经典物理的困境

19世纪末，物理学界弥漫着一种乐观的气息。牛顿力学统治力学领域已有两百年，麦克斯韦又将电场与磁场统一为一套简洁的方程。许多科学家相信，物理学大厦已经建成，剩余的工作不过是在已有框架内修缮细节。然而，正是在这片自信之中，一个看似微小的问题悄然浮现：光，到底是相对于什么传播的？这个问题，最终动摇了整个经典物理的根基。

以太：光传播的假想载体

19世纪的物理学家非常熟悉一个道理：波的传播需要介质。声波在空气中传播，水面波在水中传播，弦上的横波需要弦本身。离开了介质，波就无法存在。

1865年，麦克斯韦证明光是一种电磁波。既然是波，自然也应该有传播介质。于是，物理学家们提出了“以太”（Ether）这一概念：一种充满整个宇宙空间、无处不在的神秘物质，是光波传播的载体。

为了让“以太”满足光的传播特性，人们为它赋予了一系列奇特的性质：

这些性质之间存在明显的矛盾：既要刚性极强，又要密度极低，还要对物质毫无阻力——这样的“以太”在物理上几乎是不可能存在的。但在没有更好理论之前，它仍然被当时物理学界广泛接受。

“以太”并不是凭空捏造的胡说，而是当时物理学家在已有知识框架内做出的合理推断。每一门科学的发展，都经历过用旧观念解释新现象的阶段。理解“以太”的提出，正是理解经典物理走向危机的第一步。

例题

弹性介质中的波速公式为 $v = \sqrt{E/\rho}$ ，其中 $E$ 为弹性模量， $\rho$ 为密度。声音在空气中的传播速度约为 $v_{\text{声}} = 340\ \text{m/s}$ ，光在真空中的速度为 $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 。粗略估计（假设以太与空气密度相同），“以太”的弹性模量应比空气大多少倍？

在密度相同的假设下：

$\frac{E_{\text{以太}}}{E_{\text{空气}}} = \left(\frac{c}{v_{\text{声}}}\right)^2 = \left(\frac{3 \times 10^8}{340}\right)^2 \approx (8.8 \times 10^5)^2 \approx 7.7 \times 10^{11}$

“以太”的弹性模量要比空气大约 $7.7 \times 10^{11}$ 倍——比最坚硬的钢铁还要硬数亿倍，却又对行星运动毫无影响。这一数字本身，就已经揭示了“以太”假说的荒诞之处。

麦克斯韦方程与光速的困境

1865年，麦克斯韦从他的电磁场方程组出发，推导出了电磁波的传播速度：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

其中 $\mu_0$ 是真空磁导率， $\varepsilon_0$ 是真空电容率。将已知数值代入：

$c = \frac{1}{\sqrt{4\pi \times 10^{-7} \times 8.85 \times 10^{-12}}} \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$

这个数值与当时测量到的光速完全吻合。麦克斯韦从纯粹的电磁学理论，推导出了光速的精确值，从而证明光就是电磁波——这是19世纪物理学最伟大的成就之一。

然而，随之而来的是一个深刻的矛盾。

在伽利略变换的框架下，速度是相对的：同一物体，在不同参考系中测得的速度不同。一颗以 $500\ \text{m/s}$ 飞行的子弹，从追赶它的飞机上看，速度可能只有 $100\ \text{m/s}$ 。但麦克斯韦方程给出的光速 $c$ 是一个固定数值，没有指明这个速度是相对于哪个参考系而言的。

两种可能的解释，都面临严重问题：

经典速度叠加与恒定光速之间，存在根本性的冲突：

麦克斯韦方程与伽利略变换之间的这一矛盾，是19世纪物理学最深刻的危机。解决它只有两条路：要么麦克斯韦方程在不同参考系中形式不同，要么伽利略变换本身是错的。爱因斯坦选择了后者。

例题

天文学家观测一个双星系统，两颗恒星绕共同质心旋转。某时刻，星A以速度 $v = 2 \times 10^5\ \text{m/s}$ 朝向地球运动，星B以同样速度背向地球运动。按照经典速度叠加，两颗星发出的光到达地球时速度各是多少？实际结果又是什么？

