数据与统计入门：让一组记录回答问题
上一章最后，我们给同一张桌子留下三次长度记录：119.8、120.0、119.9厘米。它们略有不同，我该选择哪一个数来描述结果？如果再出现一条150厘米的记录，是桌子变长了、测量对象弄错了，还是录入有问题？
公式可以继续处理数字，却不会自动替我们判断记录是否可靠。统计要做的，就是从明确的问题出发，整理数据、观察差异，再说明数据能够支持什么结论。
所以这一章不从“先求平均数”开始。我会先问：记录的是谁、什么时间、什么量，用什么方法得到？然后再选择表、图与统计量。
你会发现，统计没有离开前十章：频率使用分数和百分数，平均数使用加法与除法，加权平均连接比例，图像依赖坐标，所有计算仍要带着单位和适用条件。作为课程最后一章，我们把这些工具放到同一个问题旁边，再看它们怎样配合。
数据从哪里来：总体、样本、个体和变量
先研究一个具体问题：“本校七年级学生在指定的这一周，平均每天课外阅读多少分钟？”
总体是希望了解的全部对象，这里为本校七年级学生；样本是实际抽取来研究的一部分对象，例如从600名学生中抽取60名。若调查全部600人，则是对这个总体的全面调查。
个体是被研究的一个对象，这里为一名学生。变量是记录在个体身上的特征，例如指定一周的日均阅读分钟数、主要到校方式、同一次测验成绩。
一张每人一行的数据表，常用每列表示一个变量。但表格还有别的组织方式，不能把“每一行就是一个独立的人”当作永远成立的规则。
同一个人记录七天，不等于调查了七个人
60名学生各记录7天，可以有420条“学生—日期”记录，但仍然只有60名学生。同一个人的多天数据可能彼此相关，不能把420行说成420名独立受访者。
如果我们先给每名学生算七天平均，再每人留一行，分析的就是60个学生日均值。若直接研究每一个学生日，就换了观察单位，需要明确这种变化，并保留同一人的重复记录关系。
同样，桌子测量三次得到三条读数，不表示拥有三张桌子的样本。这一区分会影响后面能够推广的范围。
抽到的人数与实际可用记录数要分开
抽取60人，54人交回完整阅读记录，应分别报告抽取60人、收到54份、6份未收到。不能假装所有60人都有可用数据，也不能悄悄把没有回答的人从调查过程里抹掉。
不同分析的可用人数还可能不同。一个人填了阅读时间但没填测验分数，可以用于阅读时间的单变量描述，却不能组成完整的“时间—分数”配对点。
变量定义要让所有人在用同一把尺子
“阅读时间”需要说明是哪一天，还是七天平均；是否包含电子阅读；是否只算课外；单位是分钟还是小时。规则不统一，把不同答案相加就可能失去意义。
例如明确记录“某周七天的课外阅读，每天以分钟计，包含纸质与电子阅读，不含课堂指定阅读”。这不一定是唯一正确的定义，但全体必须采用同一规则。
我会尽量使用匿名编号，不收集与问题无关的姓名等信息。识别记录需要的编号，与真正需要比较的变量，不是同一件事。
看起来是数字，不代表每种算术都有意义
分类变量在给对象分组
主要到校方式可以分为步行、公交、自行车、家长接送等。把公交编码成2，不表示它是编码1的步行的两倍；直接平均这些任意代号，不能解释为一种平均交通方式。
球衣号码、学生编号也主要是标签。数字外观不保证数值间的差具有所需的数量意义。
分类变量还可能有顺序，例如“不满意、一般、满意”。这个顺序可以用于描述等级，但不能自动认为相邻两级距离相等，再把任意编码的平均值当成精确满意程度。
数值变量在计数或测量
一周借书本数可以取0、1、2、3……，属于离散变量；实际阅读时长可以继续细分，通常按连续量理解，即使记录时只保留整分钟。
计数数据的平均数却可能不是整数。平均借书1.4本，并不表示某人借走了0.4本；它表示总本数除以人数。实际个数与平均个数，第一章以来就要分清。
一个有意义的编码特例：0 与 1 指示是否发生
