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几何变换初步：让图形动起来

上一部分我们用公式把各种立体的体积算得明明白白——长方体、圆柱、圆锥，一个都没落下。这一篇，我们把目光收回平面，但视角换了：不再只是看图形静止地摆着，而是让它动起来。

想象你在玩手机上的拼图游戏，左边有一块奇形怪状的碎片，你拖着它往右边移，觉得不对，再转一下，嗯，翻过来，完美！啪地一声插进去了。这一套"拖、转、翻"的操作，就是今天要学的几何变换。或者你玩过《俄罗斯方块》吗？那些形状各异的方块，向左向右移动是平移，按下旋转键是旋转——数学里早就给这些操作起好了名字，而且有一套精确的语言来描述它们。

几何变换不是"说着玩的花样"，它和全等、对称、相似这些概念紧紧相连，是初中几何里非常核心的一块内容。学好它，做题时你会发现很多"怎么证这两条线段相等"的难题，变换一下就秒了。

什么是几何变换

几何变换，简单说就是：按照某个规则，把平面上的图形从一个位置"搬"到另一个位置，或者改变它的样子。每一次变换，都涉及三个角色——原像（pre-image）是变换之前的图形，常记为 $F$ 或顶点 $A,B,C$ ；规则决定"怎么变"，比如往哪个方向移、绕哪个点转多少度、沿哪条轴翻折；像（image）是变换之后的图形，常记为 $F'$ 或顶点 $A',B',C'$ 。

我们今天主要研究三种"刚体变换"：平移、旋转、反射（轴对称）。为什么叫"刚体"？因为这三种变换就像移动一块硬纸板——你可以拖着它走，可以转它，可以翻过来，但纸板本身不会变形，所有的边长、角度统统保持不变。变换前后的图形，大小和形状完全相同，专业说法叫全等。

刚体变换与相似变换的关键区别在于：把图形拉大或缩小叫位似或相似变换，那就不再保持边长不变了，这里暂时不涉及。今天我们讨论的平移、旋转、反射，全都保持任意两点之间的距离不变，数学上管这种性质叫等距变换（isometry）。

几何变换三类型总览——平移、旋转、反射并排展示，三角形在坐标系中移动、旋转、翻折，手绘风格，中文标注

平移变换：整体地"滑"过去

平移的定义与直觉

平移（Translation）的含义出奇地简洁：把图形上每一个点，沿着同一个方向，移动同样的距离。这里有两个关键词，缺一不可——"同一方向"和"同样距离"。如果有些点移动了5厘米，有些移动了6厘米，那就不是平移，而是"扭曲"了。

生活里的平移场景太多了：推拉门开关的时候，门整体地沿一条水平线移动；电梯在竖直方向上升或下降；棋盘上的棋子从一格挪到另一格（不旋转、不翻面）。这些例子有一个共同点：整个物体在运动，但物体内部的相对位置保持完全不变。

平移的性质

平移变换有几条在解题中极为好用的性质，理解了它们的来源之后记忆才真正牢固。连接对应点 $AA'$ 、 $BB'$ 、 $CC'$ 的线段，彼此平行，长度都等于平移距离——这是因为每个点走了完全相同的一段"位移"，所以这些小箭头方向和长度也完全相同，当然平行且等长。由此可知，对应角也相等（角不会因为整体移动而发生变化），原像与像全等（形状和大小彻底不变）。

平移在坐标系中的计算

在平面直角坐标系中，平移可以用一个平移向量 $(a, b)$ 来描述：向右移 $a$ 个单位（若 $a/lt0$ 则向左），向上移 $b$ 个单位（若 $b<0$ 则向下）。坐标变换公式非常简洁：

(x,\; y) \;\longmapsto\; (x+a,\; y+b)

所有顶点都套这个公式，新坐标就出来了。平移不改变图形形状，不改变角度，所以是最"温柔"的一种变换——只需把每个点的横纵坐标分别加上偏移量即可，没有任何复杂的角度运算。

例题一：坐标平移

题目：三角形 $\triangle ABC$ 的顶点坐标为 $A(2, 1)$ 、 $B(5, 1)$ 、 $C(4, 4)$ 。将 $\triangle ABC$ 沿向量平移，求平移后三角形的顶点坐标。

将每个顶点的横坐标加 $-3$ ，纵坐标加 $2$ ，依次计算：

A'=(2+(-3),\;1+2)=(-1,\;3)

