连续系统与场的拉格朗日-哈密顿方法

前面各章所处理的系统，都有有限个自由度——无论是单个质点、刚体，还是由有限个粒子组成的力学系统。然而，弦的横向振动、声波在空气中的传播、电磁场在空间中的演化，这些物理现象本质上涉及无穷多个自由度。把拉格朗日力学和哈密顿力学推广到这类系统，既是经典力学体系的自然延伸，也是理解场论和现代物理的入口。从弦的振动出发，可以清晰地看到离散体系如何平滑过渡到连续场，以及对称性如何通过诺特定理与守恒律产生深层联系。

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从离散系统到连续系统

以一根紧绷的弦为例。先把它离散化：将弦分成 $N$ 段，每段长度 $\Delta x$，每段端点处有一个质量为 $m = \mu\Delta x$ 的质点（$\mu$ 为线质量密度，单位 $\mathrm{kg/m}$），相邻质点之间以劲度系数 $\kappa$ 的弹簧连接。第 $i$ 个质点的横向位移记为 $y_i(t)$，其运动方程为：

$$\mu\Delta x\,\ddot{y}_i = \kappa\!\left(y_{i+1} - y_i\right) - \kappa\!\left(y_i - y_{i-1}\right) = \kappa\!\left(y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}\right)$$

令 $\Delta x \to 0$，同时保持弦的张力 $T = \kappa\Delta x$ 不变，右边的有限差分趋近于二阶偏导数：

$$\frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{(\Delta x)^2} \;\longrightarrow\; \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

于是离散的运动方程平滑过渡为连续弦的波动方程：

$$\mu\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

波速 $v = \sqrt{T/\mu}$（单位：$\mathrm{m/s}$），这就是经典的一维波动方程。

与此同时，离散系统的拉格朗日量也经历同样的过渡。离散系统的拉格朗日量：

$$L = \sum_i \left[\frac{1}{2}\mu\Delta x\,\dot{y}_i^2 - \frac{1}{2}\kappa\!\left(y_{i+1}-y_i\right)^2\right]$$

连续极限下，对 $x$ 的求和变成积分，得到：

$$L = \int \mathcal{L}\!\left(y, \dot{y}, y'\right)dx, \quad \mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T\!\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{\!2}$$

函数 $\mathcal{L}$ 称为拉格朗日密度（单位：$\mathrm{J/m}$），它是描述连续系统动力学的基本量。

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拉格朗日密度与场方程

对于一个广义场 $\phi(x^1, x^2, x^3, t) = \phi(x^\mu)$（$\mu = 0,1,2,3$），其中 $x^0 = t$ 为时间坐标，系统的拉格朗日量写为：

$$L = \int \mathcal{L}\!\left(\phi,\;\partial_\mu\phi\right) d^3x$$

对应的作用量为：

$$S = \int L\,dt = \int \mathcal{L}\!\left(\phi,\;\partial_\mu\phi\right) d^4x$$

对作用量取极值 $\delta S = 0$，经过与离散情形完全平行的变分计算，得到欧拉-拉格朗日场方程：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = 0$$

这是连续场的运动方程，地位与有限自由度系统中拉格朗日方程完全相同。

• 例一：弦的波动方程验证

弦的拉格朗日密度为 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T(y')^2$，其中 $\dot{y} = \partial y/\partial t$，$y' = \partial y/\partial x$。

计算各偏导数：$\partial\mathcal{L}/\partial y = 0$，$\partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，$\partial\mathcal{L}/\partial y' = -Ty'$。代入欧拉-拉格朗日场方程：

$$0 - \frac{\partial}{\partial t}(\mu\dot{y}) - \frac{\partial}{\partial x}(-Ty') = 0 \implies \mu\ddot{y} = Ty''$$

正好就是前面得到的波动方程，验证了场方程的正确性。

• 例二：标量场的Klein-Gordon方程

在相对论场论中，质量为 $m$ 的标量场 $\phi(x^\mu)$ 的拉格朗日密度为：

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi - \frac{1}{2}\!\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^{\!2}\phi^2$$

其中 $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ 为闵可夫斯基度规。代入场方程后得到：

$$\Box\phi + \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^{\!2}\phi = 0, \quad \Box \equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2\nabla^2$$

