弹簧与摆——自由振动的物理系统

振动无处不在。拨动一根吉他弦，它会持续颤动；压下一个弹簧，松手后它会来回弹动；推一下秋千，它会一摆再摆。这些看似不同的运动，背后都遵循同样的物理规律。这一章从最简单的弹簧-质量系统出发，逐步分析各类振动系统，理解为什么不同系统有各自“偏爱”的振动频率。

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弹簧-质量系统

取一根轻弹簧，竖直悬挂，下端挂一个质量为 $m$ 的滑块。将滑块向下拉一段距离后松手，滑块便开始上下振动。这是最经典的振动模型，也是理解所有振动系统的基础。

胡克定律

弹簧能产生振动，根本原因在于它的弹性。当弹簧被拉伸或压缩时，会产生一个与形变方向相反的恢复力。这就是胡克定律（Hooke's Law）：

$F = -kx$

其中 $k$ 是弹簧的劲度系数（单位：$\text{N/m}$），$x$ 是弹簧偏离自然长度的位移，负号表示弹力方向总是指向平衡位置。

例题 1： 一根弹簧的劲度系数为 $k = 200\ \text{N/m}$，将其拉伸 $5\ \text{cm}$，弹簧产生的弹力是多少？

将 $x = 0.05\ \text{m}$ 代入胡克定律：

$F = kx = 200 \times 0.05 = 10\ \text{N}$

方向与拉伸方向相反，即弹簧试图恢复原长，向回拉物体。

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运动方程与固有频率

将滑块从平衡位置向下拉距离 $x$，此时弹力为 $-kx$（向上），根据牛顿第二定律：

$ma = -kx \quad \Rightarrow \quad m\ddot{x} = -kx$

这正是简谐运动的方程，其解为：

$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$

其中固有角频率为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

对应的固有频率（单位：$\text{Hz}$）和固有周期（单位：$\text{s}$）分别为：

$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

• 固有频率只由弹簧劲度系数和滑块质量决定，与振幅无关。这一结论非常重要。

例题 2： 一个质量 $m = 0.5\ \text{kg}$ 的滑块挂在劲度系数 $k = 50\ \text{N/m}$ 的弹簧下端，求该系统的固有频率和振动周期。

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}$

$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59\ \text{Hz}$

$T_0 = \frac{1}{f_0} \approx 0.63\ \text{s}$

以下内容展示了不同弹簧和质量组合对固有频率的影响：

可以看出：弹簧越硬（$k$ 越大），频率越高；质量越大，频率越低——这与日常直觉完全吻合：钢弦比尼龙弦振动更快，轻的物体比重的物体弹得更快。

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浮体的振动

把一个圆柱形木块放在水中，稍微压下去再松手，木块会上下振动。这种振动的恢复力来自浮力，而不是弹簧。

受力分析

设木块横截面积为 $S$，密度为 $\rho_{\text{木}}$，水的密度为 $\rho_{\text{水}}$，木块总长为 $L$。平衡时，木块浸入水中深度为 $h_0$，满足：

$\rho_{\text{木}} \cdot L \cdot S \cdot g = \rho_{\text{水}} \cdot h_0 \cdot S \cdot g$

将木块从平衡位置向下压距离 $x$（$x > 0$ 向下），浸入水中深度变为 $h_0 + x$，此时浮力为：

$F_{\text{浮}} = \rho_{\text{水}} \cdot (h_0 + x) \cdot S \cdot g$

重力为：

$F_{\text{重}} = \rho_{\text{木}} \cdot L \cdot S \cdot g = \rho_{\text{水}} \cdot h_0 \cdot S \cdot g$

两力之差（即净恢复力）：

$F_{\text{净}} = F_{\text{重}} - F_{\text{浮}} = -\rho_{\text{水}} \cdot S \cdot g \cdot x$

这正是胡克定律的形式 $F = -kx$，其中等效劲度系数为：

$k_{\text{等效}} = \rho_{\text{水}} \cdot S \cdot g$

因此浮体的固有频率为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_{\text{等效}}}{m}} = \sqrt{\frac{\rho_{\text{水}} \cdot S \cdot g}{\rho_{\text{木}} \cdot L \cdot S}} = \sqrt{\frac{\rho_{\text{水}} \cdot g}{\rho_{\text{木}} \cdot L}}$

也可以用平衡浸深 $h_0$ 来简洁表示（注意 $h_0 = \rho_{\text{木}} L / \rho_{\text{水}}$）：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{h_0}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}$

例题 3： 一根均匀圆柱形木棒，密度 $\rho_{\text{木}} = 600\ \text{kg/m}^3$，长度 $L = 1\ \text{m}$，竖直漂浮在水面（$\rho_{\text{水}} = 1000\ \text{kg/m}^3$）。求其振动周期。