若明确规定“参加活动=1，不参加=0”，数据1、1、1、0的平均数为0.75，恰好表示参加比例75%。原因是把这些数相加，得到的就是参加人数。
这不是任意标签都能平均的理由，而是这个0、1编码有明确的计数意义。关键不在数字长相，而在我们为它定义了什么操作。
先问变量代表数量、顺序还是标签，再选统计量。对无序类别不能直接求有意义的数值平均；对有序等级也要说明数值刻度的含义，不能用编码制造并不存在的精度。
整理前先检查：缺失不是零，离谱也不一定是假
某三名学生的记录为20分钟、空白、40分钟。空白不等于0分钟。只对两条已知记录求平均，得到30分钟，并注明有效记录2条；擅自补零会得到20分钟，改变了结论。
若确实记录“这一天没有阅读”，零才是一个有效数值。清楚区分未回答、无法读数与真实的零，是数据整理的基础。
重复也要查原因：同一条记录误导入两次应去重；同一人不同日期的两条记录，未必重复。不要只凭数值一样就删除，因为两个人完全可能都读了30分钟。
有明确取值限制时，越界值需要核查，例如一道满分100的考试出现110分。若评分原本满分120，110又完全可能有效。规则先于“看起来奇怪”。
我会保留原记录与修改理由，不把修正理解为把数据改得整齐。不能因为一个值让平均数不好看，就把它删掉。
频数表：把重复收拢，同时保留总数
假设调查24名学生某一天的主要到校方式，每人只能选一项。多段出行按预先约定的主要路段分类，本例四个类别覆盖全部有效回答。
某类出现的次数为频数 ；除以有效记录总数 ，得到相对频数，本章也称频率：
频数和为24；精确频率和为1；每类圆心角为 度，角度和为360度。
表中显示的近似百分数相加是99.9%，不是100%。这是逐项舍入造成的显示差，合计行使用原频数计算的精确整体，并不代表33.3、25、20.8、20.8直接相加会变成100。
总和规则依赖“不重叠且不遗漏”
如果允许多选“使用过哪些到校方式”，同一人可能计入多个类别，各类人数和可以超过24、百分比和可以超过100%。这不自动是计算错误，只是表已不再把24人分成互斥的几块。
还要注明频率的分母：是全部抽取者、实际回答者，还是某个子组？选择哪个取决于问题，但不能在不同类别中悄悄更换。
频数回答有多少，频率回答占多大比例。20人中12人步行与40人中18人步行，后者人数更多，前者比例60%高于后者45%，两种结论各有意义。
数值多了，可以分组，但不要忘记压缩会丢细节
下面是一份教学用的20名学生单日阅读分钟数，已经排序：
按20分钟宽度分组：
左端包含、右端不包含，所以40进入第三组，不同时进入第二组。分组既要互不重叠，也要覆盖所有实际数据；若出现80分钟，需要按预先规则扩展组别或明确最后一组的端点。
表更短了，原数值却不一定能恢复
分组表告诉我们有10人在20至40分钟之间，却不能恢复每一个具体读数。因此只看分组表，一般不能求出原数据的精确平均数或精确中位数。
用每组中点10、30、50、70代替组内所有数据，可估计平均数为
稍后直接用原数据会得到32.35分钟。33是分组近似，不是精确值；只保留表以后，原来丢失的细节不会被公式自动补回来。
组距过宽会掩盖分布形状，过窄会变得零碎。比较两组数据时，使用相同分组边界与刻度更便于判断，也可以检查合理改变组距后，观察到的特点是否仍在。
选图：先决定希望读者看见什么
条形图比较类别，别让基线改写差距
主要到校方式适合条形图，类别之间留空隙，条的长度表示人数或比例。类别名字较长时，横向条形图更方便读。
数量用条长表达时，通常从0开始。8人与6人的比为4比3；若纵轴从5起画，可见条长变成3与1，看起来像三倍，视觉印象已偏离原来的数值比。
条形图也可以展示多选问题的各类人数，但要说明类别可能重叠，不能把它们误当作互斥整体。
折线图保留自然顺序，但线不是额外测量
周一到周五每天的图书馆访问人数，可以按时间连线。日期、时刻有先后，线帮助观察升降。
