证明方法 II：逆否、反证与存在唯一性

上一章的直接证明从已知条件出发，一步一步走到结论。它是最应该优先尝试的方法，因为证明路线清楚，读者也容易检查每一步是否使用了定义。

但有些命题不适合硬推。结论里可能出现“不存在”“不可能”“不是某类对象”，也可能要证明“只有一个”。这时，如果仍然只盯着原命题，证明会显得很拧巴。本章学习几种常用的换角度方法：逆否证明、反证法、存在性证明和唯一性证明。

证明路线选择：根据命题结构，在直接证明、逆否证明、反证法与存在唯一性证明之间选择合适路线。

间接证明为什么可行

间接证明不是绕远路，而是利用逻辑等价或逻辑排除来改写任务。常见情形有两类。

第一类是证明条件命题 $P \Rightarrow Q$。它与逆否命题 $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 逻辑等价，所以证明逆否命题就等于证明原命题。

第二类是证明某个结论 $R$。如果假设 $\neg R$ 会推出不可能发生的事，那么 $\neg R$ 不能成立，原结论 $R$ 就成立。

一个先导判断

面对一个命题时，可以先问三个问题。

1. 结论是否比前提更难直接使用？
2. 结论的否定是否更具体？
3. 命题中是否出现“存在”“唯一”“没有”“不可能”？

如果答案经常是“是”，就说明这道题可能更适合本章的方法。

逆否证明

逆否证明适合处理条件命题。原命题是：

它的逆否命题是：

这两个命题同真同假。也就是说，如果能证明“只要 $Q$ 不成立，$P$ 就不可能成立”，那么原来的“只要 $P$ 成立，$Q$ 就成立”也已经被证明。

原命题与逆否命题逻辑等价，因此可通过证明逆否命题来完成原命题证明。

逆否证明的基本格式

要证明“若 $P$，则 $Q$”，可以这样写：

这个格式看起来简单，但真正的关键是第一步：必须把 $Q$ 的否定写准确。很多逆否证明出错，都是因为把“否定结论”写成了另一个相似但不等价的命题。

例题：从平方的偶性推出数的偶性

证明：若整数 $n$ 满足 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数。

直接从 $n^2$ 是偶数推出 $n$ 是偶数也能做，但对初学者来说，逆否更自然。原命题的逆否是：若 $n$ 不是偶数，则 $n^2$ 不是偶数。对整数来说，“不是偶数”就是“奇数”。

逆否不是逆命题

对命题“若 $P$，则 $Q$”，有三个容易混淆的相关命题：

比如“若一个整数能被 4 整除，则它是偶数”是真的；它的逆命题“若一个整数是偶数，则它能被 4 整除”是假的，因为 6 是偶数但不能被 4 整除。

反证法

反证法要证明一个结论 $R$，却先假设 $R$ 不成立。接着把这个假设与题目已有条件一起使用，推出矛盾。矛盾说明最初的反面假设不能成立，因此 $R$ 成立。

反证法通过假设结论相反并保留已知条件，推出“数同时奇且偶”等矛盾，从而说明原结论成立。

反证法的基本格式

反证法的收尾不能只写“矛盾，所以得证”。最好说明矛盾否定了哪个假设。如果矛盾来自你额外假设的“结论不成立”，就能推出原结论；如果矛盾来自题目条件本身，则说明前面推理或题目设定有问题。

例题：没有最大整数

证明：不存在最大的整数。

这里结论本身是“不存在”。直接证明“不存在”往往不如反证自然。

这个例子里，矛盾不是来自复杂计算，而是来自“最大”的定义。反证法常常与定义一起使用：先把反面假设翻译成一个具体性质，再找一个对象打破它。

平方根无理性的经典证明

反证法最常见的入门例子是证明 $\sqrt{2}$ 是无理数。这个命题的结论是否定式：“不是有理数”。反设它是有理数，就能把它写成最简分数，然后推出分子和分母同为偶数，和“最简”冲突。

√2 无理性的矛盾结构：最简分数假设与 p、q 同为偶数相冲突。

证明：$\sqrt{2}$ 是无理数

这个证明有两个细节值得注意。

第一，反设时要写“取最简分数”。如果只说 $\sqrt{2}=p/q$，后面推出 $p$ 和 $q$ 都是偶数并不会立即矛盾，因为不是每个分数表示都最简。比如 $2/4$ 的分子分母都偶，但它和 表示同一个数。

