任何一次测量得到的数字，都不是绝对的真值，而是带着一点点偏差的结果。同一份样品反复去测，数字总会上下浮动一些；换一台仪器、换一个人，差别可能更明显。既然误差无法彻底消除，那就必须学会去认识它、衡量它，并尽量把它控制在可接受的范围内。一个真正可信的分析结果，不在于“绝对没有误差”，而在于“清楚自己的误差有多大”。
衡量一份数据好不好，主要看两件事：测得的值离真实情况有多近，以及反复测出来的几个值彼此有多接近。前者叫准确度，后者叫精密度。它们听起来相似，含义却完全不同，弄清这对概念，是判断一切测量数据是否可靠的基础。
准确度回答的是“测得准不准”，精密度回答的是“测得稳不稳”。一份好数据，应该既准又稳。
准确度指的是测量值与真值之间接近的程度。两者越接近，准确度越高。衡量准确度高低的尺子就是误差，误差越小，说明测量越接近真值，准确度也就越好。
误差有两种常用的表达方式。一种是绝对误差，它是测量值与真值之差，带有正负号，正号表示测高了，负号表示测低了，写成
其中 是测量值， 是真值。绝对误差保留了量纲，能直接看出差了多少，但它有一个局限：单看一个差值，并不能判断这次测量到底算精还是不精。
为弥补这一点，更常用的是相对误差，它把绝对误差和真值作比较，表示误差占真值的比例，通常用百分数表示：
相对误差是一个比值，没有量纲，能在不同大小的测量之间作公平比较，因此在评价测量水平时更有意义。
例题 1 用一份已知含量的标准试样作检验，其真值为 ，某次测得结果为 。求这次测量的绝对误差和相对误差。
结果表明这次测量偏高了真值的 。绝对误差告诉我们差了多少，相对误差告诉我们这个差值在整体里算大还是算小，两者配合才能完整描述准确度。
为什么相对误差更能反映测量水平？看下面这个对照就明白了。同样是用天平称量，仪器带来的绝对误差大致固定在 ，但被称物的质量不同，相对误差会差出好几倍。
绝对误差三行完全一样，相对误差却随着称样量增大而明显减小。这就解释了一条实验中的常识：在条件允许时，适当多称一些样品，能让相对误差变小，结果更可靠。
绝对误差看“差多少”，相对误差看“占多大比例”。比较不同测量的准确度时，相对误差才是公平的尺子。
准确度需要知道真值才能计算，可现实中真值往往是未知的，否则也无须去测了。这时就要靠精密度来判断数据是否可信。精密度指的是在相同条件下多次平行测定，各次结果彼此接近的程度，它衡量的是测量的“稳定性”，并不需要真值。
衡量精密度的尺子是偏差，也就是单次测量值与这组测量平均值之差：
单个偏差只反映某一次测量离平均值多远，要评价整组数据的精密度，需要把各次偏差综合起来。常用的是平均偏差，它是各次偏差绝对值的平均：
和相对误差类似，平均偏差也可以化成比例形式，叫相对平均偏差，便于不同测量之间比较：
例题 2 在相同条件下对某样品平行测定四次，测得含量分别为 、、、。求平均值、平均偏差和相对平均偏差。
偏差求平均时一定要先取绝对值。正偏差和负偏差若直接相加，会相互抵消，算出来接近零，根本反映不出数据的离散程度。
既然准确度衡量“准不准”，精密度衡量“稳不稳”，二者之间是什么关系？用打靶来打比方最为直观：靶心相当于真值，每一发子弹相当于一次测量，弹着点离靶心的远近对应准确度，弹着点彼此的疏密对应精密度。把四种情形列在一起，关系就清楚了。
从这张表能读出一条重要的结论：精密度是准确度的前提。如果几次测量结果忽高忽低、彼此都对不上，那么即便它们的平均值碰巧接近真值，也只是偶然，不能说明测量可靠。反过来，精密度高只能保证结果稳定，并不保证准确，因为所有测量可能整体朝同一个方向偏了。
例题 3 甲、乙两人各平行测定同一份真值为 的样品三次。甲测得 、、，乙测得 、、。试比较两人的精密度和准确度。
解析 先看精密度。甲的三个值彼此相差不超过 ，乙的三个值彼此相差也只有约 ，两人的数据都很集中，精密度都不错。再看准确度。甲的结果紧贴 的真值，准确度高；乙的结果虽然彼此一致，却整体偏低了约 ，明显偏离真值，准确度差。乙正是“稳而不准”的典型，这种系统性的整体偏移，单凭精密度是看不出来的，必须借助真值或标准试样才能暴露。
精密度高不等于准确度高。一组数据再稳定，只要整体朝一个方向偏了，结果照样是错的。不能用“几次测得很接近”来代替“测得对”。
误差从何而来，又为什么有的能消除、有的消不掉？按照来源和表现，误差分成两大类：系统误差和随机误差。分清它们，才能对症下药。
系统误差是由某些固定原因造成的误差，它的特点是有方向、能重现。比如砝码本身偏轻、试剂里混有杂质、所用方法本身有缺陷，都会让结果总是偏高或总是偏低，而且重复测多少次，这种偏移都稳定存在。正因为它有规律，系统误差是可以查出原因并加以校正的。它主要来自仪器、试剂、方法和操作习惯几个方面。