旋转变换：绕着一个点"转"起来

旋转的定义与直觉

旋转（Rotation）比平移多了"方向"这一维度：把图形绕平面上某个固定点，沿某个方向，转过一个固定角度。这个固定点叫做旋转中心。

想象钟表的指针：分针绕着表盘中心旋转，中心是旋转中心，每一分钟转 $6°$ ，方向是顺时针。再想象游乐园里的旋转木马——那一圈木马绕中心轴旋转，每匹马到中心的距离不变，旋转的角度也一样。这两个例子揭示了旋转最本质的特征：每个点到旋转中心的距离始终保持不变，整个图形只是绕中心"转了个身"。

旋转有三要素，缺一不可：旋转中心 $O$ （绕哪个点转）、旋转角度（转多少度，记为 $\alpha$ ）、以及旋转方向（顺时针还是逆时针，做题时要看清楚题目要求）。如果在题目中只给出了两个要素，旋转就是不确定的。

旋转的性质

旋转变换的性质同样有规律可抓。对应点到旋转中心等距： $OA = OA'$ ， $OB = OB'$ ，旋转中心始终"拽着"每个点，距离不变——这是旋转最核心的不变量。与此同时，对应点与中心连线的夹角等于旋转角： $∠ A O A^{'} = ∠ B O B^{'} = \dots =$ ，这是判断旋转量的工具。最终，旋转不改变图形大小和形状，变换前后图形全等。

旋转变换示意——三角形绕原点O旋转角度α，对应点OA=OA'，OB=OB'，以弧形箭头标注旋转角，坐标系手绘风格

旋转在坐标系中的计算

绕原点 $O(0,0)$ 旋转时，有几个常用公式（以逆时针为正方向）：

旋转角度	变换公式
逆时针 $90°$	$(x,y)\mapsto(-y,\;x)$
顺时针 $90°$	$(x,y)\mapsto(y,\;-x)$

记忆技巧：逆时针 $90°$ 是把 $x$ 和 $y$ 互换，再给新的第一个坐标加个负号（即 $-y$ 在前， $x$ 在后）。顺时针 $90°$ 则是另一种互换方式： $y$ 在前（不取负），在后。最简单——两个坐标都取反，与旋转方向无关。

旋转中心不是原点时，初中阶段更常见的做法是在方格纸上作图，或者根据"等距 + 等角"的性质用圆规一步步作出对应点。若要使用代数方法，可以先平移使旋转中心与原点重合，套用公式后再平移回去，这个思路在高中会系统化。

例题二：绕原点旋转

题目：点 $P(4, 2)$ 绕原点逆时针旋转 $90°$ ，求旋转后的点 $P'$ 的坐标。

套用逆时针 $90°$ 公式 $(x,y)\mapsto(-y,\;x)$ 。这里 $x=4$ ，，因此：

例题三：旋转中心的确定

题目：已知 $\triangle ABC$ 绕某旋转中心旋转 $90°$ 后得到 $\triangle A'B'C'$ 。已知，。若旋转方向为逆时针，求旋转中心的坐标。

设旋转中心 $O(p,q)$ ，由旋转性质 $OA=OA'$ ，即：

\sqrt{p^{}}

反射变换：沿一条线"翻"过去

反射的定义与直觉

反射（Reflection），也叫轴对称变换：把图形沿某条直线 $l$ 翻折，翻折后和原来的图形完全重叠。这条直线 $l$ 就叫做对称轴。

生活里最熟悉的反射场景是镜子。你站在镜子前，你的镜像就是你的反射像，对称轴就是那面镜子所在的那条线。再想想蝴蝶翅膀、雪花、汉字"中"——这些图形本身就是自己的反射，即轴对称图形。但反射变换不限于对称图形，任何图形都可以关于任意直线作反射。

反射与平移、旋转有一个微妙区别：反射会改变图形的"朝向"，就像镜子里的字是反的。举个例子，字母"b"关于竖直轴反射后会变成"d"。平移和旋转不会改变朝向，而反射会——在更高级的课程里这叫做"方向翻转"（orientation reversal），现在了解一下就好。

反射的性质

反射变换的性质可以从对称轴的几何角色来理解。对称轴上的点变换后还在原位，因为它们"本来就在镜子上"，不需要移动。对于轴外的点，连接 $A$ 和 $A'$ 的线段被对称轴垂直平分——这既是反射的定义，也是判断对称点的工具。由等距性质（等距变换）可知，对应线段相等，对应角相等，原像与像全等。