这就是Klein-Gordon方程，描述相对论性自旋为零的粒子的传播，$m=0$ 时退化为标准的波动方程。

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连续系统的哈密顿形式

类比离散系统中从拉格朗日量到哈密顿量的过渡，连续系统中先定义正则动量密度 $\pi$，其定义为：

$$\pi(x,t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}$$

再通过对空间的勒让德变换得到哈密顿密度（单位：$\mathrm{J/m^3}$）：

$$\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}$$

系统总哈密顿量（即总能量）为：

$$H = \int \mathcal{H}\!\left(\phi, \pi, \nabla\phi\right) d^3x$$

连续系统的哈密顿方程为：

$$\dot{\phi} = \frac{\delta H}{\delta \pi}, \quad \dot{\pi} = -\frac{\delta H}{\delta \phi}$$

其中 $\delta H/\delta\phi$ 表示泛函导数（functional derivative），其定义与离散情形中的偏导数平行，只是需要同时考虑 $\mathcal{H}$ 对 $\phi$ 的直接依赖和通过 $\nabla\phi$ 的间接依赖。

• 例三：弦的哈密顿密度

弦的正则动量密度 $\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，单位为 $\mathrm{kg/s}$（即单位长度弦所携带的横向动量，$[\mathrm{kg/m}]\times[\mathrm{m/s}]=[\mathrm{kg/s}]$）。哈密顿密度为：

$$\mathcal{H} = \pi\dot{y} - \mathcal{L} = \mu\dot{y}^2 - \left(\frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T y'^2\right) = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 + \frac{1}{2}Ty'^2$$

用 $\pi$ 表示：$\mathcal{H} = \pi^2/(2\mu) + Ty'^2/2$。前一项是动能密度，后一项是弹性势能密度，总哈密顿量 $H = \int\mathcal{H}\,dx$ 就是弦的总机械能，在无耗散情形下守恒。

应力-能量张量与守恒定理

对于时空均匀的系统，存在一个称为应力-能量张量（或能量-动量张量）的量 $T^{\mu\nu}$，定义为：

$$T^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$$

它是一个 $4\times4$ 张量，包含了系统的能量密度、动量密度以及应力（动量流密度）等全部信息。

当场方程成立时，可以验证 $T^{\mu\nu}$ 满足守恒方程：

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$

这四个方程（$\nu = 0, 1, 2, 3$）分别对应能量守恒和三个方向的动量守恒。

• 例四：弦的能量守恒

弦的能量密度 $\mathcal{H} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 + \frac{1}{2}Ty'^2$。对时间求导：

$$\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t} = \mu\dot{y}\ddot{y} + Ty'\dot{y}' = \dot{y}(\mu\ddot{y} - Ty'') + \frac{\partial}{\partial x}(Ty'\dot{y})$$

利用波动方程 $\mu\ddot{y} = Ty''$，括号内第一项为零，得到：

$$\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\!\left(-Ty'\dot{y}\right) = 0$$

这是能量守恒的局域形式：能量密度的时间变化率等于能量流 $J_E = -Ty'\dot{y}$（单位：$\mathrm{W/m^2}$）在空间上的散度的负值。

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诺特定理：对称性与守恒律

1915年，德国数学家埃米·诺特证明了一条极为深刻的定理：对于每一种连续对称性，系统都对应一个守恒量。 这条定理将对称性与守恒律的关系从经验现象提升为数学必然。

设作用量在如下无穷小变换下不变：

$$x^\mu \to x^\mu + \epsilon\,\delta x^\mu, \quad \phi \to \phi + \epsilon\,\delta\phi$$

其中 $\epsilon$ 是无穷小参数，$\delta x^\mu$ 和 $\delta\phi$ 描述变换的方向。诺特定理指出，必然存在一个守恒流 $j^\mu$，满足：

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

对应的守恒荷（charge）为：

$$Q = \int j^0\,d^3x = \text{常数}$$

• 例五：时间平移不变性给出能量守恒

若拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 不显含时间 $t$，则作用量在时间平移 $t \to t + \epsilon$ 下不变，对应 $\delta x^0 = 1$，$\delta\phi = 0$。诺特流的时间分量正好就是哈密顿密度：

$$j^0 = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L} = \mathcal{H}$$

守恒条件 $\partial_\mu j^\mu = 0$ 正是前面推导的能量守恒方程，守恒荷 $Q = \int\mathcal{H}\,d^3x = H$ 就是总能量。

