数据与统计入门

上一部分的《几何基础与测量》把「量」写进了公式：周长、面积、体积与角度，都依赖单位的统一；同一长度量多次，还会提到取平均来压低误差。 那里的「取平均」其实就是统计最基本的运算——把若干个观测值加起来再除以个数——只不过几何课里的语境是同一个量的重复测量，而统计要面对的是更一般的情形：一堆来自不同个体的数，如何用一个数、一张表、一幅图，把「典型水平」与「分散程度」说清楚。

这部分我们的核心目标不是堆砌公式，而是让三件事真正可检查：能够算出并解释中心指标（算术平均数、中位数、众数），能够算出极差并理解它的局限，以及能够从频数表与条形图里读出频率、做出不夸大的结论。

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统计在问什么

在动手计算之前，值得先想清楚一个统计问题的基本结构，否则容易「看见数据就套平均数」，最后算出一个在语境里毫无意义的数字。

每个统计问题都有一个研究对象：是一批学生、一段时间里的气温记录、还是某条生产线上的零件？弄清对象，是为了在回答问题时知道结论适用于谁。 研究对象确定之后，要问记录的变量是什么：变量可以是数值型的（身高、用时、分数），也可以是类别型的（血型、选择的科目、颜色偏好）；不同类型的变量在后续图表与指标的选择上差别很大。再往下，要明确目的：是想知道这批数据的「典型水平」，还是想知道它们「散得有多开」，抑或是想看各类别各占多大比例？三个目的对应三种不同工具，混用会产生误解。最后还要检查数据的完整性与可靠性：有没有明显的录入错误（例如把一位同学的身高记成 3.2 m），有没有大量缺失？这些判断在实际研究中很重要，课堂题通常默认数据干净，但养成「先过一眼」的习惯，对后续学习有长远好处。

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频数、频率与数据的初步整理

拿到一组数值数据，最先做的事往往是排序：把数值从小到大排好。排序看起来是繁琐的准备工作，但它是求中位数、识别极端值、以及确认数据是否有录入错误的前提。跳过排序直接计算，往往会在中位数的位置上出错，或者把最大值误认成一个普通的数。

当数据量较大时，逐个列出不如分组并统计频数来得直观。把所有可能的取值或区间列成一张表，数出每一类出现了多少次，就得到频数，记作 $f_i$。如果总数据个数为 $N$，那么第 $i$ 类的频率（也叫相对频率）就是

$$\text{频率}_i = \frac{f_i}{N},$$

结果是一个介于 $0$ 与 $1$ 之间的小数，常常写成百分数。频率之和一定等于 $1$（或 $100\%$），这是一个天然的自检工具：如果算完各组频率加起来不是 $1$，说明某处出了错。

频数和频率的区别值得在这里专门说一句，因为考试里频繁出现混用：频数是「个数」，频率是「比例」。条形图的纵轴如果没有标明单位，一定要先弄清楚画的是频数还是频率，否则读图时对「大」「小」的判断会出错。

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算术平均数

算术平均数是最直觉性的「典型水平」：如果把所有数据的总量公平地分摊到每一个个体上，每个个体该分到多少？对 $n$ 个数据 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，定义为

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.$$

这个「公平分摊」的直觉很有用：假设一个班级一共考了 4750 分，共 6 人，那么平均分 $\bar{x} = 475/6 \approx 79.2$ 告诉你，如果每人分数一样多，应该是这个数。这样一来，平均数为什么会被极端值拉动也就显而易见了——极端值参与了「总量」的计算，而「总量」被均摊时，极端值的影响就稀释进了每一个个体。

当数据已经分好组，第 $i$ 组的代表值为 $x_i$、频数为 $f_i$，且 $\sum_i f_i = N$，那么直接对每条数据求和再除以 等价于：

$$\bar{x}_w = \frac{\sum_i f_i x_i}{N}.$$

这里的权数 $f_i / N$ 正是第 $i$ 组的频率。加权平均数与简单算术平均数的区别在于：如果各组代表的「个体数量」不同，简单地把代表值加起来除以组数，就等于默认每组权重相同，这几乎总是错的。

下面通过一道例题把平均数、中位数与众数放在一起对比，让三个概念的差异在同一组数据里同时浮现。

例 1 某次小测成绩（分）为 $62,\ 75,\ 75,\ 80,\ 88,\ 95$，试求算术平均数、中位数与众数，并计算极差。

从这道例题可以看到，三个指标报告的是同一组数据的不同侧面：平均数约 $79.2$，中位数 $77.5$，众数 $75$——三者并不相等。在写解题过程时，切记要说明自己选的是哪个指标，以及为什么它适合回答当前问题，而不是把三个数都算出来然后沉默地收尾。

