数据与统计入门

统计不是“把一堆数算一遍”，而是把一堆杂乱的信息，整理成别人能看懂、能检查、能讨论的结论。

上一章我们在几何里反复见到“量”：长度、面积、体积、角度。量东西时，多量几次取平均，是为了减少偶然误差。

这一章的统计也是同一条线：我们面对一组数据，想回答三个朴素问题。

这组数据的典型水平是多少？

它们散得有多开？

能不能用表格或图，把情况讲清楚？

听起来很生活化，但数学上要严谨。平均数、中位数、众数、极差、频率、统计图，每个工具都有自己的适用范围。乱用工具，结论就会很像“看着有道理，其实没说准”。

先问清楚：这堆数据在说谁

很多同学一看到数据就开始加起来除以个数。

别急。

统计题第一步不是算，而是看清问题。

研究对象是谁？是一批学生、一周气温，还是一条生产线上的零件？

记录的变量是什么？身高、分数、用时这种能计算的，是数值型变量；血型、颜色、选课小组这种只能分类的，是类别型变量。

题目到底要什么？问“典型水平”，通常看平均数、中位数、众数；问“散得多开”，可以先看极差；问“各类占多少”，就要整理频数和频率。

还要顺手检查数据有没有明显离谱的地方。比如身高写成 $3.2\text{ m}$，很可能不是“天赋异禀”，而是录入错了。

课堂题通常默认数据干净。但现实里，先过一眼数据，是统计里很重要的基本功。

频数和频率：一个数人头，一个看比例

拿到一组数据，常见第一步是排序。

排序不是形式主义。中位数要排序，最大值最小值要排序，异常值也常常靠排序才容易发现。

如果数据很多，一个个看就很累。更好的做法是分类或分组，然后统计每类出现了几次。

某一类出现的次数，叫频数，常记作 $f_i$。

总数据个数是 $N$ 时，第 $i$ 类的频率是

频数是“几个”，频率是“占多少”。

比如 40 人里有 9 人选数学，频数是 $9$，频率是

频率有一个很好用的自检：所有类别的频率加起来必须是 $1$，也就是 $100\%$。

如果加出来是 $0.93$ 或 $1.08$，先别急着写答案，八成是漏数、重复数，或者小数百分数换错了。

算术平均数：把总量公平分掉

平均数最像日常语言里的“总体水平”。

它的核心直觉是：把所有数据的总量合在一起，再平均分给每一个数据。

对 $n$ 个数据 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，算术平均数定义为

这不是神秘公式，就是“总和除以个数”。

但平均数有一个很大的性格特点：它会被极端值拉动。

因为极端值也参与总和。总和一变，平均分到每个人身上的数也跟着变。

例 1 某次小测成绩为 $62,\ 75,\ 75,\ 80,\ 88,\ 95$ 分。求算术平均数、中位数、众数和极差。

同一组数据，平均数约 $79.2$，中位数 $77.5$，众数 $75$。

三个数不一样很正常。它们回答的不是同一个问题。

中位数：先排队，再看中间

中位数的想法很朴素：把数据从小到大排队，站在中间的那个，就是中位数。

如果排序后的数据是

那么当 $n$ 为奇数时，中位数是第 $\dfrac{n+1}{2}$ 个数据：

当 $n$ 为偶数时，中间有两个位置，中位数取它们的平均：

这里最容易错的地方就一句话：没排序就取中间，是无效操作。

题目给的数据顺序可能是学号顺序、时间顺序、录入顺序，不一定是大小顺序。

中位数还有一个优点：它不太怕极端值。

例 2 某社区 5 户月收入（千元）为 $8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 60$。用平均数和中位数分别描述典型收入水平。

