轴向载荷下的应力与应变
你有没有想过，一根钢筋在巨大的拉力作用下会经历怎样的变化？它会被拉长多少？它会不会轻易断裂，还是能够顽强抵抗外力？为什么我们看到高楼大厦的立柱，虽然承受着上百吨的重量，却几乎没有明显的变形，只是缩短了极小的几毫米？
其实，在我们的日常生活和建筑工程里，像钢筋这样的构件经常面临巨大的拉力或压力。例如，桥梁的拉杆、起重机的吊索、楼房的柱子，这些结构部件在工作时都要承受庞大的载荷，但它们并不是完全刚性的，而是会发生细微但可以被准确计算的变形。这些微小的变化，有时甚至需要专业仪器才能检测到，却直接关系到结构的安全和可靠性。
那么，钢筋被拉伸时内部会发生怎样的变化？它的长度会增加多少？横截面会收缩到什么程度？在多大的载荷下才会屈服或断裂？了解这些问题，不仅能帮助我们认识日常生活中的工程现象，更是保证大型结构安全不可或缺的基础。
变形与应变
前面我们学习了应力的基本概念，知道了当构件受到外力作用时，内部会产生应力来抵抗外力。然而，仅仅研究应力是不够的，因为构件在受力的同时还会发生形状和尺寸的改变，这种改变称为变形。
当一根钢筋受到拉力时，它不仅内部产生应力，长度也会增加，横截面积会减小。这种现象在工程实践中随处可见。桥梁的拉杆在车辆通过时会伸长，建筑物的立柱在承受上部荷载时会缩短。这些变形虽然微小，但对结构的安全和使用都有重要影响。
变形是构件在外力作用下几何形状和尺寸发生的改变，包括长度变化、角度变化等。研究变形对于分析结构的刚度、解决超静定问题以及考虑温度影响都是必不可少的。
为了度量变形的大小，我们引入应变的概念。应变是构件单位长度上的变形量，它反映了变形的相对程度。对于一根原长为 L 的杆件，在轴向拉力作用下伸长了 ΔL，则杆件的线应变 ε 定义为：
应变是一个无量纲的量，通常数值很小。在工程中，常用微应变（με）作为单位，1με = 10⁻⁶。一根长度为2米的钢筋，如果伸长了0.4毫米，其应变为 ε = 0.4×10⁻³ / 2 = 0.0002 = 200με。
应变有正负之分。拉伸时杆件伸长，应变为正；压缩时杆件缩短，应变为负。这种规定与应力的正负规定是一致的，便于我们建立应力与应变之间的关系。
在实际工程中，测量应变通常使用电阻应变片。这种传感器贴在构件表面，当构件变形时，应变片的电阻会发生变化，通过测量电阻的变化就能计算出应变的大小。这种技术在桥梁、大坝等重要结构的健康监测中得到广泛应用。
材料的拉伸试验
要了解材料的力学性能，最基本的方法就是进行拉伸试验。拉伸试验是材料力学性能测试中最常用的试验方法，通过这个试验可以获得材料的多项重要指标。
拉伸试验的基本过程是将标准试件安装在试验机上，逐渐施加拉力，同时测量试件的伸长量，直至试件被拉断。试验过程中，我们记录下载荷与变形的对应关系，然后换算成应力与应变的关系，绘制成应力-应变曲线。
以低碳钢为例，这是建筑工程中最常用的材料之一。低碳钢的拉伸试验可以清晰地展现出材料从开始受力到最终破坏的全过程。整个过程可以分为四个明显的阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。
在弹性阶段，应力与应变呈线性关系，试件的变形随载荷增加而增加，卸载后变形完全消失。这个阶段材料的行为就像一根弹簧，具有良好的可恢复性。弹性阶段的最高点对应的应力称为弹性极限，用 σₑ 表示。在这个应力范围内工作，材料可以反复使用而不会产生永久变形。