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中位数：排序是前提，奇偶要区分

设排序后的数据依次记为 $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)}$。当 为奇数时，正中间只有一个位置，即第 个数据，中位数便是 。当 为偶数时，正中间有两个相邻位置，分别是第 个与第 个，中位数取这两个数的算术平均。

这个定义看似简单，却是考试里丢分最多的地方之一，原因几乎总是忘记先排序。数据给出的顺序（比如时间顺序、编号顺序）与数值大小顺序通常不同，直接取「中间那行」会得到一个毫无意义的数。另一个常见错误是偶数个数据时只取其中一个（往往是第 $n/2$ 个），漏掉了取平均的步骤。

中位数的另一个重要性质是对极端值的稳健性。下面这道例题把这一点放在一个足够极端的情境里展示，让对比足够清晰。

例 2 某社区 5 户月收入（千元）为 $8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 60$，试用平均数与中位数分别描述「典型收入水平」。

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众数：「最常见」而不是「最大」

众数的定义是出现次数最多的取值，而不是数值最大的那个，这一点初学者容易混淆。对数值型数据，要数每个数值出现了多少次；对类别型数据，要数每个类别出现了多少次。

众数有三种典型情形需要分别处理。最常见的情形是恰好有一个众数；其次是多个众数：若两个及以上取值并列频数最高，它们都是众数（两个时称双众数，三个以上类似）；还有一种情形是无众数：若每个取值都只出现一次，则不存在众数，这时强行说「众数是某某值」是错误的。

众数的适用语境也值得说清楚。当数据是类别型时，平均数和中位数根本无从计算（你没法对「红色」和「蓝色」取平均），众数是唯一合理的「典型」指标。当数据是数值型但分布高度不均匀、有几个特别集中的聚集点时，众数能直接指出「哪个值最受青睐」。相比之下，若分布比较均匀、没有明显集中的峰值，众数就没什么信息量。

例 3 某班 40 人选课外小组，选择数学的 9 人，编程的 12 人，美术的 7 人，体育的 12 人。判断众数，并求「选数学」的频率。

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极差：只看两端的「跨度」

对数值数据，极差定义为最大值与最小值之差：

$$R = x_{\max} - x_{\min}.$$

极差的优点是计算极为简单，一眼就能看出数据的「覆盖范围」有多宽。但它的局限也同样明显：极差只依赖两个端点，完全看不到中间的数据是均匀分布的还是高度集中的。两组数据极差相同，内部结构可能截然不同；极差小只能说「跨度不大」，不等于数据稳定聚集在中心附近。

这一局限性在与几何测量的联系里尤其清楚：若多次测量同一长度，极差大提示可能存在操作误差或仪器问题，是值得检查的信号；但极差小并不保证测量精准——若每次都偏高了相同的量（系统误差），极差可以是零，但结果仍然是错的。课堂题常用极差来描述分散度，正式的统计分析则会进一步引入方差与标准差，那是后续课程的内容。

在只知道极差的情况下，对两组数据做比较时，应当同时报告中心指标（平均数或中位数），才能给出相对完整的图像。下面这个小对比把这种「同样的中位数，完全不同的平均数与极差」的情形具体展示出来：甲组数据 $10,11,12$，中位数 $11$，平均数 $11$，极差 $2$；乙组数据 $10,11,40$，中位数同样是 $11$，但平均数约 ，极差 。仅凭中位数，两组看起来「一样」；加上平均数与极差，差异立刻显现。这说明只报一个指标，无论是哪一个，往往都不够诚实。

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统计图：读图时须核对的三件事

统计图是数据的视觉语言，不同类型的图适合回答不同的问题，混用会产生误导。

条形图用柱高（或柱长）比较不相交类别的频数或频率，例如各小组人数、各城市降水量等。条形图的力量在于类别之间的直接比较，读图者的眼睛天然地去比较柱的高低；正因如此，纵轴起点的选择至关重要——若纵轴不从 $0$ 开始，柱与柱之间的高度差会被眼睛放大，两个差距不大的值看起来像是相差悬殊，这是新闻图表中最常见的视觉操纵手段之一。

折线图适合有时间顺序或其他自然顺序的变量，视觉上的连线传递了「趋势」信息。当类别之间没有自然顺序时（例如把各血型频数用折线图画出来），连线就没有意义，甚至会被误读成「从血型 A 到血型 B 存在某种变化趋势」——这是一个语义上的错误，不是数据本身的问题。

