压杆稳定

压杆稳定是材料力学中研究细长构件在受压时能否保持原有平衡形态的重要内容。当压杆（如钢柱、支撑杆、桁架构件等）受到轴向压力作用时，如果其长度较长、截面较小，就有可能在尚未达到材料强度极限时，由于稳定性丧失而发生突然侧向弯曲，这种失稳称为“屈曲”或“整体失稳”。失稳通常表现为杆件突然变形、丧失承载能力，是工程结构中极为危险的破坏形式。

在实际工程中，压杆广泛应用于钢结构、桥梁、塔架等领域。设计时，既要满足杆件的强度和刚度要求，还要特别重视压杆的稳定性校核。影响压杆稳定性的主要因素有：杆件的长度、截面形状与尺寸、支承条件、材料弹性模量等。

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压杆稳定的概念

在材料力学的学习中，前面的章节主要探讨了构件的强度和刚度问题。强度保证构件不发生破坏，刚度确保变形在允许范围内。然而，对于某些特殊的构件，仅仅满足强度和刚度条件还不够，还需要考虑稳定性问题。

稳定性问题的特点

稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力。当细长杆件承受轴向压力时，可能出现一种特殊的破坏形式——突然发生显著的侧向弯曲变形，这种现象称为失稳或屈曲。

以一根细长的直尺为例。当用手指沿着直尺的长度方向轻轻按压时，开始时直尺保持直线形态。随着压力逐渐增大，当达到某一临界值时，直尺会突然弯曲变形。这就是典型的稳定性问题。这种破坏具有突发性，往往在毫无征兆的情况下发生，造成的后果往往非常严重。

临界载荷与临界应力

压杆从直线平衡状态转变为弯曲平衡状态时，所承受的轴向压力称为临界载荷或临界力，用符号 P_cr 表示。临界载荷是压杆保持稳定的最大承载能力，当实际压力超过临界载荷时，压杆将发生失稳。

临界应力是指压杆在临界状态下横截面上的平均压应力，用符号 σ_cr 表示，其计算公式为：

$$\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{P_{\mathrm{cr}}}{A}$$

其中，A 为压杆的横截面积。

稳定性问题与强度问题有着本质的区别。下表对比了这两类问题的主要特征：

从表中可以看出，压杆的稳定性主要与杆件的几何尺寸和刚度有关，而不完全取决于材料的强度。这就解释了为什么一根很粗的短杆可以承受很大的压力而不破坏，但一根细长杆即使材料强度很高，也可能在较小的压力下发生失稳。

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细长压杆的欧拉公式

瑞士数学家欧拉在1744年首先从理论上分析了压杆的稳定问题，导出了计算临界载荷的公式，这就是著名的欧拉公式。欧拉公式为压杆稳定计算提供了理论基础。

两端铰支压杆

考虑一根两端铰支的细长压杆，杆长为 l，抗弯刚度为 EI，承受轴向压力 P。当压力达到临界值 P_cr 时，压杆处于微弯的临界状态。

通过建立微分方程并求解边界条件，可以得到两端铰支压杆的临界载荷计算公式：

$$P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 EI}{l^2}$$

这就是两端铰支压杆的欧拉公式。公式中：

• E 为材料的弹性模量，反映材料的刚度特性
• I 为截面对弯曲轴的惯性矩，反映截面的几何特性
• l 为压杆的长度

从公式可以看出，临界载荷与材料的弹性模量和截面惯性矩成正比，与杆长的平方成反比。这说明增加杆的长度会使临界载荷急剧下降，而增大截面惯性矩则可以有效提高临界载荷。

上图展示了临界载荷随杆长变化的关系。可以清晰地看到，当杆长增加时，临界载荷呈现快速下降的趋势。这种平方反比的关系对工程设计具有重要的指导意义。

其他约束条件下的压杆

实际工程中，压杆的支承方式多种多样，不仅限于两端铰支。不同的约束条件会影响压杆的临界载荷。为了统一不同约束条件下的计算公式，引入长度系数的概念。

通用的欧拉公式可以写成：

$$P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2}$$

其中，μ 称为长度系数或支承系数，μl 称为相当长度。长度系数取决于压杆的支承情况。

下表列出了常见支承条件下的长度系数：

从表中可以看出，两端固定的压杆具有最大的临界载荷，其临界载荷是两端铰支压杆的4倍。而一端固定一端自由的压杆最容易失稳，其临界载荷仅为两端铰支压杆的1/4。

某厂房设计中需要支撑屋顶结构，采用长度为 4 米的钢柱。钢材弹性模量 $E = 200\,\text{GPa}$，截面为圆形，外径 $d = 100\,\text{mm}$，壁厚 $t = 8\,\text{mm}$。对于空心圆截面，惯性矩：

$$I = \frac{\pi (d^4 - d_i^4)}{64}$$

其中 $d_i = d - 2t = 84\,\text{mm}$。

计算得 $I = 1.77 \times 10^{-6}\;\text{m}^4$。

如果采用两端铰支（$\mu = 1.0$）：

$$P_\mathrm{cr} = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^9 \times 1.77 \times 10^{-6}}{4^2} = 218\,\text{kN}$$

如果改为一端固定一端铰支（$\mu = 0.7$）：

$$P_\mathrm{cr} = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^9 \times 1.77 \times 10^{-6}}{(0.7 \times 4)^2} = 445\,\text{kN}$$

