几何变换，图形不是只能站着

很多同学第一次看到平移、旋转、反射，会觉得这章很像手工课。 把三角形拖到右边。把正方形转一下。把图形沿一条线翻过去。

听起来确实像在玩拼图。但数学真正关心的是：图形动了以后，边长、角度、面积、朝向有没有变？

平移、旋转、反射都是刚体变换。图形可以换位置，可以转身，可以翻面，但不会被拉长、压扁或扭歪。

先把“变换”这件事说清楚

变换前后的图形为什么总有一堆撇号，比如 $A'$、$B'$？ 因为我们需要区分“动之前”和“动之后”。

动之前的图形叫原像。

动之后的图形叫像。

如果点 $A$ 经过变换跑到了新位置，我们就把新点记作 $A'$，读作 “A 撇”。

所以 $A$ 和 $A'$ 是一对对应点。同理，$B$ 对应 $B'$，线段 $AB$ 对应线段 $$。

下面这个小实验可以直接拖参数。

红色是原三角形，蓝色是变换后的三角形。你可以先只看图，不急着算。

平移：整块图形一起滑过去

平移是不是就是移动？

是，但要补两个条件。图形上每一个点，都沿同一个方向，移动同样的距离。 这才叫平移。

比如推拉门开关，门板整体向左或向右滑。门板没有转，也没有翻，更没有变形。

再比如棋子从棋盘上一格挪到另一格。如果棋子本身不转动，只是整体搬过去，这就是平移的直觉。

平移最重要的性质

连接对应点：

这些线段互相平行，并且长度相等。 原因很朴素：每个点走的是同一个位移。 所以这些小箭头方向一样、长度一样。

同时，平移不会改变边长，不会改变角度，也不会改变面积。

结论就是：

平移前后的图形全等。

坐标里怎么写平移

如果一个点 $(x,y)$ 向右平移 $a$ 个单位，向上平移 $b$ 个单位，它会变成：

如果 $a$ 为负数，就是向左。

如果 $b$ 为负数，就是向下。

这个 $(a,b)$ 叫平移向量。

别把它想复杂了。它就是在告诉每个点：“横坐标加多少，纵坐标加多少。”

例题 1：坐标平移

题目：三角形 $\triangle ABC$ 的顶点为 $A(2,1)$、$B(5,1)$、$C(4,4)$。把它沿向量 $(-3,2)$ 平移，求 、、。

旋转：绕着一个中心转同样的角

旋转是不是只要知道转了多少度就行？

还不够。旋转至少要说清三件事：

1. 绕哪个点转，这个点叫旋转中心。
2. 转多少度，这个叫旋转角。
3. 顺时针还是逆时针，这个叫旋转方向。

少一个，图形最后会落在哪里就不确定。

钟表指针是最熟的例子。指针绕表盘中心转。中心不动，每个点到中心的距离不变。分针走一分钟，方向转了 $6^\circ$。

旋转木马也一样。木马绕中心轴转，每匹马离中心多远，转完以后还是多远。

这就是旋转的本质：

对应点到旋转中心的距离相等，对应点和中心连线的夹角等于旋转角。

绕原点旋转的三个常用公式

初中最常用的是绕原点 $O(0,0)$ 转。

把逆时针当作正方向，常见公式是：

怎么记？

逆时针 $90^\circ$：交换 $x,y$，然后让新横坐标变成负的。

顺时针 $90^\circ$：也交换 $x,y$，但变负的是新纵坐标。

$180^\circ$ 最好记，两个坐标都取反。

如果旋转中心不是原点，思路也不神秘：

先把旋转中心当成新的原点，看点相对中心的坐标；转完以后，再把中心的位置加回去。

例题 2：绕原点逆时针 $90^\circ$

题目：点 $P(4,2)$ 绕原点逆时针旋转 $90^\circ$，求 $P'$。

例题 3：反过来找旋转中心

题目：点 $A(0,0)$ 绕某点 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 后到了 $A'(0,2)$。求旋转中心 。