当应力达到某一数值后，曲线出现水平段或略有下降，应变急剧增加而应力几乎不变，这就是屈服阶段。此时材料开始发生塑性变形，试件表面会出现与轴线成45度角的滑移线。屈服阶段对应的应力称为屈服强度，用 σₛ 表示，这是材料的一个重要性能指标。在工程设计中，我们通常不允许材料的工作应力超过屈服强度，因为屈服后的大变形会影响结构的正常使用。
屈服阶段过后，材料重新获得抵抗变形的能力，应力随应变继续增加，这是强化阶段。曲线上的最高点对应的应力称为抗拉强度，用 σᵦ 表示。抗拉强度是材料所能承受的最大应力，也是材料的一个重要性能指标。
当应力达到抗拉强度后，试件某一局部截面显著收缩，形成“颈缩”现象。此后载荷下降，最终试件在颈缩处断裂。需要注意的是，虽然名义应力下降了，但由于截面积大幅减小，颈缩处的真实应力实际上是上升的。
不同材料的拉伸曲线形状差异很大。铸铁等脆性材料没有明显的屈服阶段，破坏突然发生，应力-应变曲线几乎是一条直线。这类材料的抗拉强度较低，但抗压强度较高。混凝土也是典型的脆性材料，它的拉伸强度只有压缩强度的十分之一左右，因此在结构设计中通常用钢筋来承担拉力。
铝合金、高强钢等塑性材料虽然也有屈服现象，但不如低碳钢明显。对于这类材料，工程上规定产生0.2%残余应变时的应力为名义屈服强度，用 σ₀.₂ 表示。
材料的力学性能
通过拉伸试验，我们可以得到材料的几个重要力学性能指标。这些指标是工程设计和选材的重要依据。
弹性模量是描述材料弹性性能的最重要参数。在弹性阶段，应力与应变成正比，这就是著名的胡克定律。这个比例系数称为弹性模量，用 E 表示：
弹性模量反映了材料抵抗弹性变形的能力，其单位为 Pa（帕斯卡）或 MPa（兆帕）。弹性模量越大，产生相同应变所需的应力越大，材料越“硬”。对于钢材，弹性模量约为 200 GPa；铝合金约为 70 GPa；混凝土约为 30 GPa。这个数值对同一种材料来说基本是常数，不因热处理等工艺而改变。
胡克定律是材料力学中最基本的定律之一。它告诉我们，在弹性范围内，材料的应力和应变之间存在简单的线性关系。这个定律是我们分析结构变形的理论基础。当一根长度为 L、横截面积为 A 的杆件受到轴向拉力 F 时，根据应力和应变的定义以及胡克定律，可以得到杆件的伸长量：
这个公式表明，杆件的伸长量与拉力和长度成正比，与横截面积和弹性模量成反比。公式中的 EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，它反映了杆件抵抗轴向变形的能力。
屈服强度是材料开始发生明显塑性变形时的应力，它是衡量材料强度的重要指标。在工程设计中，构件的工作应力必须低于材料的屈服强度，以保证结构不会产生过大的塑性变形。对于建筑用钢，常见的屈服强度有235 MPa、345 MPa、390 MPa等规格。
抗拉强度是材料所能承受的最大应力，它表示材料的极限承载能力。虽然抗拉强度很重要，但在实际设计中我们更关注屈服强度，因为一旦材料屈服，即使尚未达到抗拉强度，结构也可能因变形过大而无法正常使用。
材料的强度指标还包括延伸率和断面收缩率，它们是衡量材料塑性的指标。延伸率是试件拉断后标距长度的增加量与原标距长度的百分比，断面收缩率是试件拉断后截面积的减小量与原截面积的百分比。塑性好的材料延伸率和断面收缩率都比较大，能够在破坏前产生明显的变形，给人以预警。这就是为什么建筑结构通常选用塑性较好的材料。
下表列出了几种常用工程材料的主要力学性能指标：