• 例六：相位旋转不变性给出电荷守恒

复标量场 $\phi$ 的拉格朗日密度 $\mathcal{L} = |\partial_\mu\phi|^2 - m^2|\phi|^2$ 在整体相位变换 $\phi \to e^{i\alpha}\phi$ 下不变（$\alpha$ 为实常数）。对应的诺特流为：

$$j^\mu = i\!\left(\phi^*\partial^\mu\phi - \phi\partial^\mu\phi^*\right)$$

守恒荷 $Q = \int j^0\,d^3x$ 在量子场论中对应粒子数之差（粒子数减去反粒子数），物理上就是电荷守恒定律的经典对应。

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相对论场论基础

将连续场的分析力学框架与狭义相对论结合，便进入相对论场论的领域。相对论场论的核心原则是：拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 必须是洛伦兹标量，即在洛伦兹变换下保持不变，从而保证场方程在所有惯性参考系中具有相同的形式。

根据场的洛伦兹变换性质，场可以分类：

• 例七：电磁场的拉格朗日密度

电磁场由四维矢量势 $A^\mu = (\varphi/c, \mathbf{A})$ 描述（单位：$\mathrm{V\cdot s/m}$），场强张量定义为：

$$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$

$F_{\mu\nu}$ 的分量包含了电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{B}$（单位：$\mathrm{V/m}$ 和 $\mathrm{T}$）。电磁场的拉格朗日密度为：

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \frac{\varepsilon_0}{2}\!\left(E^2 - c^2B^2\right)$$

将这个 $\mathcal{L}$ 代入欧拉-拉格朗日场方程，直接得到麦克斯韦方程组的前两组（有源方程）：

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 j^\nu$$

而后两组（无源方程，即 $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 和法拉第定律）则是 $F_{\mu\nu}$ 反对称性的自动结果，无需额外引入。

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练习题

• 1. 关于从离散系统过渡到连续系统，下列说法正确的是：

A. 连续系统的拉格朗日量等于拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 本身，不需要对空间积分

B. 对 $N$ 个质点组成的弦离散模型取极限 $\Delta x \to 0$ 时，差分方程变为偏微分波动方程

C. 拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 的单位与拉格朗日量 $L$ 的单位相同，均为 $\mathrm{J}$

D. 连续弦的波速 $v = \sqrt{T/\mu}$ 中，$T$ 是绝对温度

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答案：B

分析：连续系统的拉格朗日量是拉格朗日密度对空间的积分 $L = \int\mathcal{L}\,dx$，A 错误。拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 的单位是 $\mathrm{J/m}$（一维）或 $\mathrm{J/m^3}$（三维），而 $L$ 的单位是 $\mathrm{J}$，C 错误。弦波速公式中 $T$ 是弦的张力（单位 $\mathrm{N}$），不是温度，D 错误。B 正确：对离散弦模型取连续极限，有限差分 $(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1})/(\Delta x)^2$ 趋近于 $\partial^2 y/\partial x^2$，运动方程变为波动方程 $\mu\partial^2 y/\partial t^2 = T\partial^2 y/\partial x^2$。

• 2. 将欧拉-拉格朗日场方程应用于拉格朗日密度 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi)$ 时，得到的场方程是：

A. $\phi = 0$（$\phi$ 等于零）

B. $\nabla^2\phi = 0$（泊松方程，仅含空间导数）

C. $\Box\phi = 0$，即 $\partial^2\phi/\partial t^2 = c^2\nabla^2\phi$（波动方程）

D. $\partial\phi/\partial t = 0$（$\phi$ 不随时间变化）

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答案：C

分析：对 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi)$，有 $\partial\mathcal{L}/\partial\phi = 0$，$\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu\phi) = \partial^\mu\phi$。代入场方程 $\partial_\mu(\partial^\mu\phi) = 0$，即 $\Box\phi = 0$，就是无质量标量场满足的波动方程，C 正确。这里 $\Box = \partial^2/\partial t^2 - c^2\nabla^2$ 是达朗贝尔算符，包含时间和空间的二阶导数，B（只有空间导数）和 D（只有时间导数）均不完整。