反射在坐标系中的计算

最常见的三种反射（对称轴为坐标轴或直线 $y=x$ ）形成了一套干净的记忆体系：

对称轴	坐标变换
$x$ 轴	$(x,y)\mapsto(x,\;-y)$
$y$ 轴	$(x,y)\mapsto(-x,\;y)$

关于 $x$ 轴反射，就是把纵坐标取反（上下翻）；关于 $y$ 轴反射，就是把横坐标取反（左右翻）；关于 $y=x$ 反射，就是把 $x$ 和 $y$ 互换（沿对角线翻）。三个规则彼此对称，容易互相印证——关于 $y=x$ 的反射把轴上的点变成，恰好落到轴上，符合几何直觉。

反射变换示意——三角形关于直线l（y轴和y=x）的轴对称，对应点连线被对称轴垂直平分，手绘坐标系，中文标注对称轴

例题四：轴对称坐标计算

题目：已知点 $M(-3, 5)$ ，分别求它关于 $x$ 轴、 $y$ 轴以及直线 $y=x$ 的对称点。

关于 $x$ 轴：纵坐标取反，横坐标不变。

$M_1=(-3,\;-5)$

直观检验： $M$ 到轴的距离为，到轴的距离为，两点连线竖直（横坐标相同），被轴垂直平分 ✓。

组合变换：把几个动作叠起来

实际问题里，经常需要依次做多种变换：先平移再旋转，先反射再平移，或者更多步骤的组合。这叫做组合变换（或复合变换）。在理解组合变换时，有一个非常重要的事实需要警惕：

先做哪个变换，顺序不同，结果通常也不同！ 就像你早上先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子——结果完全不一样。做题时，必须严格按照题目给出的顺序逐步计算，千万不要随意交换顺序。数学上，平移和旋转、旋转和反射的组合一般都不满足交换律，这是一个反直觉但十分重要的事实。

例题五：复合变换

题目：对点 $T(3, -1)$ 依次进行以下变换：① 关于 $y$ 轴反射；② 再向下平移 $4$ 个单位。求最终点 $T''$ 的坐标。

第一步，关于 $y$ 轴反射： $(x,y)\mapsto(-x,y)$ 。

T = (3, - 1) \mapsto T^{'} = (

三种变换与全等的关系

全等图形的"变换视角"

"全等"在初中几何里意味着：两个图形完全一样，不管放到哪，对应边长相等，对应角相等。我们可以用变换语言重新描述"全等"——而且这个描述比"对应边相等、对应角相等"更加本质：

两个图形全等，当且仅当可以通过若干次平移、旋转、反射的组合，将其中一个变换成另一个。 这句话非常强大。以前做"证明两线段相等"或"证明两角相等"的题目，有时候找不到合适的定理，但如果你能找到一个变换，证明两个三角形在变换下互相对应，那全等就自然成立了。

为什么三种变换都保全等

因为这三种变换都是"刚体运动"——图形在运动过程中，任意两点之间的距离始终不变。数学上管这种性质叫等距变换（isometry）。距离不变 $\Rightarrow$ 边长不变 $\Rightarrow$ 角度不变（余弦定理： $\cos\angle A$ 完全由三边长决定） $\Rightarrow$ 形状和大小都不变 $\Rightarrow$ 全等。这就是为什么平移、旋转、反射后图形总是全等的：它们从根本上就"不允许"改变任何长度。

此外，还有一个进阶的定理值得了解（在高中会接触到正式证明）：如果两个全等图形有相同的朝向（即没有翻转），可以只用平移和旋转就把它们对应起来；如果两个全等图形朝向相反（就像一个字母和它的镜像），则需要至少一次反射。换一种游戏比喻：平移和旋转就像在桌面上滑动、旋转一块拼图板，而反射相当于把拼图板翻面。

综合例题演练

例题六：利用反射证明线段相等

题目：在等腰三角形 $\triangle ABC$ 中， $AB=AC$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点。证明 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的轴对称轴，且。

以直线 $AD$ 为对称轴作反射变换。由于 $A$ 在对称轴 $AD$ 上，反射后 $A$ 不动。 $D$ 也在对称轴上，反射后 $D$ 不动。

例题七：平移向量的逆向求法

题目：已知四边形 $ABCD$ 平移后得到 $A'B'C'D'$ ，其中，。若，求的坐标，并求平移向量。

平移向量由任意一对对应点直接计算，取最方便的 $A$ 和 $A'$ ：

\vec{v}=\overrightarrow{AA'}=(-2-1,\;7-3)=(-3,\;4)

例题八：综合变换判断

题目：下列说法中，哪些正确，哪些错误？（1）平移不改变图形的大小和形状，所以平移后图形全等。（2）旋转会改变图形的面积。（3）反射变换后，图形的周长改变。（4）经过若干次平移、旋转、反射后，两个全等图形一定能完全重合。