第二，从 $p^2$ 是偶数推出 $p$ 是偶数，需要一个已知结论。这个结论本身可以用逆否证明完成。证明之间经常这样互相支撑。

存在性证明

存在性命题的形式通常是：

它的意思是“至少有一个对象 $x$ 满足性质 $P(x)$”。存在性证明只需要证明“找得到一个”，不需要证明“只有一个”。

存在性证明可以通过构造对象直接验证，也可以不写出对象而证明一定存在满足条件的对象。

构造性存在证明

构造性证明直接给出一个对象，然后验证它满足条件。

证明：存在一个偶素数。

这个证明很短，但结构完整：给对象，验性质，得结论。构造性存在证明最怕“只写答案不验证”。数学证明中，给出对象只是第一步，说明它确实满足性质才是证明。

非构造性存在证明

非构造性证明不一定明确指出对象是谁，而是证明对象不可能不存在。

一个经典的简单例子是：存在无理数 $a$ 和 $b$，使得 $a^b$ 是有理数。

这个证明没有一开始就告诉我们具体是哪一对数。它用分类讨论保证“无论中间数是哪一类，都能找到一对”。这就是非构造性证明的味道。

唯一性证明

唯一性命题关注的是“不会有两个不同对象同时满足条件”。如果题目写“存在唯一的 $x$ 满足 $P(x)$”，常记作：

它实际上包含两件事：

以及

第一行是存在性，第二行是唯一性。很多证明写错，是因为只做了其中一半。

唯一性证明的核心结构：任取两个解，证明它们相同。

唯一性证明的基本格式

要证明满足性质 $P$ 的对象至多一个，通常这样写：

注意这里假设了两个对象 $a$ 和 $b$，但不是假设它们不同。唯一性证明的目标正是证明它们相同。

例题：线性方程的存在唯一解

证明：方程 $x+3=7$ 在实数范围内存在唯一解。

例题：每个整数都有唯一的相反数

证明：对每个整数 $n$，存在唯一整数 $m$，使得 $n+m=0$。

素数无限性的入口

素数无限性的证明通常用反证法。这个证明很短，但思想很强：假设素数只有有限多个，然后构造一个数，它不被列表中的任何素数整除，从而逼出新的素因子。

素数无限性的反证法入口：从有限素数假设出发，构造 N = p₁p₂…pₖ + 1，得到新素因子并形成矛盾。

证明思路

证明：素数有无限多个。

这个证明不是说 $N$ 一定是素数。比如列出 $2,3,5,7,11,13$ 时，乘积加 1 得到的数不一定是素数。证明需要的只是：$N$ 的素因子不在原来的有限列表中。

如何选择证明方法

证明方法没有绝对固定的使用顺序，但可以用命题形状做初步判断。

方法选择的几个信号

如果题目出现“若 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数”，结论 $n$ 是偶数的否定是 $n$ 是奇数，奇数有形式 $2k+1$，所以逆否证明自然。

如果题目出现“$\sqrt{2}$ 不是有理数”，反面假设“$\sqrt{2}$ 是有理数”能写成最简分数，所以反证法自然。

如果题目出现“存在唯一”，不要急着写一个对象就结束。应先问：我有没有证明它满足性质？我有没有证明其他满足性质的对象必定和它相同？

间接证明的常见误区

把逆命题当成逆否命题

要证明 $P \Rightarrow Q$，证明 $Q \Rightarrow P$ 通常没有用。逆命题即使为真，也不能自动推出原命题为真；逆命题为假，也不说明原命题为假。

否定量词时漏掉变化

量词命题的否定必须同时改变量词和内部判断。

比如“所有整数都有性质 $P$”的否定不是“所有整数都没有性质 $P$”，而是“存在一个整数没有性质 $P$”。

反证法没有指出矛盾在哪里

写“于是矛盾”之前，要能回答：哪两句话不能同时成立？它们分别来自哪里？如果这两个问题说不清，证明还没有完成。

只证明存在，忘记唯一

“存在一个解”和“存在唯一解”相差很大。证明存在唯一时，应把证明分成“存在”和“唯一”两段，或者至少在文字中明确完成这两个任务。

练习

练习一：逆否证明

证明：若整数 $n$ 满足 $3n+2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数。

练习二：反证法

证明：不存在最小的正有理数。

练习三：存在性

证明：存在整数 $x$，使得 $5x-1$ 能被 4 整除。

练习四：存在唯一性

证明：对每个实数 $a$，存在唯一实数 $x$，使得 $x-a=0$。

练习五：判断方法

下面每个命题更适合先尝试哪种方法？说明理由。

1. 若整数 $n^2+1$ 是偶数，则 $n$ 是奇数。
2. $\sqrt{3}$ 是无理数。
3. 方程 有唯一实数解。

小结

逆否证明把 $P \Rightarrow Q$ 改写成等价的 $\neg Q \Rightarrow \neg P$。它适合结论的否定更容易展开的条件命题。

反证法先假设目标结论不成立，再推出矛盾。它适合“不存在”“不可能”“无理性”“无限性”等命题，但每一步仍然要依靠定义和已知事实。

存在性证明回答“有没有”，唯一性证明回答“会不会有两个不同的”。证明“存在唯一”时，必须同时完成这两个任务。

本章的方法都在训练同一种能力：把证明目标改写成更可操作的形式。下一章进入数学归纳法时，这种改写能力还会继续发挥作用，因为归纳证明同样要求我们把“对所有自然数成立”拆成可验证的起点和可推进的步骤。

并且这个分数已经约到最简，也就是 $p$ 与 $q$ 没有大于 1 的公因数。

它要么是有理数，要么是无理数。

因此满足条件的整数存在。

所以 $3n+2$ 是奇数。逆否命题成立，因此原命题成立。

这与 $r$ 是最小的正有理数矛盾。所以不存在最小的正有理数。

且

于是 $u-a=v-a$。两边同时加上 $a$，得到 $u=v$。所以满足条件的实数至多一个。结合存在性，满足条件的实数唯一。

第 3 题要做存在唯一性证明。先求出一个解，再设两个解并证明它们相等。

第 4 题适合反证法。反设存在这样的实数 $r$，再利用 $r/2$ 或其他更小正数制造矛盾。