命题逻辑：语句、连接词与真值表

命题逻辑研究的对象很小：只看一个句子是真的还是假的，以及几个句子怎样组合成新的句子。它暂时不问“所有整数”“存在一个函数”这类量词问题，也不分析句子里面的对象结构。正因为范围小，它适合用来训练证明前的基本动作：把语言说清楚，把条件写准，把每一种可能情况都检查到。

这一章的目标不是把符号背熟，而是学会三件事。第一，判断一个句子能不能当作命题。第二，用连接词把简单命题组成复合命题。第三，用真值表检查逻辑式在所有真值分配下的表现。

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从语句到命题

一个命题是有确定真值的陈述句。这里的“确定”不是说我们现在一定知道答案，而是说在语境固定后，它应当要么真，要么假。

例如，“$2+3=5$”是命题，真值为真。“$17$ 是偶数”也是命题，真值为假。“请把门关上”不是命题，因为它是命令，不能问真假。“$x+1=4$”在没有给定 $x$ 的取值时也不是命题；它更像一个等待输入的句子。

有些句子看起来接近命题，但需要补齐语境。比如“今天很冷”在聊天里能表达感受，在数学论证中却不够精确。若改成“2026 年 1 月 15 日北京上午 8 点气温低于 $0^\circ\mathrm{C}$”，它就有了可以判定的真值。

下面这个小练习用来校准“能判真假”这件事。

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原子命题与复合命题

在命题逻辑里，我们常用大写字母表示简单命题：

• $P$：这盏灯亮。
• $Q$：开关闭合。
• $R$：电路有电。

如果暂时不关心句子内部结构，就可以把每个简单陈述压缩成一个字母。这样的字母叫原子命题。它们像积木，连接词像拼接规则。

复合命题由原子命题和连接词组成。例如：

$$(P \land Q) \to R$$

这句话可以读成：“如果 $P$ 和 $Q$ 都成立，那么 $R$ 成立。”它的真假不由字母形状决定，而由 $P,Q,R$ 各自的真值以及连接词的规则决定。

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五种常用连接词

命题逻辑中最常见的连接词有五个：否定、合取、析取、蕴含和双条件。下面先给出读法，再解释真值规则。

否定只作用在一个命题上，把真变假，把假变真。

合取要求两边都成立。只要有一边为假，整个 $P \land Q$ 就为假。

析取在数学里通常指“相容的或”。也就是说，$P \lor Q$ 允许 $P$ 和 $Q$ 同时为真。日常语言里的“或”有时表示二选一，比如“选咖啡或茶”，这时要看语境是否需要“恰好一个”。在本章默认的命题逻辑中，$\lor$ 是至少一个为真。

双条件 $P \leftrightarrow Q$ 表示两边同真或同假。它常用于定义、等价条件和“当且仅当”的句子。例如“一个整数能被 $2$ 整除，当且仅当它是偶数”就可以看成两个方向都成立。

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真值表：把所有情况排开

真值表的做法很直接：列出原子命题的全部真值组合，再逐列计算复合命题。若有 $n$ 个不同原子命题，就有 $2^n$ 行。两个原子命题 $P,Q$ 有四行；三个原子命题 $P,Q,R$ 有八行。

