物理 热力学深化 热力学系统的稳定性 热力学系统的稳定性
一杯水放在桌上，轻轻搅动后会平静下来；一根铅笔竖立在指尖上，稍有风吹就倒下。两种情形的本质区别在于平衡态是否稳定。热力学中同样存在这个问题：一个处于平衡态的系统，受到微小扰动后，能否自动恢复到原来的状态？这不仅是理论上的问题，更决定了物质能否以某种相态长期存在，以及在极端条件下会发生什么样的相变。
平衡态的稳定性
当一个热力学系统处于平衡态时，它的状态由温度、压强、体积等宏观量完全描述。稳定的平衡态具有一种「自我修复」能力：若系统受到微小扰动——温度略微偏离、体积稍微变化——系统会自发地将这些偏离压制回去，重新回到原来的状态。从能量角度看，稳定平衡态对应内能的极小值，类似于小球位于碗底，受扰动后总会滚回最低点。若系统处于内能极大或鞍点处，则平衡是不稳定的，微小扰动就会使系统失控地偏离。
例题 两个子系统 A A A B B B T A T_A T A T B T_B T B T A = T B = T 0 T_A = T_B = T_0 T A = T B = T 0 A A A δ T \delta T δ T B B B δ T \delta T δ T
扰动使 A A A B B B A A A B B B C v > 0 C_v > 0 C v > 0
热稳定性：热容必须为正
热稳定性是最直观的稳定性条件，要求系统的定容热容 C v C_v C v T 0 T_0 T 0 T 0 T_0 T 0 δ T > 0 \delta T > 0 δ T > 0
若 C v > 0 C_v > 0 C v > 0 ：系统温度高于热库，热量自发从系统流向热库，系统温度降回 T 0 T_0 T 0 若 C v < 0 C_v < 0 C v < 0 ：系统温度升高后，内能反而降低（「负热容」），系统会继续从热库吸热以补偿内能损失，使温度进一步偏离 T 0 T_0 T 0
热稳定性条件：
C v > 0 C_v > 0 C v > 0 C v > 0 C_v > 0 C v > 0 C v < 0 C_v < 0 C v < 0 C v > 0 C_v > 0 C v > 0
例题 理想单原子气体的定容摩尔热容为 c v , m = 3 2 R c_{v,m} = \dfrac{3}{2}R c v , m = 2 3 R
c v , m = 3 2 R = 3 2 × 8.314 ≈ 12.47 J/(mol ⋅ K) > 0 c_{v,m} = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \times 8.314 \approx 12.47\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} > 0 c v , m = 2 3 R = 2 3 × 8.314 ≈ 12.47 J/(mol ⋅ K) > 0 c v , m > 0 c_{v,m} > 0 c v , m > 0
力学稳定性：等温压缩系数必须为正
力学稳定性对应体积（或密度）扰动能被系统消除的能力，判据涉及等温压缩系数 κ T \kappa_T κ T
等温压缩系数定义为：
κ T = − 1 V ( ∂ V ∂ P ) T \kappa_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T κ T = − V 1 ( ∂ P ∂ V ) T 它描述等温条件下，压强增加时体积相对减小的程度。对于正常物质，压强升高时体积缩小，故 ( ∂ V / ∂ P ) T < 0 (\partial V/\partial P)_T < 0 ( ∂ V / ∂ P ) T < 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
力学稳定性分析：考虑系统内某个局部区域，因扰动而体积略微压缩（局部密度升高）。
若 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0 ：密度升高导致局部压强升高，高压区的物质向周围低压区扩散，将密度涨落抹平，系统恢复均匀。若 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0 ：密度升高后压强反而降低，外界对该区域施加的净压力会进一步压缩它，使局部密度无限增大，系统不稳定。
力学稳定性条件：
κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0 ( P + a V m 2 ) ( V m − b ) = R T \left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT ( P + V m 2 a ) ( V m − b ) = RT 其中 V m V_m V m a a a b b b ( ∂ P / ∂ V m ) T (\partial P/\partial V_m)_T ( ∂ P / ∂ V m ) T
对状态方程求导：