所以，看到收入、房价、工资这类数据，最好不要只问平均数。

平均数和中位数一起看，信息才完整。

众数：最常见，不是最大

众数是出现次数最多的取值。

注意，是“最常见”，不是“最大”。

对数值型数据，数每个数值出现几次。

对类别型数据，数每个类别出现几次。

众数可能有一个，也可能有多个，还可能没有。

如果两个或更多取值并列出现次数最多，它们都是众数。

如果每个取值都只出现一次，就没有众数。

众数特别适合类别型数据。比如颜色偏好、选课小组、血型，没法求平均数，也没法排中位数，但可以看哪个类别最多。

例 3 某班 40 人选择课外小组：数学 9 人，编程 12 人，美术 7 人，体育 12 人。判断众数，并求“选数学”的频率。

这里如果有人说“众数是 12”，就错了。

$12$ 是频数，不是小组类别。众数应该是“编程组”和“体育组”。

极差：只看最小到最大有多远

极差是最简单的分散程度指标。

对数值数据，极差定义为

它的优点是好算，一眼能看出数据跨度。

它的缺点也非常明显：只看两端，不看中间。

中间的数据是整齐挤在一起，还是分得很散，极差都不告诉你。

看一个极短对比。

甲组数据是 $10,11,12$。中位数 $11$，平均数 $11$，极差 $2$。

乙组数据是 $10,11,40$。中位数还是 $11$，但平均数是

极差是

只看中位数，两组像是一样。

加上平均数和极差，差别马上出来。

这就是统计里很重要的一条经验：一个指标通常不够，至少要知道它没告诉你什么。

统计图：图很直观，也很会骗人

统计图的作用，是把数据变成视觉信息。

但视觉信息有个问题：它很快，也很容易误导。

条形图适合比较互不重叠的类别，比如各小组人数、各城市降水量。

读条形图时，先看纵轴是不是从 $0$ 开始。

如果纵轴从 $6$、$50$ 或 $100$ 开始，柱子的高度差会被放大。实际差一点点，看起来可能像差很多。

折线图适合有自然顺序的数据，尤其是时间序列，比如一周气温、某产品每月销量。

如果类别没有顺序，比如血型、颜色偏好，就别硬连线。线会让人误以为中间有“变化趋势”。

扇形图适合看各部分占整体多少。

如果某类频率是 $p$，对应圆心角就是

比如 $25\%$ 对应

扇形图的所有圆心角加起来必须是 $360^\circ$。

读统计图，可以固定三步。

第一，看标题和单位：图在说谁？单位是人、元、分，还是百分比？

第二，看坐标轴和比例：尤其是条形图，纵轴从几开始？

第三，看结论有没有越界：图能说明相关，不等于直接证明因果。

比如“运动时间多的同学成绩更高”可以是相关。

但要说“运动导致成绩提高”，还需要更多证据。

从扇形图反推数据

扇形图和频率可以互相换。

已知频率，可以算圆心角。

已知圆心角，也可以反推频率和人数。

例 4 某班共 48 人。课外阅读时间的扇形图中，“每天不低于 1 小时”对应圆心角为 $120^\circ$。求这部分学生的人数与频率。

这里的顺序很稳：角度先除以 $360^\circ$，得到占比；占比再乘总人数，得到人数。

概率入门：从频率走向可能性

学完频率，很自然会问：如果硬币抛很多很多次，正面向上的频率会不会稳定在某个数附近？

这个问题就把统计带到了概率。

在最简单的等可能有限模型里，所有结果数量有限，而且每个结果出现的机会相同。

如果样本空间共有 $n$ 个等可能结果，事件 $A$ 包含其中 $k$ 个结果，那么

这句话翻译成人话就是：概率等于有利结果数除以全部可能结果数。

关键前提是“等可能”。

均匀骰子可以用这个模型。

没洗匀的牌、不均匀的硬币，就不能直接套这个公式。

例 5 掷一枚均匀的六面骰子，求向上一面为偶数的概率。

概率不是拍脑袋说“可能很大”。

在等可能模型里，它就是一个可以数出来的比例。

加权平均数：不是所有部分都一样重

还有一种平均数非常常见：加权平均数。

如果第 $i$ 组代表值是 $x_i$，频数是 $f_i$，总数是

那么加权平均数是

这里的 $f_i$ 就是在告诉你：这个值重复了多少次、占多大分量。

如果权重已经直接给成百分比，比如 $40\%$、$30\%$、$30\%$，那就把百分比化成小数相乘再相加。

例 6 某门课程总评由三部分构成：平时练习占 $40\%$，期中考占 $30\%$，期末考占 $30\%$。某生三部分得分依次为 $86$、$90$、$78$。求总评分。

加权平均数的本质是：不同部分的重要程度不同，就不能假装它们一样重。

小结

这一部分其实就抓住几个重点：

• 平均数是“总量均分”，容易被极端值拉动。
• 中位数是“排队看中间”，对极端值更稳。
• 众数是“最常见”，特别适合类别型数据。
• 极差是“最大减最小”，好算，但只看两端。
• 频数是个数，频率是比例。频率总和应为 $1$。
• 统计图很有用，但读图时要看标题、单位、坐标轴起点，尤其警惕纵轴截断的条形图。

自测练习

练习 1 数据 $3,3,5,7,9$ 的众数、中位数和算术平均数分别是多少？

练习 2 数据 $10,20,30,40$ 的中位数是多少？

练习 3 若某频数表四类的频数分别为 $5,5,5,5$，是否有众数？

练习 4 极差是否可能为 $0$？如果可能，给一个例子。

练习 5 甲投篮 3 次，得分为 $2,3,0$；乙投篮 5 次，得分为 $2,2,1,2,3$。分别求两人的平均得分，并说明比较总得分还是平均得分更公平。

“选数学”的频率是

验算一下，四类频率之和是

答案：众数 $3$，中位数 $5$，平均数 $5.4$。

平均得分为

直接比总得分不公平，因为两人投篮次数不同。

比平均得分更公平，它比较的是每次投篮的效率。