例如，计算 $P \land Q$ 与 $P \lor Q$：

真值表不是猜答案的表，而是一种穷尽检查。它的可靠性来自两点：所有输入情况都列到了，每一列都只按连接词规则计算。

例题：用真值表判断 $(P \land Q) \to P$ 是否总为真。

对应的表格是：

下面的实验台可以快速生成几种常用公式的真值表。先用预设公式观察，再试着解释每一行为什么得到这样的结果。

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条件命题的四种情况

条件命题 $P \to Q$ 是本章最容易误解的连接词。它不说 $P$ 一定发生，也不说 $Q$ 一定发生。它说的是：一旦 $P$ 成立，$Q$ 不能失败。

所以 $P \to Q$ 只有在 $P$ 真而 $Q$ 假时为假。

把它想成一条规则会更自然：若刷卡成功，则闸门打开。真正违背规则的只有一种情况：刷卡成功了，闸门却没有打开。如果没有刷卡成功，规则本身并没有被违反。

一个重要等价式是：

$$P \to Q \equiv \neg P \lor Q$$

这个等价式说明，条件命题排除的正是“$P$ 真且 $Q$ 假”。只要 $P$ 不真，或者 $Q$ 为真，$P \to Q$ 就为真。

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重言式、矛盾式与可满足式

用真值表看一个逻辑式时，最后一列可能出现三种典型状态。

重言式在每一行都为真。它不依赖原子命题的具体真假，例如 $P \lor \neg P$。

矛盾式在每一行都为假，例如 $P \land \neg P$。

可满足式至少有一行是真。例如 $P \land Q$ 不是总真，但当 $P,Q$ 都为真时它为真，所以它可满足。

例题：判断 $P \to Q$ 与 $\neg Q \to \neg P$ 是否逻辑等价。

这就是后面证明课会反复使用的“逆否”等价。现在先记住它来自真值表，而不是来自口语直觉。

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从自然语言翻译为逻辑式

把自然语言翻译成逻辑式时，先不要急着找符号。更稳的顺序是：确定原子命题，保留句子的条件方向，再处理“且”“或”“若”“只有”“当且仅当”“除非”等词。

例题：把下面的句子翻译成命题逻辑式。

“如果作业已经提交并且格式正确，那么系统显示通过。”

设：

• $P$：作业已经提交。
• $Q$：格式正确。
• $R$：系统显示通过。

那么原句可以写成：

$$(P \land Q) \to R$$

几个中文短语特别值得小心。

“只有 $P$ 才 $Q$”的方向最容易写反。它说的是 $Q$ 的必要条件是 $P$，所以一旦 $Q$ 发生，$P$ 必须发生。用公式写就是 $Q \to P$。

下面的练习专门针对这些短语。做题时先在心里说清楚每个字母代表什么，再选公式。

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逻辑式能做什么

命题逻辑不是只为证明课准备的符号游戏。它还出现在数字电路、程序条件、配置约束和可满足性问题中。

在数字电路里，一个开关状态可以看成真或假。与门、或门、非门分别对应 $\land,\lor,\neg$。复杂电路可以被拆成更小的逻辑门组合，输出状态由输入真值决定。

在软件中，条件判断也常写成命题逻辑的形状。例如：

$$(\text{已登录} \land \text{有权限}) \to \text{允许访问}$$

这不是说“已登录且有权限”一定发生，而是说如果这两个条件同时成立，访问结果必须符合规则。测试这类规则时，真值表能提醒我们检查所有组合，而不是只测最顺手的一两个场景。

更大的问题会进入可满足性。比如排课、功能开关组合、约束配置、硬件验证，都可以出现“是否存在一组真假选择，使所有条件同时成立”的问题。这正是可满足式的思想：至少找到一行让公式为真。

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本章练习

练习 1：判断下列句子是否为命题，并说明理由。

1. $9$ 是合数。
2. 请证明这个结论。
3. $x^2=4$。
4. 在论域为整数时，$x=2$。
5. 2026 年 6 月 29 日上海的最高气温超过 $30^\circ\mathrm{C}$。

练习 2：设 $P$ 表示“文件已保存”，$Q$ 表示“程序已关闭”。把下列句子写成逻辑式。

1. 文件已保存且程序已关闭。
2. 文件没有保存，但程序已关闭。
3. 如果程序已关闭，那么文件已保存。
4. 只有文件已保存，程序才可以关闭。

练习 3：为公式 $(P \lor Q) \land \neg P$ 写出真值表，并判断它是否可满足。

练习 4：用真值表验证 $P \to Q$ 与 $\neg P \lor Q$ 逻辑等价。

练习 5：把“若没有通过身份验证，则不能提交申请；提交申请当且仅当材料完整”翻译成逻辑式。请自己定义原子命题。

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小结

本章把证明前最基础的语言工具整理了一遍。命题是能判真假的陈述句；原子命题可以用字母表示；复合命题由 $\neg,\land,\lor,\to,\leftrightarrow$ 等连接词组成；真值表通过枚举全部真值组合来检查公式。

后面的证明会频繁使用这些内容。尤其是条件命题、逆否等价和“只有……才……”的方向，它们不是文字游戏，而是证明结构的入口。下一章会继续处理条件命题、等价变形和推理规则。