( ∂ P ∂ V m ) T = − R T ( V m − b ) 2 + 2 a V m 3 \left(\frac{\partial P}{\partial V_m}\right)_T = -\frac{RT}{(V_m - b)^2} + \frac{2a}{V_m^3} ( ∂ V m ∂ P ) T = − ( V m − b ) 2 RT + V m 3 2 a 力学稳定性要求 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0 (\partial P/\partial V_m)_T < 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0
R T ( V m − b ) 2 > 2 a V m 3 \frac{RT}{(V_m - b)^2} > \frac{2a}{V_m^3} ( V m − b ) 2 RT > V m 3 2 a 在低温或中等摩尔体积区域，右侧项可能超过左侧，导致 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0 (\partial P/\partial V_m)_T > 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0
稳定性条件的热力学推导
两个稳定性判据可以从内能极小原理出发系统地导出。对于单组分简单系统，内能 U = U ( S , V , N ) U = U(S, V, N) U = U ( S , V , N ) S S S V V V
对 S S S
∂ 2 U ∂ S 2 ∣ V , N > 0 ⟺ ( ∂ T ∂ S ) V , N > 0 ⟺ T N C v > 0 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\bigg|_{V,N} > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{V,N} > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{T}{NC_v} > 0 ∂ S 2 ∂ 2 U V , N > 0 ⟺ ( ∂ S ∂ T ) V , N > 0 ⟺ N C v T > 0 由于 T > 0 T > 0 T > 0 N > 0 N > 0 N > 0 C v > 0 C_v > 0 C v > 0
对 V V V
∂ 2 U ∂ V 2 ∣ S , N > 0 ⟺ − ( ∂ P ∂ V ) S , N > 0 ⟺ κ S > 0 \frac{\partial^2 U}{\partial V^2}\bigg|_{S,N} > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S,N} > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \kappa_S > 0 ∂ V 2 ∂ 2 U S , N > 0 ⟺ − ( ∂ V ∂ P ) S , N > 0 ⟺ κ S > 0 其中 κ S \kappa_S κ S C v > 0 C_v > 0 C v > 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0 κ S > 0 \kappa_S > 0 κ S > 0
稳定性条件 C v > 0 C_v > 0 C v > 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
例题 某流体在特定条件下，实验测得 ( ∂ P / ∂ V m ) T = + 5 × 10 8 P a ⋅ m o l / m 3 (\partial P/\partial V_m)_T = +5 \times 10^8\ \mathrm{Pa\cdot mol/m}^3 ( ∂ P / ∂ V m ) T = + 5 × 1 0 8 Pa ⋅ mol/m 3
( ∂ P / ∂ V m ) T > 0 (\partial P/\partial V_m)_T > 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0
κ T = − 1 V ( ∂ V ∂ P ) T = − 1 / V ( ∂ P / ∂ V ) T < 0 \kappa_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = \frac{-1/V}{(\partial P/\partial V)_T} < 0 κ T = − V 1 ( ∂ P ∂ V ) T = ( ∂ P / ∂ V ) T − 1/ V < 0 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
κ S < κ T \kappa_S < \kappa_T κ S < κ T
当系统接近失稳边界时，等温压缩系数 κ T → ∞ \kappa_T \to \infty κ T → ∞
