三角形

三角形不就是三条边围起来吗，为什么几何课一上来就盯着它讲这么久？

因为三角形太“硬核”了。三条边一旦定住，形状基本就被锁死。桥梁、屋架、铁塔、游戏里的 3D 模型，全都喜欢把东西拆成三角形，不是为了好看，是因为它稳定、好算、规则少。

什么叫三角形，三条边怎么判断能不能围起来，按边和按角怎么分类，内角和为什么总是 $180°$，外角到底有啥用。

先把话说清楚：什么才算三角形

如果画了三个点 $A$、$B$、$C$，再把 $AB$、$BC$、$CA$ 连起来，三条线段围出一个封闭图形，这就是 $\triangle ABC$。

如果这三个点不在同一条直线上，三条线段会围出一个封闭图形，这就是 $\triangle ABC$。

最容易忽略的一句是：三个点必须不共线。

如果 $A$、$B$、$C$ 排在同一条直线上，你再怎么连，也只是在线上来回走，围不出一块区域。它看起来像“压扁的三角形”，但在几何里这叫退化，不算三角形。

记号也顺手记一下：

• 顶点用大写字母：$A$、$B$、$C$
• 三角形写作：$\triangle ABC$
• 边可以写 $AB$、$BC$、$CA$

有些教材还会把对着 $A$ 的边记作 $a$，对着 $B$ 的边记作 $b$，对着 $C$ 的边记作 $c$。别被字母绕晕，它只是为了后面写公式省事。

三条线段不一定能围起来

有人会问：给我三根小棍子，我把它们头尾相接，不就一定是三角形吗？

不一定。

比如长度是 $1$、$2$、$10$ 的三条线段。两条短的接起来也只有 $3$，离长度 $10$ 的那条还差老远。你可以把它们摆成一条折线，但封不了口。

这就是三角不等式在说的事。

其实判断时不用每次都写三行。

把三条边从小到大排好，只要检查：

这条过了，就能围成三角形。它没过，肯定围不成。

举几个常见例子：

• $3,4,5$：$3+4>5$，能围起来
• $5,5,8$：$5+5>8$，能围起来

顺便把另一个结论也放这里：

意思是：任意两边的差，也必须小于第三边。

你可以把它理解成另一种“够得着”。最长边不能长到离谱，最短边也不能短到完全补不上差距。

按边长分类：看三条边谁和谁一样

这类分类看的是边长关系。说白了，就是问：三条边有没有相等的？

等边三角形

三条边都相等，叫等边三角形，也叫正三角形。

如果 $AB=BC=CA$，那它就是等边三角形。

它的三个角也相等。因为三角形内角和是 $180°$，所以每个角都是：

这类三角形很对称。你从任何一个顶点往对边中点连线，都会把它切成两个完全一样的小三角形。

等腰三角形

有两条边相等，叫等腰三角形。

相等的两条边叫腰，剩下那条叫底边。两腰夹着的角叫顶角，底边两端的角叫底角。

最重要的一句话：

这就是“等边对等角”。那等边三角形算不算等腰三角形？

严格说，算。因为“三条边都相等”当然满足“至少有两条边相等”。只是日常分类时，有些老师会把“等腰”默认说成“只有两条边相等”，所以看题目语境。

不等边三角形

三条边都不相等，叫不等边三角形。

它没什么对称性。一般随手画出来的三角形，大概率都是这种。

还有一个很实用的对应关系：边越长，对着的角越大；角越大，对着的边越长。

内角和：为什么老是 $180°$

很多人第一次学三角形，会做一个撕纸实验：把三角形三个角撕下来拼在一起，刚好拼成一条直线。

这个实验很有用，但它只是帮你相信结论。真正的证明要靠平行线。

证明思路不复杂。

过顶点 $A$ 作一条直线，让它平行于 $BC$。因为平行线会产生相等的内错角，$\angle B$ 和 $\angle C$ 可以被“搬”到 $A$ 的两侧。最后它们和 $\angle A$ 拼成一个平角。

平角是 $180°$，所以三角形三个内角加起来就是 $180°$。

这个定理非常像一个万能余额表：

知道两个角，第三个角立刻出来。

比如 $\angle A=50°$，$\angle B=70°$，那：

按角分类：锐角、直角、钝角

边长分类看“边”。角度分类看“角”。

这两套分类可以同时存在。比如“等腰直角三角形”就是按边看是等腰，按角看是直角。

所以不要说“这个三角形有两个钝角”。那不是三角形，是内角和先崩了。

外角：把边延长后，多出来的那个角

外角这个概念，一开始看着像多此一举。

但几何题里它很常见，因为它能把两个不相邻的内角合成一个角。

把 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 沿着 $C$ 的方向延长到点 $D$，那么 $\angle ACD$ 就是顶点 $C$ 处的一个外角。