• 3. 关于诺特定理，下列说法正确的是：

A. 诺特定理仅适用于有限自由度系统，不适用于场论

B. 空间平移不变性对应能量守恒，时间平移不变性对应动量守恒

C. 每一种连续对称性对应一个守恒流 $j^\mu$，满足 $\partial_\mu j^\mu = 0$，对应守恒荷 $Q = \int j^0 d^3x$

D. 规范对称性（相位变换不变性）对应角动量守恒

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答案：C

分析：诺特定理对有限自由度系统和场论都成立，A 错误。能量守恒来自时间平移不变性，动量守恒来自空间平移不变性，B 的说法正好相反，B 错误。规范对称性（如复场相位变换）对应电荷守恒，不是角动量守恒，D 错误。C 正确地描述了诺特定理的内容：连续对称性 $\Rightarrow$ 守恒流 $\partial_\mu j^\mu = 0$ $\Rightarrow$ 守恒荷 $Q$ 为常数。

• 4. 弦的正则动量密度 $\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，哈密顿密度 $\mathcal{H} = \pi^2/(2\mu) + T(y')^2/2$。下列关于弦的哈密顿量的说法，正确的是：

A. 总哈密顿量 $H = \int\mathcal{H}\,dx$ 表示弦的总势能，不包含动能

B. $\mathcal{H}$ 中的 $\pi^2/(2\mu)$ 项对应弦的横向动能密度，$T(y')^2/2$ 对应弹性势能密度

C. 弦的哈密顿量 $H$ 不守恒，因为弦是连续系统

D. 正则动量密度 $\pi$ 的单位与广义动量（$\mathrm{kg\cdot m/s}$）相同

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答案：B

分析：哈密顿密度 $\mathcal{H} = \pi^2/(2\mu) + T(y')^2/2$ 中，第一项 $= \mu\dot{y}^2/2$ 是单位长度的动能（动能密度），第二项是单位长度的弹性势能（势能密度），总哈密顿量是两者之和，A 错误。在无外力和无耗散情形下，弦的总机械能守恒，C 错误。正则动量密度 $\pi = \mu\dot{y}$ 的单位是 $\mathrm{kg/(m\cdot s)}$（即动量除以长度），而不是 $\mathrm{kg\cdot m/s}$，D 错误。B 正确。

• 5. 一根两端固定、长度为 $L$（单位 $\mathrm{m}$）的弦，线密度 $\mu$（$\mathrm{kg/m}$），张力 $T$（$\mathrm{N}$），自然振动的驻波解形如 $y_n(x,t) = A_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t + \varphi_n)$，其中 $n = 1,2,3,\ldots$。（一）将驻波解代入波动方程 $\mu\ddot{y} = Ty''$，求各阶角频率 $\omega_n$；（二）写出第 $n$ 阶模式的拉格朗日密度 $\mathcal{L}_n$，并计算整弦的拉格朗日量 $L_n = \int_0^L \mathcal{L}_n\,dx$；（三）说明为何不同阶模式之间的拉格朗日量相互独立（提示：利用正弦函数的正交性）。

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解：

（一）将 $y_n = A_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t+\varphi_n)$ 代入 $\mu\ddot{y} = Ty''$：

$$-\mu\omega_n^2 A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_n t+\varphi_n) = -T\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2}A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_n t+\varphi_n)$$

两边约去公因子，得：

$$\omega_n^2 = \frac{T}{\mu}\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2} \implies \omega_n = \frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{n\pi v}{L}$$

其中 $v = \sqrt{T/\mu}$（$\mathrm{m/s}$）为波速，$\omega_n$ 的单位为 $\mathrm{rad/s}$。基频（$n=1$）为 $\omega_1 = \pi v/L$，各阶频率均为基频的整数倍。

（二）第 $n$ 阶模式的横向速度和斜率分别为：

$$\dot{y}_n = -A_n\omega_n\sin\frac{n\pi x}{L}\sin(\omega_n t+\varphi_n), \quad y_n' = A_n\frac{n\pi}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_n t+\varphi_n)$$

拉格朗日密度：

$$\mathcal{L}_n = \frac{1}{2}\mu\dot{y}_n^2 - \frac{1}{2}T(y_n')^2$$$$= \frac{1}{2}\mu A_n^2\omega_n^2\sin^2\!\frac{n\pi x}{L}\sin^2(\omega_n t+\varphi_n) - \frac{1}{2}T A_n^2\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2}\cos^2\!\frac{n\pi x}{L}\cos^2(\omega_n t+\varphi_n)$$