例题 水在 T = 298 K T = 298\ \text{K} T = 298 K P = 1.013 × 10 5 Pa P = 1.013 \times 10^5\ \text{Pa} P = 1.013 × 1 0 5 Pa α = 2.57 × 10 − 4 K − 1 \alpha = 2.57 \times 10^{-4}\ \text{K}^{-1} α = 2.57 × 1 0 − 4 K − 1 κ T = 4.53 × 10 − 10 Pa − 1 \kappa_T = 4.53 \times 10^{-10}\ \text{Pa}^{-1} κ T = 4.53 × 1 0 − 10 Pa − 1 V m = 18.0 × 10 − 6 m 3 / mol V_m = 18.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 18.0 × 1 0 − 6 m 3 / mol C V , m = 74.8 J/(mol ⋅ K) C_{V,m} = 74.8\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C V , m = 74.8 J/(mol ⋅ K) C P , m − C V , m C_{P,m} - C_{V,m} C P , m − C V , m C P > C V C_P > C_V C P > C V
C P , m − C V , m = T V m α 2 κ T = 298 × 18.0 × 10 − 6 × ( 2.57 × 10 − 4 ) 2 4.53 × 10 − 10 C_{P,m} - C_{V,m} = \frac{T V_m \alpha^2}{\kappa_T} = \frac{298 \times 18.0 \times 10^{-6} \times (2.57 \times 10^{-4})^2}{4.53 \times 10^{-10}} C P , m − C V , m = κ T T V m α 2 = 4.53 × 1 0 − 10 298 × 18.0 × 1 0 − 6 × ( 2.57 × 1 0 − 4 ) 2 分子计算：
298 × 18.0 × 10 − 6 × 6.605 × 10 − 8 ≈ 3.543 × 10 − 10 m 3 ⋅ K − 1 / mol 298 \times 18.0 \times 10^{-6} \times 6.605 \times 10^{-8} \approx 3.543 \times 10^{-10}\ \text{m}^3\cdot\text{K}^{-1}/\text{mol} 298 × 18.0 × 1 0 − 6 × 6.605 × 1 0 − 8 ≈ 3.543 × 1 0 − 10 m 3 ⋅ K − 1 / mol C P , m − C V , m = 3.543 × 10 − 10 4.53 × 10 − 10 ≈ 0.78 J/(mol ⋅ K) C_{P,m} - C_{V,m} = \frac{3.543 \times 10^{-10}}{4.53 \times 10^{-10}} \approx 0.78\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C P , m − C V , m = 4.53 × 1 0 − 10 3.543 × 1 0 − 10 ≈ 0.78 J/(mol ⋅ K) C P , m ≈ 74.8 + 0.78 = 75.6 J/(mol ⋅ K) > C V , m ✓ C_{P,m} \approx 74.8 + 0.78 = 75.6\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} > C_{V,m} \quad \checkmark C P , m ≈ 74.8 + 0.78 = 75.6 J/(mol ⋅ K) > C V , m ✓ κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0 C P > C V C_P > C_V C P > C V
勒夏特列原理
当一个处于平衡态的系统受到外部条件改变（如温度升高、压强增大），系统会朝着减弱这种改变的方向作出响应，并在新条件下达到新的平衡。这一规律称为勒夏特列原理 （Le Chatelier's Principle），是稳定性条件在定性分析中的集中体现。
以温度升高为例：外界对系统加热，温度升高；由于 C v > 0 C_v > 0 C v > 0
以压强增大为例：外界对系统施加额外压强；由于 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
勒夏特列原理提供了一种无需具体计算便能判断系统响应方向的快捷方法：外界如何推，系统就如何反推。这一规律适用于温度、压强、化学势等各种强度量的变化，是稳定性条件在日常分析中的强大工具。
例题 合成氨反应 N 2 + 3 H 2 ⇌ 2 NH 3 \text{N}_2 + 3\text{H}_2 \rightleftharpoons 2\text{NH}_3 N 2 + 3 H 2 ⇌ 2 NH 3 4 mol → 2 mol 4\ \text{mol} \to 2\ \text{mol} 4 mol → 2 mol
温度升高时，系统通过「逆反应吸热」来抵抗温度升高，即平衡向分解氨（逆反应）方向移动，氨的平衡产率下降。
压强增大时，系统通过「减少气体分子数的方向」来抵抗压强升高，即平衡向正反应方向移动（4 mol → 2 mol 4\ \text{mol} \to 2\ \text{mol} 4 mol → 2 mol