（1）正确。平移是等距变换，边长和角度均不变，全等成立。这是等距变换的直接推论，毫无疑问是正确命题。

（2）错误。旋转只改变图形的位置（角度），不改变任何边长，而面积由边长（以及三角形情形下的夹角）共同决定。更直接地说，等距变换保持所有距离不变，自然也保持面积不变——面积是距离的平方量纲，由边长确定，旋转碰不到它。

（3）错误。反射是等距变换，对应边长不变，周长（所有边长之和）自然也不变。类比旋转的分析就可以得出这个结论。

。这是等距变换基本定理的内容：任意两个全等图形，总能找到平移、旋转和反射的组合，使它们完全重合。朝向相同的全等图形只需平移加旋转，朝向相反的还需要至少一次反射，但无论如何，有限次操作总能做到。

课后练习

练习一：正方形 $ABCD$ 的顶点坐标为 $A(0,0)$ 、 $B(2,0)$ 、 $C(2,2)$ 、 $D(0,2)$ 。将绕原点逆时针旋转，求旋转后正方形的顶点坐标，并说明旋转后的正方形与原正方形有哪些点重合。

用公式 $(x,y)\mapsto(-y,x)$ ： $A'=(0,0)$ ， $B^{'} = (0, 2)$ ，，。，即原点在旋转前后不动（旋转中心始终不动）。原正方形在第一象限，旋转后新正方形在第二象限，两者除原点外没有其他重合点。

练习二：点 $P(-4, 3)$ 先关于直线 $y=x$ 作反射，再向右平移 $5$ 个单位，求最终点 $P''$ 的坐标。如果先向右平移再关于 $y=x$ 反射，结果是否相同？

先反射后平移：关于 $y=x$ 反射： $(-4,3)\mapsto(3,-4)$ ；再向右平移 $5$ ： $(3+5,-4)=(8,-4)$ ，故。：先向右平移：；再关于反射：，得到。两种顺序结果不同——，再次印证了变换的顺序不可随意对换。

练习三：已知 $\triangle PQR$ 中， $P(1,2)$ 、 $Q(4,2)$ 、 $R(3,5)$ 。以 $\triangle PQR$ 关于轴的对称三角形为。（1）求的顶点坐标；（2）证明；（3）是否存在一个旋转，能将变换为？说明理由。

（1）关于 $y$ 轴： $(x,y)\mapsto(-x,y)$ ，故 $P'=(-1,2)$ ，，。（2）反射是等距变换，故两三角形全等。（3）不存在旋转能将变换为。原因：的定向（顶点按逆时针排列时）与相反（反射改变定向），旋转不改变定向，因此旋转无法实现这一变换，必须有反射参与才行。

小结

几何变换的核心是让图形"动起来"。平移让图形沿固定方向滑动，每个点走同样的路程，坐标规则是 $(x,y)\mapsto(x+a,y+b)$ ，最为简洁；旋转让图形绕固定点转过固定角度，每个点到旋转中心的距离始终不变，坐标计算在绕原点的特殊情形下有现成公式，其余情形靠几何性质（等距等角）逐步推算；反射沿对称轴翻折，对应点连线被对称轴垂直平分，是三种变换中唯一会改变图形朝向的操作。

三种变换都是刚体运动，图形变换前后始终全等——这不是巧合，而是它们从根本上保持了任意两点间距离不变，由此推出边长不变、角度不变、面积周长均不变。组合变换是更一般的情形，需要严格按顺序执行，因为变换的顺序一般不可交换。

学会用变换的眼光看图形，很多需要苦苦寻找全等条件的题目，往往指出一个旋转或反射就豁然开朗。而当你在之后遇到相似变换、坐标平面上的函数图像平移伸缩时，今天打下的底子会让你少走很多弯路——那些变换只是把"刚体"换成了"橡皮泥"，思维方式完全相通。

α

\angle AOA' = \angle BOB' = \cdots = \alpha

- x

-x

A(0,0)

2

+

q^{2}

=

\sqrt{p^{2} + (q - 2)^{2}}

\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt{p^2+(q-2)^2}

-

3

,

-

1

)

T=(3,-1)\;\mapsto\; T'=(-3,-1)

A(1,3)

B'=(0,2)

几何变换初步：让图形动起来 | 自在学

,

1

)

\left(\dfrac{-3+5}{2},\dfrac{5+(-3)}{2}\right)=(1,1)