按经典速度叠加：

$u_A = c + v = 3 \times 10^8 + 2 \times 10^5 = 3.002 \times 10^8\ \text{m/s}$

$u_B = c - v = 3 \times 10^8 - 2 \times 10^5 = 2.998 \times 10^8\ \text{m/s}$

若此预测成立，经过数百光年的旅途，两束光的到达时间差将累积到数年，双星系统在地球上看来将呈现严重混乱的轨道图像。而实际观测表明双星轨道完全正常，两束光抵达地球的速度均为 $c$ ——光速与光源速度完全无关。

迈克尔逊-莫雷实验

如果以太真实存在，地球绕太阳公转时，必然在以太中穿行。就像骑自行车时感受到迎面的风，地球穿越以太也应该产生“以太风”。1887年，美国物理学家迈克尔逊（Albert Michelson）和化学家莫雷（Edward Morley）设计了一个精密实验，专门用来探测这股“以太风”。

实验装置

实验装置称为迈克尔逊干涉仪。光源发出的光，经半透半反镜分成两束，分别沿两条互相垂直的等长臂传播，经镜面反射后重新汇合，产生干涉条纹。

如果以太存在，两臂光的往返时间不同，汇合后就会产生相位差，干涉条纹发生偏移。将仪器旋转 $90°$ 后偏移方向反转，从而确认以太风的存在。

预期的时间差计算

设臂长为 $L$ ，地球相对以太的速度为 $v \approx 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ （地球公转速度），光速为 $c$ 。

沿运动方向往返时间（顺向光速 $c+v$ ，逆向光速 $c-v$ ）：

$t_1 = \frac{L}{c+v} + \frac{L}{c-v} = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2}$

垂直方向往返时间（光路呈等腰三角形）：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

由于 $v/c \approx 10^{-4} \ll 1$ ，利用近似展开得到时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{Lv^2}{c^3}$

对应的干涉条纹偏移量（ $\lambda$ 为光的波长）：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} \approx \frac{Lv^2}{c^2 \lambda}$

以实验数据 $L \approx 11\ \text{m}$ ， $\lambda = 590\ \text{nm}$ 代入：

$\Delta n \approx \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^2 \times 590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

旋转 $90°$ 前后两次测量累计偏移约 $0.37$ 个条纹，以当时仪器可分辨精度 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到。

实验结果

偏移量：零。

迈克尔逊和莫雷反复测量，更换仪器，在不同季节、不同时间重复实验，始终没有观察到任何条纹偏移。以下是几次主要观测的结果对比：

实验时间	预期偏移量	实际观测偏移量	结论
1887年7月	$\approx 0.37$ 个条纹	$< 0.01$ 个条纹	未检测到以太风
1887年后多次重复	$\approx 0.37$ 个条纹	$< 0.01$ 个条纹	结果一致为零

迈克尔逊-莫雷实验是物理学史上最著名的“失败”实验——它什么都没发现，但这个“什么都没发现”，成了推翻以太理论、催生狭义相对论的关键证据。有时候，“没有结果”才是最重要的结果。

例题

以迈克尔逊-莫雷实验数据为基础， $L = 11\ \text{m}$ ，地球公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ ， $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ ，黄光波长 $\lambda = 590\ \text{nm}$ 。

（1）计算 $v/c$ 的比值；（2）利用近似公式 $\Delta t \approx Lv^2/c^3$ 计算预期时间差；（3）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$ 。

解：

$\frac{v}{c} = \frac{3 \times 10^4}{3 \times 10^8} = 10^{-4}$

$\Delta t \approx \frac{Lv^2}{c^3} = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