这正是工业合成氨采用高压（15 ∼ 30 MPa 15 \sim 30\ \text{MPa} 15 ∼ 30 MPa
勒夏特列-布劳恩原理
勒夏特列原理可以进一步推广：当系统某一强度量（如温度）发生变化时，不仅直接耦合的变量会对抗这一变化，系统中其他耦合变量也会以相同的方式做出贡献，进一步抵消外界的扰动。这一更完整的表述称为勒夏特列-布劳恩原理 （Le Chatelier-Braun Principle）。
以压缩为例：向系统施加额外压强，体积缩小（直接响应，κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
κ T ≥ κ S ≥ 0 \kappa_T \geq \kappa_S \geq 0 κ T ≥ κ S ≥ 0 其中 κ S \kappa_S κ S κ T \kappa_T κ T
类似地，对于热容同样成立：
C P ≥ C V ≥ 0 C_P \geq C_V \geq 0 C P ≥ C V ≥ 0 定压加热时体积可以膨胀（对外做功，需额外吸热），这个体积响应进一步对抗了温度的升高，使 C P C_P C P C V C_V C V
不等式 κ T ≥ κ S \kappa_T \geq \kappa_S κ T ≥ κ S C P ≥ C V C_P \geq C_V C P ≥ C V
例题 声波在气体中传播时，气体的局部压缩和膨胀发生得极快，近似为绝热过程。声速公式为
v s = 1 ρ κ S v_s = \sqrt{\frac{1}{\rho\,\kappa_S}} v s = ρ κ S 1 其中 ρ \rho ρ κ S = 1 / ( γ P ) \kappa_S = 1/(\gamma P) κ S = 1/ ( γ P ) κ T = 1 / P \kappa_T = 1/P κ T = 1/ P γ = C P / C V \gamma = C_P/C_V γ = C P / C V T = 293 K T = 293\ \text{K} T = 293 K P = 1.013 × 10 5 Pa P = 1.013 \times 10^5\ \text{Pa} P = 1.013 × 1 0 5 Pa M = 29 g/mol M = 29\ \text{g/mol} M = 29 g/mol γ = 1.4 \gamma = 1.4 γ = 1.4 κ T \kappa_T κ T κ S \kappa_S κ S
空气密度：
ρ = P M R T = 1.013 × 10 5 × 0.029 8.314 × 293 ≈ 1.205 kg/m 3 \rho = \frac{PM}{RT} = \frac{1.013 \times 10^5 \times 0.029}{8.314 \times 293} \approx 1.205\ \text{kg/m}^3 ρ = RT PM = 8.314 × 293 1.013 × 1 0 5 × 0.029 ≈ 1.205 kg/m 3 绝热压缩系数：
κ S = 1 γ P = 1 1.4 × 1.013 × 10 5 ≈ 7.07 × 10 − 6 Pa − 1 \kappa_S = \frac{1}{\gamma P} = \frac{1}{1.4 \times 1.013 \times 10^5} \approx 7.07 \times 10^{-6}\ \text{Pa}^{-1} κ S = γ P 1 = 1.4 × 1.013 × 1 0 5 1 ≈ 7.07 × 1 0 − 6 Pa − 1 绝热声速（实际声速）：
v s = 1 1.205 × 7.07 × 10 − 6 = 1.174 × 10 5 ≈ 342 m/s v_s = \sqrt{\frac{1}{1.205 \times 7.07 \times 10^{-6}}} = \sqrt{1.174 \times 10^5} \approx 342\ \text{m/s} v s = 1.205 × 7.07 × 1 0 − 6 1 = 1.174 × 1 0 5 ≈ 342 m/s 若改用等温压缩系数 κ T = 1 / P ≈ 9.87 × 10 − 6 Pa − 1 \kappa_T = 1/P \approx 9.87 \times 10^{-6}\ \text{Pa}^{-1} κ T = 1/ P ≈ 9.87 × 1 0 − 6 Pa − 1
v 等温 = 1 1.205 × 9.87 × 10 − 6 ≈ 290 m/s v_{\text{等温}} = \sqrt{\frac{1}{1.205 \times 9.87 \times 10^{-6}}} \approx 290\ \text{m/s} v 等温 = 1.205 × 9.87 × 1 0 − 6 1 ≈ 290 m/s 练习题
选择题
1. 下列关于热力学稳定性条件的说法，正确的是
A. 稳定平衡要求定容热容 C v < 0 C_v < 0 C v < 0
B. 若 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0
C. C v > 0 C_v > 0 C v > 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