反射：沿一条线翻过去

反射是不是轴对称？

对。反射也叫轴对称变换。

给定一条直线 $l$，把图形沿这条线翻折过去。翻过去后的点，就是原点的反射像。这条直线 $l$ 叫对称轴。

镜子就是最生活化的例子。你站在镜子前，镜子里的你和真实的你大小一样，但左右方向反了。

这就是反射和平移、旋转最明显的不同：

反射会改变图形的朝向。

字母 b 关于竖直方向反射，会变得像 d。它没有变大变小，但朝向变了。

反射的性质

反射有一个非常好用的判断标准：

对应点连线被对称轴垂直平分。

也就是说，如果 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点是 $A'$，那么：

1. 线段 $AA'$ 垂直于 $l$。
2. $AA'$ 的中点在 $l$ 上。
3. $A$ 和 到 的距离相等。

如果点本来就在对称轴上，它反射后还是自己。

所以对称轴上的点，是“不动点”。

坐标里的三种常见反射

这三条最常考：

关于 $x$ 轴反射，上下翻，所以纵坐标取反。

关于 $y$ 轴反射，左右翻，所以横坐标取反。

关于 $y=x$ 反射，沿对角线翻，所以横纵坐标交换。

例题 4：三个反射一次看完

题目：点 $M(-3,5)$ 分别关于 $x$ 轴、$y$ 轴、直线 $y=x$ 反射，求对应点。

组合变换：顺序别乱换

先反射再平移，和先平移再反射，是不是一样？

通常不一样。 这点很容易被低估。 你可以把变换想成一串操作。操作顺序变了，最后位置可能完全不同。

就像先把纸翻面再往右推，和先往右推再翻面，最后不一定落在同一个地方。

例题 5：先反射再平移

题目：点 $T(3,-1)$ 先关于 $y$ 轴反射，再向下平移 $4$ 个单位。求最后的点 $T''$。

为什么它们都和全等绑在一起

为什么每讲一个变换，都要强调“全等”？

因为这才是几何变换真正有用的地方。 两个图形全等，意思是大小和形状完全一样。

从变换角度看，可以这样理解：

平移和旋转不会改变朝向。 反射会改变朝向。

所以有些图形看起来全等，但像镜像一样左右颠倒，这时只靠平移和旋转不够，必须让反射参与。

这里有个做题上的好处：

当你想证明两条线段相等、两个角相等时，不一定非要死找全等三角形条件。

如果你能指出一个变换把某个点、某条线段、某个角送到另一个对应位置，结论就会自然出来。

综合例题：用变换眼光看证明

例题 6：等腰三角形的对称轴

题目：在等腰三角形 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点。证明 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的对称轴。

例题 7：反向求平移向量

题目：四边形 $ABCD$ 平移后得到 $A'B'C'D'$。已知 $$，，。求 ，并求平移向量。

例题 8：判断对错

题目：判断下面说法。

（1）平移后图形全等。

（2）旋转会改变图形面积。

（3）反射会改变图形周长。

（4）两个全等图形一定能通过若干次平移、旋转、反射重合。

课后练习

练习 1：正方形 $ABCD$ 的顶点为 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(2,2)$、$D(0,2)$。把它绕原点逆时针旋转 ，求 的顶点坐标。哪些点和原图形重合？

练习 2：点 $P(-4,3)$ 先关于直线 $y=x$ 反射，再向右平移 $5$ 个单位，求最终点 $P''$。如果先平移再反射，结果一样吗？

练习 3：已知 $\triangle PQR$ 中，$P(1,2)$、$Q(4,2)$、$R(3,5)$。它关于 $y$ 轴的对称三角形为 。

（1）求 $P'$、$Q'$、$R'$。

（2）证明两个三角形全等。

（3）是否存在一个旋转，能把 $\triangle PQR$ 变成 $\triangle P'Q'R'$？

小结

几何变换不只是“图形动了”。 它更像是在问：图形动了以后，什么东西还稳稳没变。

• 平移：每个点走同一个向量。
• 旋转：每个点绕同一个中心转同一个角。
• 反射：每个点沿对称轴翻过去，对应点连线被对称轴垂直平分。

这三种变换都保持距离，所以都保持全等。

区别在于：平移和旋转不改变朝向，反射会改变朝向。

做题时别只背公式。先问自己一句：

这个图形到底是滑过去了、转过去了，还是翻过去了？

一旦看出这个动作，很多线段相等、角相等的问题，就不再像凭空猜出来的。

两边平方后消去 $p^2$：

解得：

所以由 SSS 可知：

其中 $A'=A=(0,0)$，因为旋转中心不动。除了原点外，没有其他顶点重合。

所以 $P''=(8,-4)$。

若先平移：

再关于 $y=x$ 反射：

结果不同。

（2）反射是等距变换，保持所有边长和角度，所以两个三角形全等。

（3）不存在这样的旋转。原因是反射会改变三角形的朝向，而旋转不会改变朝向。这个三角形不是退化成一条线的图形，所以不能只靠旋转完成。