扇形图（饼图）展示各部分占整体的比例，是频率的几何可视化。圆心角与频率的换算关系是：若某类频率为 $p$，则对应圆心角为 $360^\circ \times p$。例如，占比 $25\%$ 的类别对应 $90^\circ$ 的扇形；各扇形圆心角之和必须等于 $360^\circ$，这是另一个自检工具。扇形图的局限是不适合直接比较两组独立总体（例如两个不同班级各科人数）——两个饼的面积都是 ，比较扇形角度时容易忽略总量的差异。

无论面对哪种图，培养一个固定习惯会避免大多数读图错误：先看标题与单位（图在说谁的什么？单位是人还是元？），再检查坐标轴是否从零开始（尤其是条形图），最后问自己结论是否超出了数据支持的范围。统计图可以揭示相关性，但不能直接证明因果；图里的「趋势」在用语言表述时，必须谨慎区分「A 与 B 之间存在某种关联」和「A 导致了 B」。

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从扇形图反推数据

扇形图与频率之间的换算是双向的：已知频率可以画出扇形，已知扇形角度也可以反推频率与人数。这在综合题里经常出现。

例 4 某班共 48 人，课外阅读时间的扇形图中，「每天不低于 1 小时」对应的圆心角为 $120^\circ$。求这部分学生的人数与频率。

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概率入门

学完频率之后，自然会产生这样的问题：如果一枚硬币抛了很多很多次，正面向上的频率会稳定在某个数附近，那个数是多少？这个问题把统计与概率连接了起来。

在最简单的等可能有限模型（古典概型）中，样本空间是有限个彼此「同等公平」的结果的集合。若样本空间共有 $n$ 个等可能结果，事件 $A$ 包含其中 $k$ 个结果，则 $A$ 的概率定义为

$$P(A) = \frac{k}{n}, \quad 0 \le P(A) \le 1.$$

这个定义把「可能性」量化为「有利结果数占全部可能结果数的比例」，与频率的结构完全一致——当重复试验的次数非常大时，事件发生的频率往往会稳定地趋近于它的概率，这是频率与概率之间直觉联系的核心，严格的极限论证留待后续课程。

「等可能」这一前提是古典概型能够成立的关键，使用时必须先确认它是否成立，而不是默认所有问题都满足。一枚均匀的骰子、一副洗匀的牌，是教学中常用的等可能模型；而一枚不均匀的硬币，或者一个没有洗匀的牌堆，就不满足等可能条件，古典公式就不能直接用。

例 5 向上掷一枚均匀的六面骰子，求向上一面为偶数的概率。

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加权平均数的综合应用

加权平均数在现实中极为常见——成绩加权、价格指数、人口统计……凡是「不同部分的重要程度不同」的场合都会出现。这里再做一道稍复杂的例题，把加权平均数的计算过程与「误用简单算术平均」的后果放在一起对照。

例 6 某门课程总评由三部分构成：平时练习占 $40\%$，期中考占 $30\%$，期末考占 $30\%$。某生三部分得分依次为 $86$、$90$、$78$（均满分 100 分），求该生总评分。

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小结

算术平均数、中位数与众数是回答「典型水平是多少」的三种不同方式，它们对数据分布形状和极端值的敏感程度不同，应当根据数据特点选用，而不是默认套平均数。 极差给出最宽的跨度，但它看不见中间的结构，用「极差小就稳定」来描述分散度是一种过度解读。 统计图的价值在于把数字转化为视觉，但读图必须先核对标题、单位与纵轴起点，结论不能超出图所承载的数据范围。

自检的方法很简单：求中位数前默念「有没有先排序，个数是奇是偶」；读条形图前扫一眼「纵轴从几开始，单位是什么」；写完结论之前问一句「这句话在数据里有没有支撑，有没有在不知不觉中说了因果而不是相关」。把这几个动作养成习惯，统计行为就很难出现低级错误。

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自测练习

练习 1 数据 $3, 3, 5, 7, 9$ 的众数、中位数和算术平均数分别是多少？

练习 2 数据 $10, 20, 30, 40$ 的中位数是多少？

练习 3 若某频数表四类的频数分别为 $5, 5, 5, 5$，是否有众数？

练习 4 极差是否可能为 $0$？如果可能，给出一个例子；如果不可能，说明原因。

练习 5 某加权平均问题：甲投了 3 次篮，得分为 $2, 3, 0$；乙投了 5 次，得分为 $2, 2, 1, 2, 3$。分别求两人的平均得分，并说明哪种比较更公平——比总得分还是比平均得分？