无自然顺序的血型、颜色或书店名称，随意连线会制造不存在的连续趋势。若按时间作图，横轴还要反映真实时间间隔，不把间隔一天与间隔一个月画成同样的距离而不说明。
每天只测一次温度，连接线不表示两个观测之间的每分钟温度都恰好沿直线变化。折线图的纵轴可以按分析需要选择非零起点，但必须清楚标刻度，不能用截断后的视觉高度比冒充真实数值比。
扇形图适合把一个整体分成几块
前面的单选到校方式表，类别互不重叠又覆盖全部，可以用一个圆表示。每块角度与面积都对应频率。
多选比例加起来可能超过100%，不能原样塞进表示“受访学生整体”的饼图。若改用“全部选择次数”为分母，画出的则是选择次数构成，要明确它不是人数比例。
两个班都25%的扇形，实际可能是5人或10人，因此要同时交代总体或样本量。样本5人中3人选择某项，虽然是60%，换一个人的回答就变化20个百分点，别只留下一个显得很稳定的百分数。
直方图把数值区间排在数轴上
直方图研究一个数值变量的分布。相邻组柱子相接，横轴是有宽度的数值区间，不是可以任意重排的类别名字。
前面的阅读数据各组等宽，可以用频数或相对频数作柱高，并明确纵轴。读图时看集中位置、跨度、左右长尾、缺口与可能的多个高峰，而不只找最高的柱。
选读：组宽不同，要看面积，不只看高度
若组宽不同，要让柱的面积对应频数，常用
作高度。例如0至10有4条记录，10至30有6条记录，组宽分别10与20，高度应为0.4与0.3。
第二组柱子更低，但面积 更大，包含的记录更多。直接把4与6当不同宽度柱子的高度，会把组宽带来的面积变化也混进数量表达。
使用相对频数密度时，高度为相对频数除以组宽，总面积为1。无论哪种，先读纵轴，再决定能否从高度直接读人数。
读图时，把眼睛看到的量与数据单位对齐
我会先看标题覆盖谁和哪段时间，再看坐标轴单位、起点与间隔。两张图刻度不同，柱子看起来一样高，不表示数值一样。
图标若高宽都放大2倍，面积便放大4倍，不能再把面积印象当成数量只翻倍。只挑一段持续上涨的时间，也可能掩盖更长时间里的回落。
画面漂亮不是证据。先核对图形编码的是长度、面积还是位置，再回到原数值比较。
平均数、中位数、众数：三个问题，不是一个万能答案
平均数保留总量，再均分
对非空的 个数值，算术平均数为
想象把几个杯子中的水量合起来，再平均分成同样的份数。平均的是水量；若杯子形状不同，不能把水面高度直接当成水量来均分。
平均数不一定是原数据中的一个值。几个人实际借书本数为整数，平均数可以是1.4本。它描述总量除以人数，不是某个人真的借了小数本书。
例题：六个成绩的平均数
一份满分120的测验，六个成绩为
总分475，平均数为 分。这里只是在概括这六条成绩，不代表整个学校的平均分。
中位数先排序，再找中间位置
奇数个数据取中间数；偶数个数据取中间两个数的平均。上面的第3、4个数是75与80，中位数为77.5分。
中位数强调位置，不要求是一个真实出现的观测值。有重复数据时，也不能说“严格比它小和严格比它大的人数总相等”。更准确地说，至少一半的数据不大于中位数，至少一半不小于中位数。
例如1、1、1、4、8的中位数为1，严格小于1的数一个也没有。排序的中间位置依然清楚，不能被错误的口头解释否定。
众数问最常出现的值或类别
六个成绩中75出现两次，其他各一次，所以众数为75。到校方式表中，步行频数最高，众数是“步行”，不是数字8；8是它的频数。
2、2、3、4、4的众数为2和4，并列最高。本章对所有数值各出现一次的情况，说没有突出的众数；类别频数完全相同时，直接报告各类一样多，避免给一个没有区分作用的名称。若所有观测都是同一个值，那个值当然是众数。
改变极端成绩，三个中心怎样反应
把前例最高分95改成110，仍在120满分范围内。新总分490，平均数约81.67；中位数仍77.5，众数仍75。最大值的改变明显影响均值，却没有改变中间两个位置。