预期约 $0.19$ 个条纹偏移，而实际测量结果为零，远低于仪器分辨精度的约 $1\%$ 。

洛伦兹收缩：一次失败的修补

实验结果令物理学家陷入困惑。既然不愿放弃以太，那只能想办法解释为什么“以太风”探测不到。

1889年，菲茨杰拉德（George FitzGerald）提出了一个大胆的猜想：物体在运动方向上会发生收缩，收缩的比例恰好抵消以太风的影响。1892年，洛伦兹（Hendrik Lorentz）独立推导出同样的结论，并给出了数学公式——物体在运动方向上的长度按以下比例收缩：

$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

其中 $L_0$ 是物体静止时的长度， $v$ 是运动速度。这个公式（即“洛伦兹-菲茨杰拉德收缩”）在数值上恰好能消除迈克尔逊-莫雷实验中预期的时间差——如果干涉仪沿运动方向的臂按这个比例缩短，两臂光程之差就恰好变为零。

不同速度下的收缩效果如下：

然而，这个修补方案存在根本性的缺陷：洛伦兹收缩是专门为解释这一实验而设计的假设，没有任何独立的物理机制支撑，只是“恰好”消除了矛盾。就像为了解释为什么温度计读数总是正确的，就假设存在一个专门干扰温度计的精灵——理论上自洽，却毫无预测能力和普遍意义。

洛伦兹收缩公式在数学形式上与后来爱因斯坦相对论中的长度收缩公式完全相同，但两者的物理含义截然不同。洛伦兹认为这是物体与以太相互作用的结果，爱因斯坦认为这是时空本身的性质。同一个公式，两种截然不同的世界观。

例题

按照洛伦兹收缩假说，地球以公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 相对以太运动，地球直径在运动方向上的收缩量是多少？地球半径约 $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$ 。

直径 $D = 2R = 1.28 \times 10^7\ \text{m}$ ，利用近似公式 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$ （ $x \ll 1$ ）：

$\Delta D = D \cdot \frac{v^2}{2c^2} = 1.28 \times 10^7 \times \frac{(3 \times 10^4)^2}{2 \times (3 \times 10^8)^2} = 1.28 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-9} \approx 0.064\ \text{m}$

地球直径收缩约 $6.4\ \text{cm}$ ——对直径 $1.28 \times 10^7\ \text{m}$ 的地球而言，这是原长的五十亿分之一，任何宏观仪器都无从测量。

经典物理大厦的裂缝

到19世纪末，物理学家面对的局面可以用下表来概括：

每一次“修补”都带来新的矛盾。真正的出路不在于继续修补，而在于重新审视基础假设本身。爱因斯坦没有问“如何解释以太风为何测不到”，而是问“时间和空间究竟是什么”——这一转变，是物理学史上最深刻的思想革命之一。

练习题

选择题

题目一（以太假说的性质）

19世纪物理学家要求“以太”具有极高弹性（刚性极强）的原因是：

A. 光能在真空中传播，真空弹性最大

B. 以太密度极大，需要高弹性来保持形状

C. 光速极高，根据波动理论，介质刚性越大，波速越快

D. 以太对行星运动无阻力，需要弹性来补偿

答案：C

根据弹性介质中的波速公式 $v = \sqrt{E/\rho}$ ，波速越高，需要介质弹性模量 $E$ 越大（密度 $\rho$ 一定时）。光速约为 $3 \times 10^8\ \text{m/s}$ ，远超声波在空气中的速度，因此要求“以太”具有极高弹性。选项 A“真空弹性最大”无物理依据；选项 B 和 D 不是要求以太高弹性的原因。故选 C。

题目二（麦克斯韦方程与速度叠加的矛盾）

麦克斯韦方程推导出光速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ ，这与经典力学速度叠加产生矛盾，根本原因是：

A. 麦克斯韦方程只适用于真空，不适用于介质

B. 麦克斯韦方程给出的光速是固定常数，而经典速度叠加要求速度随参考系变化

C. 伽利略变换只适用于力学，电磁学本来就不适用

D. 光源的运动方向与速度都会影响光速的大小

答案：B

麦克斯韦方程组中， $\mu_0$ 和 $\varepsilon_0$ 都是物理常数，因此推导出的光速 $c$ 是一个固定数值，不依赖于参考系的选择。而经典速度叠加（伽利略变换）要求：在不同参考系中测得的速度不同。这两点之间的根本冲突即是矛盾所在。选项 C 虽然有一定道理，但不是“根本原因”，根本原因是 B。故选 B。