D. 稳定性条件只适用于气体，对液体和固体没有意义
答案：C
热稳定性要求 C v > 0 C_v > 0 C v > 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0 C v < 0 C_v < 0 C v < 0 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0
2. 根据勒夏特列原理，向密闭容器中的气液平衡体系（水与水蒸气共存）施加额外压强，系统的响应是
A. 更多液体蒸发为气体，气体分子数增多，压强进一步升高
B. 更多气体液化为液体，气体分子数减少，以抵抗压强增大
C. 系统不响应，气液比例不变
D. 液体全部转化为气体，以充分利用增大的压强
答案：B
勒夏特列原理指出，系统会向对抗外界变化的方向响应。压强增大，系统通过减少气体分子数（气体液化）来降低压强，从而部分抵消外界施加的额外压强。选项 A 描述的是反向响应，会使压强进一步升高，违反勒夏特列原理；选项 C 是静态不响应，实际气液平衡会通过相转变来调整；选项 D 是极端情况，系统只会部分响应（气液共存调整比例），而非全部转化，除非超过临界点。
3. 对于同一种物质，绝热压缩系数 κ S \kappa_S κ S κ T \kappa_T κ T
A. κ S > κ T \kappa_S > \kappa_T κ S > κ T
B. κ S = κ T \kappa_S = \kappa_T κ S = κ T
C. κ S ≤ κ T \kappa_S \leq \kappa_T κ S ≤ κ T
D. 大小关系取决于具体物质，无法一般性判断
答案：C
由勒夏特列-布劳恩原理，允许更多响应通道的过程，系统显得更「柔软」（压缩系数更大）。等温压缩时，系统可与热库交换热量，这个热响应进一步缓解了压强增大对体积的压缩，使体积减少量更多，即 κ T ≥ κ S \kappa_T \geq \kappa_S κ T ≥ κ S κ S \kappa_S κ S α = 0 \alpha = 0 α = 0
4. 某实验测得一种流体在特定温度下 ( ∂ P / ∂ V m ) T = + 3 × 10 8 Pa ⋅ mol / m 3 (\partial P/\partial V_m)_T = +3 \times 10^8\ \text{Pa} \cdot \text{mol}/\text{m}^3 ( ∂ P / ∂ V m ) T = + 3 × 1 0 8 Pa ⋅ mol / m 3
A. 该流体处于力学稳定态，压强随体积增大而升高，具有弹性响应
B. 该流体的等温压缩系数 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0
C. 该流体的热容 C v < 0 C_v < 0 C v < 0
D. 该状态对应固液相共存，两相平衡时允许 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0 (\partial P/\partial V_m)_T > 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0
答案：B
等温压缩系数定义为 κ T = − 1 V ( ∂ V / ∂ P ) T \kappa_T = -\dfrac{1}{V}(\partial V/\partial P)_T κ T = − V 1 ( ∂ V / ∂ P ) T ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0 (\partial P/\partial V_m)_T > 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T > 0 ( ∂ V / ∂ P ) T > 0 (\partial V/\partial P)_T > 0 ( ∂ V / ∂ P ) T > 0 κ T < 0 \kappa_T < 0 κ T < 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
计算题
5. 某物质在 T = 300 K T = 300\ \text{K} T = 300 K P = 1.0 × 10 5 Pa P = 1.0 \times 10^5\ \text{Pa} P = 1.0 × 1 0 5 Pa V m = 24.9 × 10 − 3 m 3 / mol V_m = 24.9 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 24.9 × 1 0 − 3 m 3 / mol α = 3.33 × 10 − 3 K − 1 \alpha = 3.33 \times 10^{-3}\ \text{K}^{-1} α = 3.33 × 1 0 − 3 K − 1 κ T = 1.0 × 10 − 5 Pa − 1 \kappa_T = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{Pa}^{-1} κ T = 1.0 × 1 0 − 5 Pa − 1 C V , m = 20.8 J/(mol ⋅ K) C_{V,m} = 20.8\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C V , m = 20.8 J/(mol ⋅ K)