这里是人为改变一条数据的教学比较，不是建议为了得到较高平均分而修改真实成绩。真实数据的纠正必须有原始记录支持。
使用实验时，可以先保持中间数据不变，只移动最左或最右的值，预测均值是否改变、中位数是否改变。中位数对末端数值通常更稳健，不表示无论怎样改数据它都不变。
选哪个中心，要看我们的问题
五户家庭某月用电量180、195、205、220、700千瓦时。平均数300，中位数205。描述排在中间的一户，中位数更贴近这组数据主体；核对总用电量，平均数又很有用，因为 。
分类问题常看最常见类别；数值分布大致对称、没有明显极端值时，均值常有用；明显偏斜时，可以同时给均值和中位数，并配分布图。
没有一个中心能保证描述所有个体。均值不是“大多数人的实际值”，中位数不是“出现最多的值”，众数也不保留全部总量。
极差与分布：中心相同，队形可能完全不同
比较两组教学数据：
两组均值与中位数都为50。极差是最大值减最小值：
甲为4，乙为40。它们的中心相同，已观测数值的跨度却很不同。
如果这是各五次零件长度记录，可以说甲这五条记录更集中；不能仅凭五条数据就保证整个生产过程今后一定更稳定。样本描述与对过程的推断不是同一层结论。
极差只看两端，会漏掉中间结构
30、31、32、33、70的极差仍为40，却与乙组的中间分布不同。极差不知道多数数据挤在哪里，也不衡量是否达到了某个目标值。
一把偏了2厘米的尺子，重复读数可能很集中，却仍不准确。测量的分散小，与距离真实值近，是不同问题。
之后学习四分位距、方差与标准差，可以利用不同的结构描述分散。现在先记住：一个中心通常不够，还要观察跨度、分布形状与数据来路。
离群值先查原因，不要先删
12、13、13、14、15、47中，47远离其他值，值得回查。但仅凭远离主体，不能断言它是错数，更不能直接替换成自己猜测的14.7。
检查原始表、单位、对象与仪器。确认笔误，可以按记录纠正并保留痕迹；确认测量过程无效，可以按明确规则处理；真实但少见的长等待或高用量，可能正是需要研究的现象。
为观察敏感性，可以分别计算包含与不包含它的结果，但要标明后一种是排除该记录后的另一组数据，不能把删除后的“好看结果”冒充全部样本。
异常值不是自动无效值，缺失值不是自动零值。整理数据的目标是准确保留和解释信息，不是让图形更整齐或让结论更符合期待。
加权平均：谁重复得多，谁按规则占比大
第九章平均速率按时间加权，合并成本按数量加权。这里把同一种思想写成更一般的式子：
本章的平均使用非负权重，且权重总和为正。这样结果位于参与数据的最小值与最大值之间；全为零的权重不能作为分母。
权重可以表示重复次数，也可以来自题目规定的评分比例。它不是随意给喜欢的数字更大分量。
例题：总评的分量不相同
同为百分制的练习、项目、期末成绩分别88、92、76，评分规则给权重30%、20%、50%。
先确认三项分数使用同一量表，再检查规定的比例合计100%。这一检查必要，但单凭和为100%，并不能证明项目定义一定没有遗漏或重复，还要读评分规则。
贡献分别为 、、。
三项满分不同，不能不归一到共同尺度，就拿原始分数套同一个百分比权重。题目若给的是点数累计规则，按那套规则计算，不强行改成另一种平均。
频数就是重复次数
某组20名学生，一周借书0、1、2、3本的人数分别4、7、6、3。平均借书数为
不需要把1抄七次、把2抄六次，乘频数已经保留了重复信息。反过来，只把0、1、2、3平均为1.5，就丢掉每种值出现多少次。
合并组均值，要恢复组总量
两组互不重叠、分数口径相同，甲10人均分80，乙30人均分90。全体平均为
不能直接平均成85。两组人数相同，或两组均值本来相同，简单平均也会得到正确合并值；一般情况下先恢复总分、再除总人数最稳妥。