随机误差则是由许多偶然的、难以控制的微小因素引起的，比如读数时的细微差别、温度气压的瞬间波动。它时大时小、忽正忽负，没有固定方向，无法预测也无法彻底消除。但它有一个可贵的规律：多次测量时，正负误差会大致相互抵消，所以取多次测定的平均值，能有效减小随机误差的影响。
例题 4 某人用一台未经校准、读数总偏大 的滴定管做测定，结果连续几次都偏高。这属于哪一类误差？若改用读数时偶尔多估或少估一滴造成的波动，又属于哪一类？
解析 滴定管读数总偏大 ，原因固定、方向一致、每次都重现，这是典型的系统误差，可以通过校准滴定管来消除。而读数时偶尔多估少估，方向时正时负、大小不定、无法重现，属于随机误差，没法彻底去掉，但多测几次取平均能把它的影响压下来。两类误差的应对思路完全不同，先判断属于哪一类，才能选对解决办法。
认识误差是为了控制误差。系统误差和随机误差性质不同，减小它们的手段也各有侧重，实际工作中往往要几种方法配合使用。
针对系统误差，核心是“找出固定偏差并扣除或校正”。最常用的有三招。校准仪器，能消除砝码、滴定管、容量瓶等本身带来的固定偏差；做空白实验，即在不加样品的情况下按完全相同的步骤走一遍，把试剂和器皿引入的杂质影响测出来，再从结果中扣除；做对照实验，用已知准确含量的标准试样按同样方法测一遍，看测出的值是否与真值相符，以此检验整个方法有没有系统性的问题。
针对随机误差，核心是“靠多次测量让正负相互抵消”。在相同条件下多做几次平行测定，再取平均值，随机波动就会被大幅削弱。此外，前面已经看到，适当增大称样量或取样量，能减小相对误差，这对提高整体可靠性同样有帮助。
例题 5 某次测定中怀疑所用试剂不够纯，可能引入杂质使结果偏高。应采用哪种实验来判断并扣除这部分影响？
解析 应当做空白实验。具体做法是不加待测样品，其余试剂、步骤、条件全部照旧走一遍，测出一个空白值。这个空白值反映的正是试剂和器皿杂质单独造成的影响。把样品测定的结果减去空白值，就把这部分系统误差扣掉了。这里要分清：空白实验对付的是试剂杂质这类固定来源的系统误差，而不是随机误差，后者要靠多次平行测定来减小。
减小误差有一条清晰的分工：系统误差靠校准、空白、对照去“校正”，随机误差靠多次平行测定去“平均”。两条线一起抓，数据才既准又稳。
一、选择题
1. 下列关于准确度和精密度的说法，正确的是（ ）。
A. 准确度高，精密度一定高 B. 精密度高，准确度一定高
C. 准确度反映测量值与真值的接近程度，精密度反映平行测定彼此的接近程度 D. 精密度需要知道真值才能计算
答案：C
考查知识点：准确度衡量测量值与真值的接近程度，用误差表示；精密度衡量多次平行测定彼此的接近程度，用偏差表示，且不需要真值。精密度高只是稳定，未必准确，故 A、B、D 均错。
2. 下列误差中，属于系统误差的是（ ）。
A. 读数时偶尔多估或少估一滴
B. 所用砝码偏轻，使每次称量结果都偏低
C. 温度的瞬间微小波动
D. 偶然的看错刻度
答案：B
考查知识点：系统误差由固定原因造成，方向一致、可重现、可校正。砝码偏轻使结果总是偏低，属系统误差；A、C、D 都是时大时小、无固定方向的随机误差。
3. 为扣除试剂和器皿中杂质对结果的影响，应采用的方法是（ ）。
A. 多次平行测定取平均 B. 空白实验
C. 增大称样量 D. 减少测定次数
答案：B
考查知识点：试剂、器皿杂质引入的是系统误差。空白实验在不加样品的条件下按相同步骤测出杂质的影响并予以扣除；多次平行测定和增大称样量分别用于减小随机误差和相对误差。
4. 用打靶来比喻，若几发子弹打得很集中却整体偏离靶心，这相当于（ ）。
A. 准确度高、精密度高 B. 准确度低、精密度高
C. 准确度高、精密度低 D. 准确度低、精密度低
答案：B
考查知识点：弹着点集中说明精密度高，整体偏离靶心说明准确度低，对应“稳而不准”，往往是系统误差较大所致。
二、计算题
5. 用真值为 的标准试样作检验，某次测得结果为 。求这次测量的绝对误差和相对误差。
答案：绝对误差 ，相对误差
考查知识点：绝对误差与相对误差的计算。先求绝对误差：
6. 在相同条件下对某样品平行测定四次，测得含量分别为 、、、。求平均值、平均偏差和相对平均偏差。
答案：平均值 ，平均偏差 ，相对平均偏差约
考查知识点：精密度的计算。先求平均值：
再求相对误差：
负号表示测量结果比真值偏低。
各次偏差的绝对值分别为 、、、，求平均偏差：
再求相对平均偏差：
相对平均偏差很小，说明这组数据精密度较高。