平衡时浸入深度：

$h_0 = \frac{\rho_{\text{木}}}{\rho_{\text{水}}} \cdot L = \frac{600}{1000} \times 1 = 0.6\ \text{m}$

振动周期：

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.6}{9.8}} \approx 2\pi \times 0.247 \approx 1.56\ \text{s}$

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单摆

单摆是最为人熟知的振动系统之一。它由一根轻细绳（长度为 $L$）和末端的小球（质量为 $m$）构成，悬挂于固定点。将小球推离竖直位置，它就会来回摆动。

摆的运动方程

设摆角为 $\theta$（以竖直方向为零点，向右为正）。在切线方向，恢复力为重力的分量：

$F_{\text{切}} = -mg\sin\theta$

当摆角很小时（$\theta \lesssim 10°$），可以用小角近似 $\sin\theta \approx \theta$（弧度制），切线方向的加速度为 $L\ddot{\theta}$，牛顿第二定律给出：

$mL\ddot{\theta} = -mg\theta \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} = -\frac{g}{L}\theta$

这同样是简谐运动方程，固有角频率为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

• 单摆的固有周期只与摆长 $L$ 和重力加速度 $g$ 有关，与摆球质量无关。伽利略最早注意到这一特性，这也是历史上第一批精确计时器的物理基础。

例题 4： 在北京（$g = 9.80\ \text{m/s}^2$），一个摆长 $L = 1.00\ \text{m}$ 的单摆，周期是多少？若想让周期变为原来的两倍，摆长需要变为多少？

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.80}} = 2\pi \times 0.3194 \approx 2.007\ \text{s} \approx 2.01\ \text{s}$

若要 $T' = 2T_0$，由 $T \propto \sqrt{L}$，需要 $L' = 4L = 4.00\ \text{m}$。

以下内容给出不同摆长对应的振动周期（$g = 9.80\ \text{m/s}^2$）：

可以确认：摆长增大4倍，周期恰好增大2倍，符合 $T \propto \sqrt{L}$ 的规律。

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复摆（物理摆）

单摆把质量集中在一个点，实际生活中更常见的是像门、秤杆、跷跷板这类有一定形状和质量分布的摆——称为复摆或物理摆。

复摆的固有频率

设复摆总质量为 $M$，绕悬挂点 $O$ 的转动惯量为 $I$，质心 $C$ 到悬挂点的距离为 $d$。将复摆偏转角度 $\theta$，对悬挂点的重力矩为：

$\tau = -Mgd\sin\theta \approx -Mgd\theta \quad (\theta \text{ 较小时})$

由转动定律 $I\ddot{\theta} = \tau$，得：

$I\ddot{\theta} = -Mgd\theta \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} = -\frac{Mgd}{I}\theta$

固有角频率为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{Mgd}{I}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}}$

如果将复摆等效为一个单摆，等效摆长为：

$L_{\text{等效}} = \frac{I}{Md}$

例题 5： 一根均匀细杆，长 $L = 1.2\ \text{m}$，质量 $M = 0.5\ \text{kg}$，从一端悬挂（悬挂点在顶端）。求其小角振动周期。

• 质心到悬挂点距离：$d = L/2 = 0.6\ \text{m}$
• 绕端点的转动惯量：$I = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \cdotp 0.5 \cdotp 1.44 = 0.24\ \text{kg} \cdotp \text{m}^2$

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.24}{0.5 \cdotp 9.8 \cdotp 0.6}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.24}{2.94}} = 2\pi \cdotp 0.286 \approx 1.80\ \text{s}$

等效摆长：

$L_{\text{等效}} = \frac{I}{Md} = \frac{0.24}{0.5 \cdotp 0.6} = 0.8\ \text{m}$

即该均匀杆相当于一个摆长 $0.8\ \text{m}$ 的单摆，周期一致。

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U形管中的水柱振动

将一根 U 形玻璃管注入水，使两侧水面等高。若从一侧将水面压下，另一侧水面升高，松手后两侧水面便开始来回振荡。这种振动与弹簧-质量系统惊人地相似。

建立模型

设 U 形管截面积为 $S$，管中水柱总长度为 $\ell$，水的密度为 $\rho$。平衡时两侧水面等高。

设某时刻左侧水面比平衡位置低 $x$，则右侧比平衡位置高 $x$（水是不可压缩的），两侧液面高度差为 $2x$。

恢复力来自两侧液面高度差产生的净重力：

$F = -\rho S g \cdot 2x = -2\rho S g \cdot x$

水柱的总质量为 $m = \rho S \ell$，由牛顿第二定律：

$\rho S \ell \cdot \ddot{x} = -2\rho S g \cdot x$

$\ddot{x} = -\frac{2g}{\ell} x$

固有角频率为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{2g}{\ell}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{2g}}$