题目三（迈克尔逊-莫雷实验）

迈克尔逊-莫雷实验的核心结论是：

A. 以太存在，并随地球一起运动（以太拖拽）

B. 地球相对以太的速度非常小，仅凭当时仪器精度不够

C. 没有发现预期的干涉条纹偏移，无法探测到“以太风”的存在

D. 光速在平行和垂直地球公转方向上略有不同，与以太理论一致

答案：C

迈克尔逊-莫雷实验的核心结果是：无论仪器如何旋转，在任何时间、任何季节，都没有观测到预期的干涉条纹偏移。实验仪器精度（ $0.01$ 个条纹）远高于预期偏移量（约 $0.37$ 个条纹），不存在精度不足的问题。选项 A 是另一种假说，并非该实验的结论；选项 B 和 D 与实验事实不符。故选 C。

题目四（洛伦兹收缩假说的本质）

洛伦兹-菲茨杰拉德收缩假说的根本缺陷是：

A. 收缩量太小，任何实验都无法验证

B. 该假说是专为解释迈克尔逊-莫雷实验而设计的，没有独立的物理机制，不能预测其他新现象

C. 收缩公式在数学上存在错误

D. 洛伦兹只考虑了长度变化，完全没有考虑时间的变化

答案：B

洛伦兹收缩假说在数学上是正确的（其公式后来被相对论赋予了更深的物理含义），但它的根本问题在于：这是专为消除迈克尔逊-莫雷实验“零结果”而人为设计的，没有任何独立的物理机制或独立实验依据支持。一个有价值的物理理论应该能够预测新现象，而洛伦兹收缩只是解释了已知结果，没有给出任何新的可测试预言。选项 D 虽然也有道理，但不是“根本缺陷”。故选 B。

计算题

计算题一（迈克尔逊-莫雷实验的预期偏移量）

迈克尔逊-莫雷实验中，干涉仪臂长 $L = 11\ \text{m}$ ，地球公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ ，光速 $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ ，使用波长 $\lambda = 590\ \text{nm}$ 的黄光。

（1）计算沿运动方向往返时间 $t_1 = \dfrac{2Lc}{c^2 - v^2}$ ；

（2）计算垂直方向往返时间 $t_2 = \dfrac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$ ；

（3）利用近似 $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ 和 $(1-x)^{-1/2} \approx 1 + x/2$ （令 $x = v^2/c^2$ ），证明时间差约为 $\Delta t \approx Lv^2/c^3$ ，并计算其数值；

（4）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$ 。

解题过程：

令 $\beta = v/c = 10^{-4}$ ， $\beta^2 = 10^{-8}$ 。

（1） 沿运动方向往返时间：

$t_1 = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2} = \frac{2 \times 11}{3 \times 10^8} \times \frac{1}{1 - 10^{-8}}$

$t_1 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 10^{-8}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（2） 垂直方向往返时间：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx \frac{2L}{c}\left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right)$

$t_2 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 5 \times 10^{-9}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（3） 时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{2L}{c}\left[\frac{1}{1-\beta^2} - \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]$

$\approx \frac{2L}{c}\left[(1+\beta^2) - \left(1 + \frac{\beta^2}{2}\right)\right] = \frac{2L}{c} \cdot \frac{\beta^2}{2} = \frac{L\beta^2}{c} = \frac{Lv^2}{c^3}$

数值计算：

$\Delta t = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

（4） 预期条纹偏移量：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} = \frac{1.11 \times 10^{-7}}{5.9 \times 10^{-7}} \approx 0.19$

考虑旋转 $90°$ 前后两次测量的总偏移量约为 $2\Delta n \approx 0.37$ 个条纹。而实验仪器精度为 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到，但实际结果为零。