如果已知组均值只是保留一位小数的近似值，乘人数得到的也是估计总分，不能再报告一个比原数据支持的精度更高的精确全体均值。
比较两组：同条件、中心、分散与人数一起看
两个服务窗口各记录5次等待，记录方法与所选时间段相同：
两组总和30、记录数5，均值都为6分钟。
甲中位数5、极差6；乙中位数6、极差3。
可以说：“这份记录中，甲的中位等待较短，但跨度较大；乙的记录较集中，均值都为6分钟。”
不能仅凭这些数说两个窗口永远一样快，或保证其中一个对未来所有人更好。客流、业务复杂度与抽样方式还可能不同。
比较分布图也要统一刻度。样本人数不同，频数柱高会反映总人数差异；若问题关注分布构成，可用相对频数，并同时保留样本量。
样本大通常能在适当随机设计下减少抽样波动，但不能自动修复偏差。500条同一个人的重复记录，也不能直接与500名不同人的样本混为一谈。
散点图：保留同一对象身上的一对数
想研究阅读时间与测验分数的关系，每名学生要留下完整配对。教学示例为
横坐标为阅读分钟数，纵坐标为同一次测验分数，每名学生一个点。点总体从左下向右上，可以描述为正向关联：阅读时间较大时，分数往往也较大。
这里“往往”很重要。25分钟对应68分，低于20分钟对应的70分，因此不是每一对点都严格上升，也不是已经得到一个精确的一次函数。
不要分别排序两列后重新配对
阅读时间与分数各自排序，再把第一个与第一个拼在一起，可能人为制造向上的趋势。研究关系时，必须保留原来的对象配对。
同一横坐标可以出现几个不同纵坐标：两名学生都读30分钟，不一定得同分。这也提醒我们，数据中的关系不自动是确定函数。
看方向，也看形状与分组
点云向右上是正向关联，向右下是负向关联；还要看是否接近直线、是否弯曲、是否出现不同组，以及有无异常点。
看不出直线趋势，不等于完全没有关系。U形分布可能有很清楚的非线性结构，却不能用单一向上或向下概括。本章先作定性观察，不把任何“相关”都等同于线性相关系数。
普通散点图不按录入先后把点连起来，因为输入表格的先后并不是变量变化的过程。同一对象随时间的轨迹若需要连线，要另说明时间顺序。
样本范围之外，不能随意延长趋势
上面的阅读记录只覆盖10至50分钟。不能仅凭这些点，就断言读500分钟会按同一趋势得到某个分数。测验还有满分边界，关系也可能在其他范围改变。
异常点可能影响趋势判断，但也不能因为一个点不在预期方向就删除。先回查记录与背景，再说明处理方法。
关联不是因果：两个量一起变，不等于谁推动谁
看到阅读时间与分数正向关联，不能只凭散点图断言“增加10分钟必定提高多少分”。可能有其他解释：原本阅读能力较强的学生更愿意阅读；课程兴趣同时影响阅读与表现；只调查某个社团，也可能改变看到的关系。
这些是需要检验的可能解释，不是已经从这份数据确定的事实。统计报告不能为了讲一个顺畅故事，就把一种猜测写成唯一原因。
随机抽样与随机分组做不同的工作
随机抽样考虑从总体中怎样选人，关系到样本覆盖谁、结论能推广到哪里。
随机分组考虑已经参加研究的人怎样进入不同条件。合理的随机分配能减少组别选择与原有特征系统关联的风险，为比较干预效果提供依据，但不保证每次小样本分组都在所有特征上完全平衡。
还要检查是否真正执行分配、有没有中途退出、测量是否一致、组间是否互相影响等。随机两个字不会自动消除全部研究问题。
良好的实验设计可以提供比单纯观察更强的因果证据，但结论仍有不确定性与适用范围。没有随机抽样的实验，可能较适合比较参与者中的效果，却不能不加说明就推广到所有人。
“这份样本中两者常一起变化”是观察描述；“主动改变一个量，会导致另一个量变化”是因果判断。散点图本身不能确定作用方向，也不能排除其他共同影响因素。
抽样方法：人数多，不一定覆盖得对
想研究全校早餐情况，却只在食堂早餐窗口调查很多人，会漏掉不在食堂吃早餐、甚至不吃早餐的学生。增加同一处的问卷数量，并不能自动把遗漏群体补回来。