（1）验证该状态满足热稳定性和力学稳定性条件；
（2）计算 C P , m − C V , m C_{P,m} - C_{V,m} C P , m − C V , m C P , m C_{P,m} C P , m
（3）计算绝热压缩系数 κ S \kappa_S κ S κ S ≤ κ T \kappa_S \leq \kappa_T κ S ≤ κ T
（1）验证稳定性条件
热稳定性：C V , m = 20.8 J/(mol ⋅ K) > 0 C_{V,m} = 20.8\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} > 0 C V , m = 20.8 J/(mol ⋅ K) > 0
力学稳定性：κ T = 1.0 × 10 − 5 Pa − 1 > 0 \kappa_T = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{Pa}^{-1} > 0 κ T = 1.0 × 1 0 − 5 Pa − 1 > 0
两个条件均满足，该状态热力学稳定。
（2）计算 C P , m − C V , m C_{P,m} - C_{V,m} C P , m − C V , m
C P , m − C V , m = T V m α 2 κ T C_{P,m} - C_{V,m} = \frac{TV_m \alpha^2}{\kappa_T} C P , m − C V , m = κ T T V m α 2 = 300 × 24.9 × 10 − 3 × ( 3.33 × 10 − 3 ) 2 1.0 × 10 − 5 = \frac{300 \times 24.9 \times 10^{-3} \times (3.33 \times 10^{-3})^2}{1.0 \times 10^{-5}} = 1.0 × 1 0 − 5 300 × 24.9 × 1 0 − 3 × ( 3.33 × 1 0 − 3 ) 2 分子计算：
300 × 24.9 × 10 − 3 × 1.109 × 10 − 5 = 300 × 2.761 × 10 − 7 = 8.283 × 10 − 5 m 3 ⋅ K − 1 / mol 300 \times 24.9 \times 10^{-3} \times 1.109 \times 10^{-5} = 300 \times 2.761 \times 10^{-7} = 8.283 \times 10^{-5}\ \text{m}^3\cdot\text{K}^{-1}/\text{mol} 300 × 24.9 × 1 0 − 3 × 1.109 × 1 0 − 5 = 300 × 2.761 × 1 0 − 7 = 8.283 × 1 0 − 5 m 3 ⋅ K − 1 / mol C P , m − C V , m = 8.283 × 10 − 5 1.0 × 10 − 5 ≈ 8.28 J/(mol ⋅ K) C_{P,m} - C_{V,m} = \frac{8.283 \times 10^{-5}}{1.0 \times 10^{-5}} \approx 8.28\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C P , m − C V , m = 1.0 × 1 0 − 5 8.283 × 1 0 − 5 ≈ 8.28 J/(mol ⋅ K) C P , m = 20.8 + 8.28 = 29.1 J/(mol ⋅ K) C_{P,m} = 20.8 + 8.28 = 29.1\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C P , m = 20.8 + 8.28 = 29.1 J/(mol ⋅ K) （对比理想气体 C P , m − C V , m = R = 8.314 J/(mol ⋅ K) C_{P,m} - C_{V,m} = R = 8.314\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} C P , m − C V , m = R = 8.314 J/(mol ⋅ K)
（3）计算绝热压缩系数 κ S \kappa_S κ S
绝热压缩系数与等温压缩系数的关系：
κ S = κ T − T V m α 2 C P , m = κ T − C P , m − C V , m C P , m ⋅ κ T = κ T ⋅ C V , m C P , m \kappa_S = \kappa_T - \frac{TV_m \alpha^2}{C_{P,m}} = \kappa_T - \frac{C_{P,m} - C_{V,m}}{C_{P,m}} \cdot \kappa_T = \kappa_T \cdot \frac{C_{V,m}}{C_{P,m}} κ S = κ T − C P , m T V m α 2 = κ T − C P , m C P , m − C V , m ⋅ κ T = κ T ⋅ C P , m C V , m （对理想气体，该公式给出 κ S = κ T / γ \kappa_S = \kappa_T / \gamma κ S = κ T / γ