从表中可以看出，钢材具有很高的强度和弹性模量，同时保持良好的塑性，这使它成为最重要的建筑结构材料。混凝土的抗拉强度很低，但抗压强度可达30 MPa以上，因此适合用于受压构件。铸铁的塑性极差，延伸率小于1%，属于典型的脆性材料。
轴向变形的计算
在工程实际中，我们经常需要计算构件在轴向载荷作用下的变形量。这对于分析结构的刚度、解决超静定问题以及考虑温度应力都是必需的。
对于等截面直杆，在轴向拉力或压力作用下，其变形计算公式为：
这个公式是由胡克定律推导而来的。其中 F 是轴向力，L 是杆件长度，E 是材料的弹性模量，A 是横截面积。EA 称为杆件的轴向刚度，它反映了杆件抵抗轴向变形的能力。
某高层建筑的钢柱，采用 Q345 钢材，横截面积为 0.15 m²，高度为 40 m，承受的轴向压力为 30000 kN。钢材的弹性模量 E = 200 GPa。计算该柱的轴向压缩量。
将数据代入公式：ΔL = FL / (EA) = (30000×10³ × 40) / (200×10⁹ × 0.15) = 0.04 m = 40 mm
这个计算结果表明，40米高的钢柱在巨大的压力作用下缩短了40毫米。这个变形量虽然不大，但在高层建筑设计中必须予以考虑，特别是当不同构件的变形不一致时，会引起附加应力。
当杆件的截面沿长度方向变化，或者轴向力沿长度方向变化时，需要采用分段计算的方法。将杆件划分为若干段，每段内截面和轴向力都可以看作常量，分别计算各段的变形量，然后叠加得到总变形量。
一根阶梯形钢杆，第一段长度 L₁ = 2 m，截面积 A₁ = 400 mm²；第二段长度 L₂ = 3 m，截面积 A₂ = 600 mm²。杆的顶端固定，底端受拉力 F = 60 kN。钢材的弹性模量 E = 200 GPa。求杆的总伸长量。
第一段的伸长量：ΔL₁ = FL₁ / (EA₁) = (60×10³ × 2) / (200×10⁹ × 400×10⁻⁶) = 0.0015 m = 1.5 mm
第二段的伸长量：ΔL₂ = FL₂ / (EA₂) = (60×10³ × 3) / (200×10⁹ × 600×10⁻⁶) = 0.0015 m = 1.5 mm
总伸长量：ΔL = ΔL₁ + ΔL₂ = 1.5 + 1.5 = 3.0 mm
这个例子说明，虽然第二段更长，但由于其截面积更大，刚度更大，所以伸长量与第一段相同。在设计中，可以通过调整各段的截面积来控制变形分布。
变形叠加原理在材料力学中具有重要地位。该原理指出，当构件同时受到多个载荷作用时，总变形等于各载荷单独作用时产生的变形的代数和。这个原理的应用前提是材料处于线弹性范围内，且变形是微小的。利用叠加原理，可以将复杂的受力情况分解为若干简单情况的组合，分别计算后再相加，大大简化了计算过程。
简单拉压静不定问题
在前面的学习中，我们处理的都是静定问题，即仅通过静力平衡方程就能确定所有未知力。但在工程实际中，还经常遇到静不定问题，即平衡方程的数目少于未知力的数目，仅靠静力平衡方程无法求解。
一根刚性横梁AB的两端通过钢杆和铜杆悬挂，承受中间集中力的作用。由于横梁是刚性的，它的变形可以忽略，两根杆的伸长量必须相等。这个条件称为变形协调条件。
静不定问题的求解需要同时应用三类方程：静力平衡方程、物理方程（胡克定律）和变形协调方程。这三类方程构成了完整的求解体系。
以对称悬挂的刚性梁为例。梁通过两根相同的钢杆悬挂，长度均为 L，截面积均为 A，弹性模量为 E。梁的中点作用向下的力 P。求两根钢杆的内力。
静力平衡方程：2N = P，其中 N 是每根杆的内力。