例题 6： U 形管中水柱总长 $\ell = 0.5\ \text{m}$，求其振动周期。

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{2 \times 9.8}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{19.6}} = 2\pi \times 0.1597 \approx 1.00\ \text{s}$

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空气弹簧

气体也可以充当弹性介质，提供类似弹簧的恢复力，这种效应被称为空气弹簧（Air Spring）。注射器、密闭气缸、甚至人的肺部在某些情况下都有这种效应。

物理原理

取一个截面积为 $S$、初始长度为 $L_0$ 的密闭气柱，活塞质量为 $m$。初始气压为 $P_0$，满足平衡条件 $P_0 S = mg + P_{\text{大气}} S$（或简化为仅考虑绝热压缩情形）。

若活塞向下压缩距离 $x$（$x \ll L_0$），气体体积从 $V_0 = SL_0$ 变为 $V = S(L_0 - x)$。对于绝热过程，压强变化为：

$\Delta P \approx \frac{\gamma P_0}{L_0} x$

其中 $\gamma$ 是气体的绝热指数（空气 $\gamma \approx 1.4$）。恢复力为：

$F = -\Delta P \cdot S = -\frac{\gamma P_0 S}{L_0} x$

等效劲度系数：

$k_{\text{等效}} = \frac{\gamma P_0 S}{L_0}$

固有频率：

$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\gamma P_0 S}{mL_0}}$

例题 7： 一个密闭气缸，截面积 $S = 20\ \text{cm}^2 = 2\times10^{-3}\ \text{m}^2$，初始气柱长度 $L_0 = 0.1\ \text{m}$，初始气压 $P_0 = 1.0 \times 10^5\ \text{Pa}$，活塞质量 $m = 0.2\ \text{kg}$，空气 $\gamma = 1.4$。求活塞的振动频率。

$k_{\text{等效}} = \frac{\gamma P_0 S}{L_0} = \frac{1.4 \times 1.0\times10^5 \times 2\times10^{-3}}{0.1} = 2800\ \text{N/m}$

$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\text{等效}}}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2800}{0.2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{14000} \approx \frac{118.3}{6.283} \approx 18.8\ \text{Hz}$

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各系统固有频率对比

下表汇总了本章所有振动系统的固有频率公式，方便对比记忆：

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练习题

选择题

1. 一个弹簧-质量系统在水平面上无摩擦振动，若将弹簧劲度系数增大为原来的4倍，质量减小为原来的 $1/4$，则系统固有频率变为原来的多少倍？（知识点：固有频率公式）

A. $1/4$ 倍 B. $1/2$ 倍 C. $4$ 倍 D. $16$ 倍

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2. 在地球表面，一个单摆的周期为 $T$。将该单摆带到月球表面（月球重力加速度 $g_{\text{月}} = g/6$），其周期变为多少？（知识点：单摆周期与 $g$ 的关系）

A. $T/6$ B. $T/\sqrt{6}$ C. $\sqrt{6}\,T$ D. $6T$

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3. U 形管中注有水，水柱总长 $\ell = 2.0\ \text{m}$，求其振动频率最接近下列哪个值？（取 $g = 10\ \text{m/s}^2$）（知识点：U 形管水柱固有频率）

A. $0.35\ \text{Hz}$ B. $0.50\ \text{Hz}$ C. $0.71\ \text{Hz}$ D. $1.00\ \text{Hz}$

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4. 一根均匀细杆从其质心处悬挂，给予小角度偏转后松手，下列说法正确的是？（知识点：复摆）

A. 细杆不会振动，因为悬挂点在质心，净重力矩为零 B. 细杆会像单摆一样振动，等效摆长等于杆长 C. 细杆会像单摆一样振动，等效摆长等于杆长的 $2/3$ D. 细杆会振动，固有频率由转动惯量决定，但由于 $d = 0$，恢复力矩为零，实际上不振动

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计算题

5. （知识点：弹簧-质量系统 + 系统设计）一位工程师需要设计一个固有振动频率为 $2.0\ \text{Hz}$ 的弹簧振子（水平放置，忽略摩擦），手头有一个质量 $m = 0.8\ \text{kg}$ 的滑块。问：

（1）应选用劲度系数为多少的弹簧？

（2）若将滑块质量替换为 $3.2\ \text{kg}$，弹簧不变，系统固有频率变为多少？

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6. （知识点：浮体振动与单摆类比）一根截面均匀的圆柱形木棒，密度 $\rho_{\text{木}} = 500\ \text{kg/m}^3$，长度 $L = 0.8\ \text{m}$，竖直漂浮在密度 $\rho_{\text{水}} = 1000\ \text{kg/m}^3$ 的水面上。

（1）求木棒在水中的平衡浸深 $h_0$。

（2）求木棒上下振动的固有周期 $T_0$。

（3）若改用密度 $\rho' = 800\ \text{kg/m}^3$ 的木棒（长度和截面不变），周期如何变化？