计算题二（洛伦兹收缩量的计算与对比）

一艘飞船静止时长度为 $L_0 = 100\ \text{m}$ ，按照洛伦兹收缩公式 $L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ， $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 。

（1）当飞船以地球公转速度 $v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 运动时，利用近似 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$ （ $x \ll 1$ ），计算收缩量 $\Delta L_1$ ；

（2）当飞船以 $v_2 = 0.6c$ 运动时，精确计算飞船的长度 $L_2$ 及收缩量 $\Delta L_2$ ；

（3）比较两种情况，说明在日常速度下洛伦兹收缩为何完全感知不到。

解题过程：

（1） $v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 时， $v_1/c = 10^{-4}$ ， $v_1^2/c^2 = 10^{-8}$ ：

$\Delta L_1 = L_0 \cdot \frac{v_1^2}{2c^2} = 100 \times \frac{10^{-8}}{2} = 5 \times 10^{-7}\ \text{m} = 500\ \text{nm}$

收缩量约为 $500\ \text{nm}$ （纳米级），仅为飞船原长的五十亿分之一，远小于可见光波长，任何宏观仪器都无法测量。

（2） $v_2 = 0.6c$ 时，精确计算：

$L_2 = L_0\sqrt{1 - (0.6)^2} = 100 \times \sqrt{1 - 0.36} = 100 \times \sqrt{0.64} = 100 \times 0.8 = 80\ \text{m}$

$\Delta L_2 = L_0 - L_2 = 100 - 80 = 20\ \text{m}$

飞船长度缩短 $20\ \text{m}$ ，收缩量达原长的 $20\%$ ，非常显著。

（3） 对比：

速度	收缩量	相对原长的比例	是否可感知
$v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$	$500\ \text{nm}$	$5 \times 10^{-9}$	完全不可感知
$v_2 = 0.6c$	$20\ \text{m}$	$20\%$	极为显著

洛伦兹收缩只有在接近光速时才变得显著。在地球公转速度这样的日常速度下，收缩量约为原长的五十亿分之一，完全超出任何测量手段的分辨极限，因此在日常生活中根本感知不到。

经典物理的困境

以太：光传播的假想载体

为了让“以太”满足光的传播特性，人们为它赋予了一系列奇特的性质：

例题

在密度相同的假设下：

$\frac{E_{\text{以太}}}{E_{\text{空气}}} = \left(\frac{c}{v_{\text{声}}}\right)^2 = \left(\frac{3 \times 10^8}{340}\right)^2 \approx (8.8 \times 10^5)^2 \approx 7.7 \times 10^{11}$

麦克斯韦方程与光速的困境

1865年，麦克斯韦从他的电磁场方程组出发，推导出了电磁波的传播速度：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

其中 $\mu_0$ 是真空磁导率， $\varepsilon_0$ 是真空电容率。将已知数值代入：

$c = \frac{1}{\sqrt{4\pi \times 10^{-7} \times 8.85 \times 10^{-12}}} \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$

然而，随之而来的是一个深刻的矛盾。

两种可能的解释，都面临严重问题：

经典速度叠加与恒定光速之间，存在根本性的冲突：

例题

按经典速度叠加：

$u_A = c + v = 3 \times 10^8 + 2 \times 10^5 = 3.002 \times 10^8\ \text{m/s}$

$u_B = c - v = 3 \times 10^8 - 2 \times 10^5 = 2.998 \times 10^8\ \text{m/s}$

迈克尔逊-莫雷实验

实验装置

实验装置称为迈克尔逊干涉仪。光源发出的光，经半透半反镜分成两束，分别沿两条互相垂直的等长臂传播，经镜面反射后重新汇合，产生干涉条纹。

如果以太存在，两臂光的往返时间不同，汇合后就会产生相位差，干涉条纹发生偏移。将仪器旋转 $90°$ 后偏移方向反转，从而确认以太风的存在。

预期的时间差计算

设臂长为 $L$ ，地球相对以太的速度为 $v \approx 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ （地球公转速度），光速为 $c$ 。