可见，改善约束条件可以显著提高压杆的承载能力。

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欧拉公式的适用范围

欧拉公式是在弹性范围内推导出来的，因此它的应用有一定的条件限制。并非所有的压杆都可以用欧拉公式计算临界载荷。

柔度的概念

为了判断欧拉公式是否适用，需要引入柔度的概念。柔度又称长细比，用符号 λ 表示：

$$\lambda = \frac{\mu l}{i}$$

其中，i 为截面的回转半径，定义为 $i = \sqrt{I/A}$。

柔度是一个无量纲的量，它综合反映了压杆的几何特征。柔度越大，说明压杆越细长，越容易失稳；柔度越小，说明压杆越粗短，更接近于普通受压构件。

将临界应力公式与柔度结合，可以得到：

$$\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$$

这个公式表明，临界应力与柔度的平方成反比，与材料的弹性模量成正比，但与材料的强度无关。

临界应力总图

实际材料的应力不能无限增大，必须受到材料强度的限制。当柔度较小时，按欧拉公式计算出的临界应力可能超过材料的比例极限，这时材料已经进入塑性状态，欧拉公式不再适用。

对于常用的结构钢材，当临界应力不超过比例极限 $\sigma_{\mathrm{p}}$ 时，欧拉公式才适用。由 $\sigma_{\mathrm{cr}} = \sigma_{\mathrm{p}}$ 可以求出欧拉公式的适用界限：

$$\lambda_{\mathrm{p}} = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_{\mathrm{p}}}}$$

对于 Q235 钢，$\sigma_{\mathrm{p}} \approx 200\,\text{MPa}$，$E = 200\,\text{GPa}$，计算得 $\lambda_{\mathrm{p}} \approx 100$。

根据柔度的大小，可以将压杆分为三类：

上图为临界应力总图，展示了不同柔度范围内临界应力的变化规律。图中可以清晰地看到，当柔度较大时（细长杆），临界应力遵循欧拉公式的双曲线规律；当柔度较小时（中长杆），临界应力遵循经验公式，呈线性下降趋势；在柔度为 λ_p 处，两条曲线平滑过渡。

对于中柔度杆，常用的经验公式为直线型公式：

$$\sigma_{\mathrm{cr}} = a - b\lambda$$

其中，a 和 b 为与材料有关的常数。对于 Q235 钢，a = 304 MPa，b = 1.12 MPa。

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压杆的稳定计算

在工程实际中，压杆的稳定计算主要包括稳定性校核、确定许可载荷和设计截面三类问题。合理的稳定性设计能够保证结构的安全可靠。

稳定条件

为了保证压杆在工作时具有足够的稳定性，实际的工作压力必须小于临界载荷。为此引入稳定安全系数 n_st，压杆的稳定条件为：

$$P \leq \frac{P_{\mathrm{cr}}}{n_{\mathrm{st}}}$$

或者用应力表示：

$$\sigma = \frac{P}{A} \leq \frac{\sigma_{\mathrm{cr}}}{n_{\mathrm{st}}} = [\sigma]$$

其中，[σ] 称为许用应力。

稳定安全系数一般取 n_st = 1.8～3.0，具体数值根据压杆的重要性、载荷性质和制造精度等因素确定。下表给出了推荐的稳定安全系数：

可以看出，重要结构和承受动载荷的结构需要采用较大的安全系数，以确保足够的安全储备。

稳定性校核

稳定性校核是压杆计算中最常见的问题。已知压杆的材料、截面尺寸、长度和约束条件，以及所承受的压力，需要验算压杆是否满足稳定条件。

校核步骤包括：

某输电塔采用等边角钢作为支撑杆件，角钢型号为 L63×5，截面积 A = 6.13 cm²，最小回转半径 $i_{\mathrm{min}} = 1.23\,\text{cm}$。杆件长度 l = 2.5 m，两端铰接（μ = 1.0），承受压力 P = 25 kN。材料为 Q235 钢，E = 200 GPa，取稳定安全系数 $n_{\mathrm{st}} = 2.5$。校核此杆件的稳定性。

计算过程：

柔度

$$\lambda = \frac{\mu l}{i} = \frac{1.0 \times 2500}{12.3} = 203$$

因为 λ > 100，属于细长杆，采用欧拉公式：

$$\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 \times 200000}{203^2} = 48.1\,\text{MPa}$$

许用应力：

$$[\sigma] = \frac{\sigma_{\mathrm{cr}}}{n_{\mathrm{st}}} = \frac{48.1}{2.5} = 19.2\,\text{MPa}$$

工作应力：

$$\sigma = \frac{P}{A} = \frac{25000}{613} = 40.8\,\text{MPa}$$

由于 $\sigma = 40.8\,\text{MPa} > [\sigma] = 19.2\,\text{MPa}$，因此该杆件不满足稳定条件，需要增大截面或减小杆长。

上图直观地显示了工作应力与许用应力的对比关系，工作应力明显超过了许用应力，说明该压杆存在失稳的危险。

在稳定计算中，还需要注意几个实际问题：

1. 对于组合截面的压杆，应按最小回转半径计算柔度，因为压杆会沿着刚度最小的方向失稳。

2. 对于格构式压杆（如由多根杆件通过缀板或缀条连接而成的组合杆），需要分别验算整体稳定性和单肢稳定性。

3. 压杆的初始缺陷（如初弯曲、初偏心、残余应力等）会降低实际的承载能力，这就是采用安全系数的原因之一。

4. 对于承受偏心压力的杆件，既要考虑稳定性问题，又要考虑组合变形产生的附加弯矩影响。