方便抽样只接触容易遇到的人；自愿扫码可能吸引态度更强烈的人；不完整名单产生覆盖不足；抽中但不回复的人与回复者可能不同，形成无回答偏差风险。
这些都在提醒我们检查产生记录的过程。随机样本也可能偶然偏离总体，有偏的方法也可能某次碰巧接近总体；不能只看这一次数字顺眼，就判断方法没有问题。
简单随机抽样，不只是每个人机会看起来相同
固定从 个对象中不放回地抽 个，简单随机抽样要求每一种可能的 个对象组合有相同被选机会。可以给完整名单编号，再用均匀随机的方法选出不同编号。
它会使每个人入样机会相同，但仅有这一条还不够。例如从同人数的几个班里随机抽一个整班，各学生机会相同，抽到的却只能是整班组合，不能得到任意混合的学生组合，因此不是学生层面的简单随机样本。
按组抽样，要说明怎样分配名额
若希望各班都有记录，可按班级分层，再在每班随机抽取。按人数比例分配通常便于保持整体结构；若各班抽取比例不同，合并估计时还需适当权重，不能把样本中每班人数比例直接当作全体比例。
随机选择不保证所有抽中者都回复。发500份，只收到50份，要报告发送与回复情况，并检查未回复者是否可能系统不同，不把缺失部分自动当成相同答案。
全面调查也会有漏报、重复和测量错误。“问了所有人”可以免去抽取样本的那一步，却不等于后续数据天然无误。
问卷的措辞，也会改变我们测到什么
“为了让学校更文明，你是否支持这个显然更好的方案？”已经在问题里替回答者作了价值暗示。更中性的写法是：“你是否支持方案A？支持、不支持、不确定。”
但态度问题与行为问题仍不同。问某一周实际去了图书馆几次，不能直接替代是否支持延长开放时间；问是否支持，也不能当作实际会去几次。
一道题只问一个清楚问题
“食堂是否便宜又好吃”同时问价格和味道，回答不同意时不知道在反对哪一项。可以拆开问，并给清楚的选项。
“经常阅读吗”没有统一时间范围，不如记录指定七天每天的分钟数。年龄分组10至12、12至14会重叠，要明确如 、，并覆盖实际可能的其他年龄。
允许“其他”“不确定”或按需跳过，可能比强迫每个人选一个不合适类别更诚实；分析时也要说明这些回答与缺失怎样处理，不能无声删除。
例题：改进一个放学后的方便调查
学生会想了解七年级某周的日均课外阅读时间，只在放学后篮球场询问30名愿意停下来回答的人。
总体是该校七年级学生，而现场实际对象还要确认年级，不能把碰巧遇到的其他年级学生混进去。
场地与自愿回答可能使样本偏向某些群体，30人本身不能证明覆盖完整。
可以从七年级完整名单随机抽取，或分班按合适比例随机抽取，再采用同一周、同一定义的记录表。
保留未回复情况，自报时间可能仍有误差。报告写清实际方法与限制，不把一次设计改进说成绝对准确。
把一份数据真正读完：从原始记录到结论
回到前面20名学生的单日阅读记录。它是一份给定的教学样本，没有提供随机抽样过程，所以我们先只描述这20条记录。
表和图告诉我们分布在哪里
四个等宽组的频数为4、10、5、1，说明其中10条在20至40分钟之间。排序还能看见两个25、两个35，以及一条70分钟。
70较其他大多数值高，值得了解背景，但仅凭这个值较大，不能判定它错误或直接删去。
用原数据求精确统计量
20个数相加为647，平均数 分钟。
中间第10、11个数为30与32，中位数31分钟。
25与35各出现两次，并列众数；最大70、最小10，极差60分钟。
结论既说结果，也说范围
可以写：“在这20条单日阅读记录中，平均数32.35分钟，中位数31分钟；一半记录在20至40分钟之间，极差60分钟。统计结果描述这份样本，不能仅凭它推断全校每人每天都读约32分钟。”
同样，若有完整的“阅读时间—测验分数”配对，可以用散点图描述样本关联。若只有两组分别收集的平均数，没有同一对象配对，就不能凭它们编造学生层面的散点图关系。