κ S = 1.0 × 10 − 5 × 20.8 29.1 ≈ 7.15 × 10 − 6 Pa − 1 \kappa_S = 1.0 \times 10^{-5} \times \frac{20.8}{29.1} \approx 7.15 \times 10^{-6}\ \text{Pa}^{-1} κ S = 1.0 × 1 0 − 5 × 29.1 20.8 ≈ 7.15 × 1 0 − 6 Pa − 1 κ S = 7.15 × 10 − 6 Pa − 1 < κ T = 1.0 × 10 − 5 Pa − 1 ✓ \kappa_S = 7.15 \times 10^{-6}\ \text{Pa}^{-1} < \kappa_T = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{Pa}^{-1} \quad \checkmark κ S = 7.15 × 1 0 − 6 Pa − 1 < κ T = 1.0 × 1 0 − 5 Pa − 1 ✓ κ S < κ T \kappa_S < \kappa_T κ S < κ T
6. 范德瓦耳斯气体的摩尔状态方程为
( P + a V m 2 ) ( V m − b ) = R T \left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT ( P + V m 2 a ) ( V m − b ) = RT 对于 CO 2 \text{CO}_2 CO 2 a = 0.3658 Pa ⋅ m 6 / mol 2 a = 0.3658\ \text{Pa} \cdot \text{m}^6/\text{mol}^2 a = 0.3658 Pa ⋅ m 6 / mol 2 b = 4.286 × 10 − 5 m 3 / mol b = 4.286 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{mol} b = 4.286 × 1 0 − 5 m 3 / mol R = 8.314 J/(mol ⋅ K) R = 8.314\ \text{J/(mol} \cdot \text{K)} R = 8.314 J/(mol ⋅ K)
（1）在 T = 304 K T = 304\ \text{K} T = 304 K CO 2 \text{CO}_2 CO 2 V m = 1.40 × 10 − 4 m 3 / mol V_m = 1.40 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 1.40 × 1 0 − 4 m 3 / mol ( ∂ P / ∂ V m ) T (\partial P/\partial V_m)_T ( ∂ P / ∂ V m ) T
（2）在 T = 400 K T = 400\ \text{K} T = 400 K V m = 5.00 × 10 − 4 m 3 / mol V_m = 5.00 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 5.00 × 1 0 − 4 m 3 / mol ( ∂ P / ∂ V m ) T (\partial P/\partial V_m)_T ( ∂ P / ∂ V m ) T
（3）对比两种情况，说明温度对范德瓦耳斯气体稳定性的影响。
（1）T = 304 K T = 304\ \text{K} T = 304 K V m = 1.40 × 10 − 4 m 3 / mol V_m = 1.40 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 1.40 × 1 0 − 4 m 3 / mol
( ∂ P ∂ V m ) T = − R T ( V m − b ) 2 + 2 a V m 3 \left(\frac{\partial P}{\partial V_m}\right)_T = -\frac{RT}{(V_m - b)^2} + \frac{2a}{V_m^3} ( ∂ V m ∂ P ) T = − ( V m − b ) 2 RT + V m 3 2 a V m − b = 1.40 × 10 − 4 − 4.286 × 10 − 5 = 9.714 × 10 − 5 m 3 / mol V_m - b = 1.40 \times 10^{-4} - 4.286 \times 10^{-5} = 9.714 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{mol} V m − b = 1.40 × 1 0 − 4 − 4.286 × 1 0 − 5 = 9.714 × 1 0 − 5 m 3 / mol R T ( V m − b ) 2 = 8.314 × 304 ( 9.714 × 10 − 5 ) 2 = 2527.5 9.436 × 10 − 9 ≈ 2.679 × 10 11 Pa \cdotp