之间的电势差（即电压）为：

U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \int_A^B \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}

单个点电荷 $q$ 在距其 $r$ 处产生的电势（取无穷远处为零势点）：

\varphi(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}

多个点电荷的电势同样满足叠加原理，且电势是标量，叠加时直接代数相加：

\varphi = \sum_i \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}

将 $\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi$ 代入 $\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$ ，得到泊松方程：

\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

在直角坐标系中， $\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ 。

在无电荷区域（ $\rho = 0$ ），泊松方程退化为拉普拉斯方程：

\nabla^2\varphi = 0

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，其在区域内无极大值或极小值，极值只能出现在边界上。这一性质对求解实际问题中的电势分布至关重要。

例题　一对等量异号点电荷 $+q$ 与 $-q$ 相距 $2a$ ，求连线中点 $P$ 的电势与电场强度。

两电荷到 $P$ 点的距离均为 $a$ 。电势叠加：

\varphi_P = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 a} = 0

E_P = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a^2}，\quad \text{方向从 } +q \text{ 指向 } -q

下表汇总了几种典型电荷分布的电势：

导体的静电平衡与电容

导体表面处的电场强度与局部面电荷密度 $\sigma$ 的关系为：

E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

其中 $E_n$ 是导体外表面的法向电场（向外为正）。

电容描述导体或导体组合储存电荷的能力。对于由两个导体构成的电容器，两板分别携带 $+Q$ 和 $-Q$ 的电荷量，两板之间的电压为 $U$ ，则：

C = \frac{Q}{U}

例题　平行板电容器，两极板面积均为 $S$ ，间距为 $d$ （ $d \ll \sqrt{S}$ ），极板上均匀分布面密度为 $\pm\sigma$ 的电荷，求其电容。

两板之间的电场由叠加原理：

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

两板间电压：

U = E \cdot d = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}

总电荷量 $Q = \sigma S$ ，所以：

C = \frac{Q}{U} = \frac{\sigma S}{\sigma d/\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}

平行板电容器的电容只取决于几何尺寸：面积越大、间距越小，电容越大。

练习题

选择题

题目一（知识点：库仑定律）

两个点电荷相距 $r$ 时，相互作用力为 $F$ 。保持电荷量不变，将距离缩小为 $\dfrac{r}{3}$ ，则力变为（　　）

A. $\dfrac{F}{9}$ 　　B. $\dfrac{F}{3}$ 　　C. $3F$ 　　D. $9F$

答案：D

由库仑定律 $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ，距离变为原来的 $\dfrac{1}{3}$ 后，力变为原来的 $3^2 = 9$ 倍，即 $9F$ 。

题目二（知识点：高斯定律）

一个封闭高斯面内的净电荷为零，则下列说法正确的是（　　）

A. 高斯面上各点的电场强度均为零

B. 通过该封闭曲面的电场通量为零

C. 面内一定没有任何电荷

D. 高斯面上各点的电场方向相同

答案：B

题目三（知识点：电势的叠加）

两个等量同号点电荷 $+q$ 相距 $2a$ ，连线中点处的电势为（　　）

A. $0$ 　　B. $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}$ 　　C. $\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}$ 　　D. $\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 a}$

答案：C

两个 $+q$ 到中点的距离均为 $a$ ，电势进行标量叠加：

\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}

注意电势是标量，直接代数相加，选 C。

题目四（知识点：导体的静电平衡）

关于静电平衡状态下的导体，下列说法正确的是（　　）

A. 导体内部电势一定为零

B. 导体表面各点的电场强度大小处处相等

C. 导体内部净电荷量为零

D. 导体表面的电场方向与表面平行

答案：C

静电平衡时，净余电荷全部分布在导体表面，内部净电荷量为零（由高斯定律推出）。

A 错误：导体内部电势等于某一常数，但不一定是零，取决于参考零势点的选取。
B 错误：表面各点的电场大小由局部面电荷密度 $\sigma$ 决定（ $E_n = \sigma/\varepsilon_0$ ），曲率不同处的 $\sigma$ 不同，电场大小也不同。
D 错误：导体表面电场垂直于表面，而非平行。

计算题

题目五（知识点：库仑定律、叠加原理与电势）

解：

$P$ 到 $q_1$ 的距离 $r_1 = 0.15 \, \mathrm{m}$ ，到 $q_2$ 的距离 $r_2 = 0.15 \, \mathrm{m}$ 。

$q_1$ （正电荷）在 $P$ 处产生的电场沿 $+x$ 方向，大小：

E_1 = \frac{9.0 \times 10^9 \times 4.0 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} = \frac{3.6 \times 10^4}{0.0225} \approx 1.60 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}

$q_2$ （负电荷）在 $P$ 处的电场指向 $q_2$ ，即也沿 $+x$ 方向，大小同为 $1.60 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}$ 。

两者方向相同，叠加得：

E_P = E_1 + E_2 = 3.20 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}，\quad \text{方向沿 } +x

电势（标量叠加）：

\varphi_P = \frac{9.0 \times 10^9 \times 4.0 \times 10^{-6}}{0.15} + \frac{9.0 \times 10^9 \times (-4.0 \times 10^{-6})}{0.15} = 2.4 \times 10^5 \, \mathrm{V} - 2.4 \times 10^5 \, \mathrm{V} = 0

中点电势为零，但电场不为零，这是电场与电势之间的重要区别。

题目六（知识点：高斯定律与平行板电容器）

解：
（1）面电荷密度：

\sigma = \frac{Q}{S} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{2.0 \times 10^{-2}} = 5.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{C/m^2}

由高斯定律，两板间电场（两板各贡献 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ ，方向相同）：

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{5.0 \times 10^{-5}}{8.85 \times 10^{-12}} \approx 5.65 \times 10^6 \, \mathrm{V/m}

（2）两板间电压：

U = E \cdot d = 5.65 \times 10^6 \times 2.0 \times 10^{-3} \approx 1.13 \times 10^4 \, \mathrm{V} \approx 11.3 \, \mathrm{kV}

（3）电容值：

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2.0 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^{-3}} = 8.85 \times 10^{-11} \, \mathrm{F} \approx 88.5 \, \mathrm{pF}

也可验证： $C = Q/U = (1.0 \times 10^{-6}) / (1.13 \times 10^4) \approx 8.85 \times 10^{-11} \, \mathrm{F}$ ，两种方法结果一致。