沿运动方向往返时间（顺向光速 $c+v$ ，逆向光速 $c-v$ ）：

$t_1 = \frac{L}{c+v} + \frac{L}{c-v} = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2}$

垂直方向往返时间（光路呈等腰三角形）：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

由于 $v/c \approx 10^{-4} \ll 1$ ，利用近似展开得到时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{Lv^2}{c^3}$

对应的干涉条纹偏移量（ $\lambda$ 为光的波长）：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} \approx \frac{Lv^2}{c^2 \lambda}$

以实验数据 $L \approx 11\ \text{m}$ ， $\lambda = 590\ \text{nm}$ 代入：

$\Delta n \approx \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^2 \times 590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

旋转 $90°$ 前后两次测量累计偏移约 $0.37$ 个条纹，以当时仪器可分辨精度 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到。

实验结果

偏移量：零。

迈克尔逊和莫雷反复测量，更换仪器，在不同季节、不同时间重复实验，始终没有观察到任何条纹偏移。以下是几次主要观测的结果对比：

实验时间	预期偏移量	实际观测偏移量	结论
1887年7月	$\approx 0.37$ 个条纹	$< 0.01$ 个条纹	未检测到以太风
1887年后多次重复	$\approx 0.37$ 个条纹	$< 0.01$ 个条纹	结果一致为零

例题

（1）计算 $v/c$ 的比值；（2）利用近似公式 $\Delta t \approx Lv^2/c^3$ 计算预期时间差；（3）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$ 。

解：

$\frac{v}{c} = \frac{3 \times 10^4}{3 \times 10^8} = 10^{-4}$

$\Delta t \approx \frac{Lv^2}{c^3} = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

预期约 $0.19$ 个条纹偏移，而实际测量结果为零，远低于仪器分辨精度的约 $1\%$ 。

洛伦兹收缩：一次失败的修补

实验结果令物理学家陷入困惑。既然不愿放弃以太，那只能想办法解释为什么“以太风”探测不到。

$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

不同速度下的收缩效果如下：

例题

直径 $D = 2R = 1.28 \times 10^7\ \text{m}$ ，利用近似公式 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$ （ $x \ll 1$ ）：

$\Delta D = D \cdot \frac{v^2}{2c^2} = 1.28 \times 10^7 \times \frac{(3 \times 10^4)^2}{2 \times (3 \times 10^8)^2} = 1.28 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-9} \approx 0.064\ \text{m}$

地球直径收缩约 $6.4\ \text{cm}$ ——对直径 $1.28 \times 10^7\ \text{m}$ 的地球而言，这是原长的五十亿分之一，任何宏观仪器都无从测量。

经典物理大厦的裂缝

到19世纪末，物理学家面对的局面可以用下表来概括：

练习题

选择题

题目一（以太假说的性质）

19世纪物理学家要求“以太”具有极高弹性（刚性极强）的原因是：

A. 光能在真空中传播，真空弹性最大

B. 以太密度极大，需要高弹性来保持形状

C. 光速极高，根据波动理论，介质刚性越大，波速越快

D. 以太对行星运动无阻力，需要弹性来补偿

答案：C

题目二（麦克斯韦方程与速度叠加的矛盾）

麦克斯韦方程推导出光速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ ，这与经典力学速度叠加产生矛盾，根本原因是：