桌长的三次测量，又怎样概括
119.8、120.0、119.9厘米，均值119.9厘米，中位数119.9厘米，极差0.2厘米。可以报告这些记录的中心与跨度。
但不知道仪器和方法的误差，只凭三次读数不能保证真实桌长必在这0.2厘米范围里。三次都把起点错放，同一个偏差就可能一直存在。这与上一章对舍入区间的提醒完全相接。
综合练习：先想数据能回答什么，再计算
1. 对象与变量
某校从七年级抽取80人，调查指定一周使用图书馆的次数。指出总体、样本、个体与变量类型。
2. 类别与频率
30人各选一种当天主要午餐主食：米饭12、面食9、面包6、其他3。求频率与众数，并选择图形。
3. 四种统计量
等待时间4、5、5、6、7、21分钟，求均值、中位数、众数与极差。
4. 相同中心与不同跨度
甲6、7、8、9、10；乙4、7、8、9、12，中心与极差怎样比较？
5. 加权成绩
三项同为百分制，参与、作业、项目依次95、84、78，占总评20%、30%、50%，总评多少？
6. 哪条线没有实际过程
把四家书店名字排在横轴，依次用折线连接当天销量，有什么问题？
7. 正向关联能确定原因吗
假设样本中气温较高的日子，某场所冷饮销量也较大。能仅凭散点图断定购买冷饮使天气升温吗？
8. 问卷多就一定可靠吗
在晚自习后请路过办公室、愿意扫码的人作答，收到420份，能保证代表全校意见吗？
9. 分组边界
采用 、、，40放哪组？出现70怎么办？
10. 描述与因果分别怎么写
样本散点图显示阅读时间与分数正向关联，写一个可支持的描述，再指出不能直接推出的结论。
11. 组宽不同时，最高柱一定人数最多吗
0至10区间4条，10至30区间6条，用频数密度作高度，哪根柱更高、哪组记录更多？
12. 七天记录与七个人
60人各填7天，共420行，可以称为420名独立受访者吗？其中一行空白可以按0分钟补入吗？
13. 中位数一定严格左右各半吗
数据1、1、1、4、8的中位数是什么？严格小于它的数有几个？
14. 压缩数据之后还能精确恢复吗
阅读数据分成0至20、20至40、40至60、60至80四组，频数4、10、5、1。用组中点得均值33分钟，可以说原始均值一定等于33吗？
回看整门预备代数：工具不同，检查习惯相同
第一章，我们先说清单位，再用位值与数轴记录数量、位置和距离。第二章把方向与变化放进整数运算。第三、四章让单位继续细分，用等值分数、约分、通分和四则运算处理整数写不完的关系。
第五章的小数继续沿用十进制，提醒我们区分精确值与舍入。第六章的百分数始终追问基准是谁。第七章用字母保存一类计算，第八章用方程与不等式找出满足条件的所有允许值。
第九章把两个量的对应写成比、单位率、正比例与反比例，第十章把单位铺成面积、叠成体积，并检查真实测量与理想公式的距离。
最后，统计把一条记录扩展成一组记录。我们既计算中心，也看差异；既看图表，也问样本怎样得到；既描述关系，也不把观察到的关联自动写成因果。
这门课不要求你从此不犯错。我更希望你在遇到新题时，有一套能实际使用的顺序：先问对象与单位，再写数量关系；计算时保留条件，算完回到原问题；数据不够时说清还缺什么，不用一个漂亮数字掩盖不确定。
继续学习：把已经懂的关系带进基础代数
完成预备代数后，下一步的基础代数会更系统地研究表达式、方程、函数和图像。你已经认识字母与坐标，不需要把它们当作陌生的符号重新开始。
一次收费规则可以成为直线模型；不同输入产生的输出，可以排列成表格和图像；统计数据围绕模型的偏离，又会提醒我们模型不是现实本身。
开始下一门课前，可以再做三件检查：能否把一道分数或百分数题的基准说清；能否解释方程为什么这样变形；能否把一个答案连同单位与允许范围读回题意。
这些检查比多背几条孤立公式更能支撑继续学习。我们已经从数走到了关系，再从关系走到数据。接下来，只是把这条路走得更深一些。