由于两根杆完全相同，且梁是对称的，两根杆的内力必然相等，都等于 P/2。这是一个简单的静不定问题，可以通过对称性直接求解。
但如果两根杆的材料或截面积不同，问题就复杂了。假设左边是钢杆（截面积 A₁，弹性模量 E₁），右边是铜杆（截面积 A₂，弹性模量 E₂），两杆长度相同为 L，求两杆的内力。
静力平衡方程：N₁ + N₂ = P
变形协调条件：由于横梁是刚性的，两杆的伸长量必须相等，即 ΔL₁ = ΔL₂
物理方程：ΔL₁ = N₁L / (E₁A₁)，ΔL₂ = N₂L / (E₂A₂)
将物理方程代入变形协调条件：N₁L / (E₁A₁) = N₂L / (E₂A₂)
简化得：N₁ / (E₁A₁) = N₂ / (E₂A₂)
这个方程表明，两杆的内力与各自的刚度成正比。刚度大的杆承担的力大，刚度小的杆承担的力小。这是静不定结构的一个重要特征：内力分配取决于各部分的刚度。
联立静力平衡方程和变形协调方程，可以解出：
N₁ = P·E₁A₁ / (E₁A₁ + E₂A₂)
N₂ = P·E₂A₂ / (E₁A₁ + E₂A₂)
这个结果清楚地表明，每根杆分担的力与它的刚度成正比。钢的弹性模量约为200 GPa，铜的弹性模量约为100 GPa。如果两杆截面积相同，则钢杆承担的力约为总力的2/3，铜杆承担1/3。
静不定结构的优点是安全性高。当某一部分材料达到屈服强度后，可以通过内力重分配，将多余的力转移到其他部分，整个结构不会立即破坏。这就是所谓的"内力重分配"能力。但静不定结构也有缺点，就是对温度变化和支座沉降比较敏感，会产生附加应力。
温度应力
温度变化会引起构件的变形。当构件可以自由伸缩时，温度变化只产生变形而不产生应力；但如果构件的变形受到约束，温度变化就会产生应力，这种应力称为温度应力。
材料的热膨胀系数 α 描述了材料随温度变化的伸缩特性。当温度升高 ΔT 时，长度为 L 的杆件的自由伸长量为：
对于钢材，热膨胀系数 α = 12×10⁻⁶ /℃；对于混凝土，α = 10×10⁻⁶ /℃；对于铝，α = 23×10⁻⁶ /℃。
一根钢杆在温度为20℃时安装在两个固定支座之间，长度 L = 10 m，横截面积 A = 1000 mm²。温度升高到50℃时，求杆内的温度应力。
如果杆可以自由伸长，其伸长量为：
ΔLₜ = α·L·ΔT = 12×10⁻⁶ × 10×10³ × (50-20) = 3.6 mm
但由于杆的两端被固定，无法自由伸长，这个伸长量被约束住了。我们可以想象，先让杆自由伸长，然后再施加一个压力将它压回到原来的长度。这个压力产生的应力就是温度应力。
要将杆压回原长，需要的压缩量正好等于自由伸长量 ΔLₜ。根据变形计算公式：
解出内力：N = EA·ΔLₜ / L = EA·α·ΔT
温度应力为：σₜ = N / A = E·α·ΔT = 200×10⁹ × 12×10⁻⁶ × 30 = 72×10⁶ Pa = 72 MPa
这个计算表明，仅仅30℃的温度变化就会在完全约束的钢杆中产生72 MPa的压应力。如果温度变化范围更大，温度应力可能达到危险的程度。这就是为什么在桥梁、管道等长距离结构中必须设置伸缩缝的原因。
在实际工程中，温度应力是一个不容忽视的因素。混凝土结构在浇筑过程中，水泥水化反应会释放大量热量，温度可升高几十度。当混凝土冷却时，如果受到约束，就会产生拉应力，可能导致开裂。因此在大体积混凝土施工中，需要采取降温措施和合理的分缝分块方案。