A. 麦克斯韦方程只适用于真空，不适用于介质

B. 麦克斯韦方程给出的光速是固定常数，而经典速度叠加要求速度随参考系变化

C. 伽利略变换只适用于力学，电磁学本来就不适用

D. 光源的运动方向与速度都会影响光速的大小

答案：B

题目三（迈克尔逊-莫雷实验）

迈克尔逊-莫雷实验的核心结论是：

A. 以太存在，并随地球一起运动（以太拖拽）

B. 地球相对以太的速度非常小，仅凭当时仪器精度不够

C. 没有发现预期的干涉条纹偏移，无法探测到“以太风”的存在

D. 光速在平行和垂直地球公转方向上略有不同，与以太理论一致

答案：C

题目四（洛伦兹收缩假说的本质）

洛伦兹-菲茨杰拉德收缩假说的根本缺陷是：

A. 收缩量太小，任何实验都无法验证

B. 该假说是专为解释迈克尔逊-莫雷实验而设计的，没有独立的物理机制，不能预测其他新现象

C. 收缩公式在数学上存在错误

D. 洛伦兹只考虑了长度变化，完全没有考虑时间的变化

答案：B

计算题

计算题一（迈克尔逊-莫雷实验的预期偏移量）

（1）计算沿运动方向往返时间 $t_1 = \dfrac{2Lc}{c^2 - v^2}$ ；

（2）计算垂直方向往返时间 $t_2 = \dfrac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$ ；

（3）利用近似 $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ 和 $(1-x)^{-1/2} \approx 1 + x/2$ （令 $x = v^2/c^2$ ），证明时间差约为 $\Delta t \approx Lv^2/c^3$ ，并计算其数值；

（4）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$ 。

解题过程：

令 $\beta = v/c = 10^{-4}$ ， $\beta^2 = 10^{-8}$ 。

（1） 沿运动方向往返时间：

$t_1 = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2} = \frac{2 \times 11}{3 \times 10^8} \times \frac{1}{1 - 10^{-8}}$

$t_1 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 10^{-8}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（2） 垂直方向往返时间：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx \frac{2L}{c}\left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right)$

$t_2 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 5 \times 10^{-9}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（3） 时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{2L}{c}\left[\frac{1}{1-\beta^2} - \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]$

$\approx \frac{2L}{c}\left[(1+\beta^2) - \left(1 + \frac{\beta^2}{2}\right)\right] = \frac{2L}{c} \cdot \frac{\beta^2}{2} = \frac{L\beta^2}{c} = \frac{Lv^2}{c^3}$

数值计算：

$\Delta t = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

（4） 预期条纹偏移量：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} = \frac{1.11 \times 10^{-7}}{5.9 \times 10^{-7}} \approx 0.19$

考虑旋转 $90°$ 前后两次测量的总偏移量约为 $2\Delta n \approx 0.37$ 个条纹。而实验仪器精度为 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到，但实际结果为零。

计算题二（洛伦兹收缩量的计算与对比）

一艘飞船静止时长度为 $L_0 = 100\ \text{m}$ ，按照洛伦兹收缩公式 $L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ， $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 。

（1）当飞船以地球公转速度 $v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 运动时，利用近似 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$ （ $x \ll 1$ ），计算收缩量 $\Delta L_1$ ；

（2）当飞船以 $v_2 = 0.6c$ 运动时，精确计算飞船的长度 $L_2$ 及收缩量 $\Delta L_2$ ；

（3）比较两种情况，说明在日常速度下洛伦兹收缩为何完全感知不到。

解题过程：

（1） $v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 时， $v_1/c = 10^{-4}$ ， $v_1^2/c^2 = 10^{-8}$ ：

$\Delta L_1 = L_0 \cdot \frac{v_1^2}{2c^2} = 100 \times \frac{10^{-8}}{2} = 5 \times 10^{-7}\ \text{m} = 500\ \text{nm}$

收缩量约为 $500\ \text{nm}$ （纳米级），仅为飞船原长的五十亿分之一，远小于可见光波长，任何宏观仪器都无法测量。

（2） $v_2 = 0.6c$ 时，精确计算：

$L_2 = L_0\sqrt{1 - (0.6)^2} = 100 \times \sqrt{1 - 0.36} = 100 \times \sqrt{0.64} = 100 \times 0.8 = 80\ \text{m}$

$\Delta L_2 = L_0 - L_2 = 100 - 80 = 20\ \text{m}$

飞船长度缩短 $20\ \text{m}$ ，收缩量达原长的 $20\%$ ，非常显著。

（3） 对比：

速度	收缩量	相对原长的比例	是否可感知
$v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$	$500\ \text{nm}$	$5 \times 10^{-9}$	完全不可感知
$v_2 = 0.6c$	$20\ \text{m}$	$20\%$	极为显著