对 $x$ 从 $0$ 到 $L$ 积分，利用 $\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)\,dx = \int_0^L\cos^2(n\pi x/L)\,dx = L/2$：

$$L_n = \frac{1}{4}\mu A_n^2\omega_n^2 L\sin^2(\omega_n t+\varphi_n) - \frac{1}{4}T A_n^2\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2} L\cos^2(\omega_n t+\varphi_n)$$

由 $\omega_n^2 = T(n\pi/L)^2/\mu$，两系数的大小相等，故：

$$L_n = \frac{\mu A_n^2\omega_n^2 L}{4}\!\left[\sin^2(\omega_n t+\varphi_n) - \cos^2(\omega_n t+\varphi_n)\right] = -\frac{\mu A_n^2\omega_n^2 L}{4}\cos(2\omega_n t+2\varphi_n)$$

（三）对于两个不同阶数 $m \neq n$，混合项中含有 $\int_0^L\sin(m\pi x/L)\sin(n\pi x/L)\,dx = 0$ 和 $\int_0^L\cos(m\pi x/L)\cos(n\pi x/L)\,dx = 0$（正弦和余弦函数族在 $[0,L]$ 上满足正交性）。因此，总拉格朗日量 $L = \int_0^L\mathcal{L}\,dx$ 在展开时，不同模式之间的交叉项全部消失，各阶模式的拉格朗日量直接相加，彼此独立——连续弦等效于无穷多个相互独立的谐振子。

• 6. 对于拉格朗日密度 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T(y')^2$，用诺特定理验证空间平移不变性对应动量守恒。（一）写出对应空间平移 $x \to x + \epsilon$ 的诺特流；（二）写出对应的守恒方程；（三）计算弦的总广义动量 $P = \int j^0\,dx$ 并说明其物理意义。

显示答案

解：

（一）空间平移 $x \to x + \epsilon$ 对应 $\delta x = 1$，$\delta t = 0$，场的变化 $\delta y = -y'$（场随坐标平移的变化）。

对于空间平移，诺特流（动量流密度）的时间分量为：

$$j^0 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}}\delta y = \pi\cdot(-y') = -\mu\dot{y}\cdot y'$$

空间分量（即动量流密度，即应力）为：

$$j^1 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y'}\delta y - \mathcal{L}\cdot\delta x = (-Ty')(-y') - \mathcal{L} = T(y')^2 - \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 + \frac{1}{2}T(y')^2 = \frac{3}{2}T(y')^2 - \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2$$

更标准的推导给出应力-能量张量分量 $T^{10} = -Ty'\dot{y}$（动量流）和 $T^{00} = \mathcal{H}$（能量密度），这里动量守恒的诺特流为：

$$j^0 = -\mu\dot{y}\,y', \quad j^1 = T^{11} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T(y')^2 = -\mathcal{L}$$

（二）守恒方程为 $\partial_t j^0 + \partial_x j^1 = 0$，即：

$$\frac{\partial}{\partial t}(-\mu\dot{y}\,y') + \frac{\partial}{\partial x}\!\left(-\mathcal{L}\right) = 0$$

验证：展开左边第一项：

$$\frac{\partial}{\partial t}(-\mu\dot{y}\,y') = -\mu\ddot{y}\,y' - \mu\dot{y}\,\dot{y}'$$

第二项：

$$\frac{\partial}{\partial x}(-\mathcal{L}) = -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}\bigg|_{\text{显含}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}y' - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}}\dot{y}' - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y'}y'' = \mu\dot{y}\dot{y}' + Ty'y''$$

两项之和为 $-\mu\ddot{y}y' + Ty'y'' = y'(T y'' - \mu\ddot{y}) = 0$（利用波动方程），守恒方程成立。

（三）总广义动量：

$$P = \int_0^L j^0\,dx = -\int_0^L \mu\dot{y}\,y'\,dx = -\mu\int_0^L\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial x}\,dx$$

$P$ 的单位为 $\mathrm{kg\cdot m/s}$，称为弦的“准动量”（pseudo-momentum）或“场动量”，它描述弦上振动波型在空间中整体平移所对应的守恒量。对于两端固定的弦（边界条件 $y(0,t) = y(L,t) = 0$），驻波情形下左行波和右行波的动量大小相等、方向相反，总场动量为零，与空间平移对称性在有限边界下受到破坏的情况相吻合。