认识平面直角坐标系
我们先不急着背定义。想象一下，你和同学约在一座商场见面。对方只说“我在三楼”，你大概知道楼层了，但还是找不到人；如果他说“在三楼，从中庭向东走 40 米，再向北走 20 米”，位置就突然清楚了。
平面直角坐标系做的事情也差不多：它给一张平面配上一套定位语言。一个方向不够，就用两个方向；一句“在那里”太模糊，就把“横向走多少、纵向走多少”写成数字。
在街区地图上，只说“往东”还不够，因为你可能在同一条东西方向的街上停在很多位置；只说“往北”也不够，因为你可能在同一条南北方向的路线上上下移动。要确定一个点，通常要同时回答两个问题：横向在哪里，纵向在哪里。
这就是坐标系的直觉入口。它不是把平面弄复杂，而是把平面里的位置拆成两个更容易描述的方向。横向负责左右，纵向负责上下；左右给出第一条线索，上下给出第二条线索，两条线索交会的地方就是那个点。
把地图换成两条数轴
现在把商场地图换成数学里的平面。我们在平面上放两条互相垂直的数轴：一条横着，一条竖着。横着的数轴告诉我们“向左还是向右、走几个单位”，竖着的数轴告诉我们“向上还是向下、走几个单位”。
坐标轴、原点和单位长度
横着的数轴叫 轴，也常叫横轴；竖着的数轴叫 轴，也常叫纵轴。两条轴相交的点叫原点，通常记作 。原点的坐标是：
你可以把原点理解成“出发点”。以后我们描述任何点，都像从这个出发点开始走路：先看横向走到哪里，再看纵向走到哪里。
先抓住这三个角色
坐标系里最重要的三件东西是原点、方向和单位长度。原点决定从哪里开始，方向决定正负号怎么读，单位长度决定每一步有多长。少了任何一个，坐标都会变得不可靠。
平面直角坐标系的核心不是两条线本身，而是两条带方向、带刻度、互相垂直的数轴共同建立了一套定位规则。横向位置交给 ，纵向位置交给 ，一个点的位置就可以被两个数字准确记录下来。
一个点为什么要写成两个数
在坐标平面里，一个点通常写成一对有顺序的数：
这对数叫这个点的坐标，也叫有序数对。这里的“有序”很关键：前一个数是横坐标，后一个数是纵坐标。它们不是两个随便排队的数字，而是各自有岗位的数字。
有序数对的读法
比如 表示从原点出发，先向右走 3 个单位，再向上走 2 个单位。可是 就变了：它表示向右走 2 个单位，再向上走 3 个单位。两个数字一样，顺序一换，点就换了位置。
描点：先横后竖
我们用点 走一遍。这个点看起来只是两个数字，但它其实藏着一条很明确的路线。
先读第一个数 。第一个数管横向，负号表示向左，所以从原点沿横向向左走 4 个单位。
再读第二个数 。第二个数管纵向，正号表示向上，所以从刚才的横向位置向上走 3 个单位。
最后在到达的位置标出点 。这个点在原点的左上方，因为它的横坐标为负、纵坐标为正。
从点反读坐标
反过来也一样。如果图上已经有一个点，我们先从这个点向 轴看它对应的横向读数，再向 轴看它对应的纵向读数。说得更直白一点：描点是“按坐标找点”，读点是“按点找坐标”。一个从数字走向图像，一个从图像走回数字。
最常见的错误是把两个坐标读反。记住一句朴素的话：坐标读写总是先横后竖，先 后 。只要顺序错了，即使数字都对，位置也可能完全变样。
象限：先判断大方向
两条坐标轴把平面分成四个区域，这四个区域叫象限。象限的编号从右上方开始，按逆时针方向依次是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
四个区域的符号规律
象限真正好用的地方，是它帮我们快速判断点的大方向。你不用一上来画得特别精细，只要先看两个坐标的正负号，就能知道点大概在哪一块区域。
轴上的点不是象限里的点
这里有一个边界问题很值得提前说清楚：如果一个点落在坐标轴上，它不属于任何一个象限。原因很简单，象限是坐标轴切出来的四块区域，而轴本身是区域的边界。
如果点在 轴上，它没有向上或向下离开横轴，所以纵坐标是 0。它的坐标可以写成：
如果点在 轴上，它没有向左或向右离开纵轴，所以横坐标是 0。它的坐标可以写成：
一个快速判断方法
看到点的坐标时，可以先问自己：有没有哪个坐标等于 0？如果没有，再用正负号判断象限；如果有，那就先判断它在哪条轴上。这个顺序能避开很多“把轴上点误判成象限内点”的小坑。
单位长度：格子可以变，读数不能乱
坐标纸上的格子很容易让人产生错觉：好像每一格都必须代表 1。其实不一定。根据问题需要，一格可以代表 1，也可以代表 2、5、0.5，甚至表示更大的数量。关键不是每格一定多大，而是同一条轴上的刻度要一致。
不要只数格子，要看轴上的数
先看坐标轴上相邻刻度相差多少，确认每一小格或每一大格代表的数值。
再沿横向读出点对应的 值，沿纵向读出点对应的 值，不要只凭肉眼数格子。
最后把两个读数按先 后 的顺序写成 。刻度变了，读数方法不变。
为函数图像铺路
学坐标系不只是为了找一个孤零零的点。更重要的是，它让我们能把两个量之间的关系画出来。比如时间和路程、温度和日期、价格和数量，都可以用一串点表示。每个点都在说：当第一个量取这个值时，第二个量取那个值。
点如何变成图像
当很多点按照同一种关系排在坐标平面上，它们就不再只是散落的点，而会显出某种形状。有些点越走越高，有些点上下波动，有些点几乎排成一条直线。函数图像要研究的，正是这种“关系留下的形状”。
换句话说，坐标系是函数图像的舞台。有了原点，我们知道从哪里看；有了坐标轴，我们知道方向和尺度；有了有序数对，我们能把一个个输入与输出落到平面上。
自测一下
先不要急着看答案，试着在脑中判断下面三个问题。
- 点 大约在哪个方向？
- 点 在哪里？
- 如果点 从 变成 ，它越过了哪条轴？
点 的横坐标为正、纵坐标为负，所以在右下方，也就是第四象限。点 的横坐标是 0，说明它没有离开 轴，只是在 轴上向上 4 个单位。点 的纵坐标一直是 ，横坐标从负变正，所以它从原点左侧移动到右侧，越过的是 轴。
小结
平面直角坐标系是在平面上建立一套“先横后竖”的语言。原点给出出发位置，坐标轴给出方向和尺度，有序数对给出具体落点。等这套语言熟了，函数图像就不再是一堆线条，而是一段关系在平面上留下的轨迹。