外角有两个关键性质：

以及：

第一条是等式，第二条是比较大小。

为什么等于？因为 $\angle ACD$ 和 $\angle ACB$ 拼成平角：

而三角形内角和也给出：

两边一对照，$\angle ACD$ 就只能等于 $\angle A+\angle B$。

三个特殊角色：直角、等腰、等边

直角三角形

如果一个三角形里有一个角是 $90°$，它就是直角三角形。

直角对面的边叫斜边。另外两条边叫直角边。

两个锐角相加一定是：

所以直角三角形的两个锐角互余。互余是加起来 $90°$，互补是加起来 $180°$，这两个词别混。

还有一个提前记住的结论：

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

也就是：如果 $M$ 是斜边 $AB$ 的中点，那么

现在先认识它。等学到圆，你会发现它其实和“直径所对圆周角是直角”是一家人。

等腰三角形的三线合一

等腰三角形最香的地方，是三线合一。

从顶角顶点往底边作一条线，如果它是下面三种之一，那它同时也是另外两种：

• 顶角平分线
• 底边上的中线
• 底边上的高线

比如 $AB=AC$，从 $A$ 连到底边 $BC$ 的中点 $M$。

那这条 $AM$ 同时满足：

解题时一看到等腰三角形，可以先想：要不要连顶点到底边中点？ 很多题就是靠这一条辅助线打开的。

等边三角形

等边三角形是等腰三角形的满配版。

三边相等，三角都是 $60°$，任意一条中线都同时是高线和角平分线。

如果边长是 $a$，高是：

面积是：

这两个公式用到了勾股定理。现在不用硬背推导，先知道它们从“把等边三角形切成两个 $30°$-$60°$-$90°$ 直角三角形”来。

为什么三角形这么稳定

四边形有点“软”。

你拿四根等长小棍围成一个正方形，再轻轻推一下，它可以变成菱形。四条边长度没变，但角度变了。

三角形不一样。

三条边长度一旦确定，三个角也跟着确定，形状就锁住了。这就是三角形的稳定性，更正式地说，它背后对应的是 SSS 全等条件。

这就是为什么桥梁桁架、屋顶人字梁、输电铁塔都喜欢三角结构。

工程师不是在做几何题，他们是在借三角形的刚性对抗变形。

计算机图形学也一样。复杂曲面最后会被拆成很多小三角形，因为三角形是最简单、最稳定、最容易计算的平面单元。

例题区

例题 1：角度比例

$\triangle ABC$ 中，$\angle A=2\angle B$，$\angle C=3\angle B$。求三个角。

例题 2：三组边能不能成三角形

判断 $3,4,5$；$5,5,8$；$2,3,7$ 能否构成三角形，并按边分类。

例题 3：外角

$\triangle ABC$ 中，$\angle B=40°$，$\angle C=65°$。延长 $BC$ 到 $D$，求外角 $$。

例题 4：等腰钝角

等腰三角形的顶角是 $100°$，求两个底角，并判断按角分类。

例题 5：角度比为 $1:2:3$

三角形三个内角之比为 $1:2:3$，判断它的角度类型。

小结

三角形不是“三条线随便拼”。三点要不共线，三条边还要满足三角不等式。

• 按边分类，看边长是否相等：等边、等腰、不等边。
• 按角分类，看有没有 $90°$ 或超过 $90°$ 的角：锐角、直角、钝角。
• 三角形三个内角永远加起来 $180°$。这个定理是后面大量角度计算的底座。
• 外角等于两个不相邻内角之和。遇到延长线，别忘了它。
• 等腰三角形有底角相等和三线合一；等边三角形三个角都是 $60°$；直角三角形两个锐角互余。

最后，三角形稳定，不是口号。三边定下来，形状就定下来。这就是它能从几何课本一路跑到桥梁、屋顶和 3D 建模里的原因。

练习

练习 1：三角形三个内角满足 $\angle A:\angle B:\angle C=2:3:7$。求各角度数，并判断按角类型。

练习 2：判断 $6,6,6\sqrt{2}$ 能否构成三角形。若能，按边分类。

练习 3：等腰三角形的一个底角是 $35°$，求顶角。

练习 4：$\triangle ABC$ 中，$\angle A=80°$，$\angle B=55°$。延长 $BC$ 到 $D$，求外角 $$。

这三个条件合起来叫三角不等式。

$5,5,8$：

能构成三角形。有两条边相等，所以是等腰三角形。

得到：

因为 $105°>90°$，所以它是钝角三角形。

所以它其实是等腰直角三角形。

也可以检查：