桥梁设计中，通常将桥面伸缩缝的间距控制在一定范围内。伸缩缝既要能够适应温度变化引起的长度变化，又要保证行车的平顺性。现代桥梁常采用板式橡胶支座或盆式支座，允许梁体在支座上发生一定的水平位移，从而减小温度应力。
输油管道、供暖管道等也必须考虑温度应力。长距离管道通常采用波纹补偿器或自然补偿的方式，吸收温度变化引起的长度变化。在高温管道中，如果约束过强，温度应力可能导致管道失稳或破坏。
泊松比
当杆件受到轴向拉伸时，不仅长度会增加，横向尺寸也会减小。实验表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变的比值是一个常数，这个常数称为泊松比，用 μ 表示：
其中 ε 是轴向应变，ε' 是横向应变。负号表示横向应变与轴向应变符号相反。
泊松比是材料的又一重要弹性常数。它反映了材料在一个方向变形时，在垂直方向上变形的程度。大多数工程材料的泊松比在0到0.5之间。钢材的泊松比约为0.3，混凝土约为0.2，橡胶接近0.5。
泊松比为0.5意味着材料在变形过程中体积保持不变。塑性材料在塑性变形阶段，泊松比接近0.5。橡胶等弹性体的泊松比也接近0.5，这意味着它们在拉伸时横向收缩非常明显，但总体积几乎不变。
一根圆形截面的钢杆，直径 d = 20 mm，长度 L = 2 m，受拉力 F = 50 kN。钢材的弹性模量 E = 200 GPa，泊松比 μ = 0.3。求杆的伸长量和直径的变化量。
首先计算轴向应力和应变：
σ = F / A = 50×10³ / (π×0.01²) = 159.2×10⁶ Pa = 159.2 MPa
ε = σ / E = 159.2×10⁶ / (200×10⁹) = 0.000796
杆的伸长量：ΔL = ε·L = 0.000796 × 2 = 0.001592 m = 1.592 mm
横向应变：ε' = - μ·ε = - 0.3 × 0.000796 = - 0.0002388
直径的变化量：Δd = ε'·d = - 0.0002388 × 20 = - 0.004776 mm ≈ - 0.0048 mm
这个计算表明，杆在拉伸时伸长了约1.6 mm，同时直径减小了约0.005 mm。横向变形比轴向变形小得多，但在精密工程中仍需考虑。
泊松比在三维应力状态分析中有重要应用。当材料同时受到多个方向的应力作用时，每个方向的应变都与所有方向的应力有关。通过弹性模量和泊松比，可以建立三维应力-应变关系，这是更复杂结构分析的基础。
在实际工程中，泊松效应也有重要影响。钢筋混凝土柱在承受轴向压力时，混凝土产生横向膨胀，但钢筋的泊松比较小，横向膨胀较小，因此混凝土与钢筋之间产生相互作用。箍筋可以约束混凝土的横向变形，提高混凝土的承载能力，这就是约束混凝土的原理。
小结
在计算部分，我们掌握了怎样利用应力-应变公式计算轴向变形，并进一步探讨了静定和静不定两类问题的差异。通过静力平衡、物理方程和变形协调条件相结合的方法，我们能够求解简单的静不定结构，理解了刚度在内力分配中的重要作用。同时，通过具体算例，我们体会到在工程实际中，构件的约束和多种因素会如何影响结构的受力状态。
在温度应力分析部分，我们了解了材料热膨胀系数的物理意义，学会了如何分析当变形受阻时温度变化带来的附加应力，体会到温度效应在桥梁、管道、大体积混凝土等大型工程中的重要性及其预防和消除方法。
此外，泊松比的引入使我们不仅关注轴向变形，还理解了横向变形与体积变化对实际工程的影响。通过实例分析了杆件拉伸时横向尺寸的变化，掌握了泊松比和三维应力状态下应力—应变关系的基本处理方法。