mol/m 3 \frac{RT}{(V_m - b)^2} = \frac{8.314 \times 304}{(9.714 \times 10^{-5})^2} = \frac{2527.5}{9.436 \times 10^{-9}} \approx 2.679 \times 10^{11}\ \text{Pa·mol/m}^3 ( V m − b ) 2 RT = ( 9.714 × 1 0 − 5 ) 2 8.314 × 304 = 9.436 × 1 0 − 9 2527.5 ≈ 2.679 × 1 0 11 Pa \cdotp mol/m 3 2 a V m 3 = 2 × 0.3658 ( 1.40 × 10 − 4 ) 3 = 0.7316 2.744 × 10 − 12 ≈ 2.666 × 10 11 Pa \cdotp mol/m 3 \frac{2a}{V_m^3} = \frac{2 \times 0.3658}{(1.40 \times 10^{-4})^3} = \frac{0.7316}{2.744 \times 10^{-12}} \approx 2.666 \times 10^{11}\ \text{Pa·mol/m}^3 V m 3 2 a = ( 1.40 × 1 0 − 4 ) 3 2 × 0.3658 = 2.744 × 1 0 − 12 0.7316 ≈ 2.666 × 1 0 11 Pa \cdotp mol/m 3 ( ∂ P ∂ V m ) T ≈ − 2.679 × 10 11 + 2.666 × 10 11 = − 1.3 × 10 9 Pa \cdotp mol/m 3 < 0 \left(\frac{\partial P}{\partial V_m}\right)_T \approx -2.679 \times 10^{11} + 2.666 \times 10^{11} = -1.3 \times 10^{9}\ \text{Pa·mol/m}^3 < 0 ( ∂ V m ∂ P ) T ≈ − 2.679 × 1 0 11 + 2.666 × 1 0 11 = − 1.3 × 1 0 9 Pa \cdotp mol/m 3 < 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0 (\partial P/\partial V_m)_T < 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0 κ T > 0 \kappa_T > 0 κ T > 0
（2）T = 400 K T = 400\ \text{K} T = 400 K V m = 5.00 × 10 − 4 m 3 / mol V_m = 5.00 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{mol} V m = 5.00 × 1 0 − 4 m 3 / mol
V m − b = 5.00 × 10 − 4 − 4.286 × 10 − 5 = 4.571 × 10 − 4 m 3 / mol V_m - b = 5.00 \times 10^{-4} - 4.286 \times 10^{-5} = 4.571 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{mol} V m − b = 5.00 × 1 0 − 4 − 4.286 × 1 0 − 5 = 4.571 × 1 0 − 4 m 3 / mol R T ( V m − b ) 2 = 8.314 × 400 ( 4.571 × 10 − 4 ) 2 = 3325.6 2.089 × 10 − 7 ≈ 1.592 × 10 10 Pa \cdotp mol/m 3 \frac{RT}{(V_m - b)^2} = \frac{8.314 \times 400}{(4.571 \times 10^{-4})^2} = \frac{3325.6}{2.089 \times 10^{-7}} \approx 1.592 \times 10^{10}\ \text{Pa·mol/m}^3 ( V m − b ) 2 RT = ( 4.571 × 1 0 − 4 ) 2 8.314 × 400 = 2.089 × 1 0 − 7 3325.6 ≈ 1.592 × 1 0 10 Pa \cdotp mol/m 3 2 a V m 3 = 0.7316 ( 5.00 × 10 − 4 ) 3 = 0.7316 1.25 × 10 − 10 ≈ 5.853 × 10 9 Pa \cdotp mol/m 3 \frac{2a}{V_m^3} = \frac{0.7316}{(5.00 \times 10^{-4})^3} = \frac{0.7316}{1.25 \times 10^{-10}} \approx 5.853 \times 10^{9}\ \text{Pa·mol/m}^3 V m 3 2 a = ( 5.00 × 1 0 − 4 ) 3 0.7316 = 1.25 × 1 0 − 10 0.7316 ≈ 5.853 × 1 0 9 Pa \cdotp mol/m 3 ( ∂ P ∂ V m ) T ≈ − 1.592 × 10 10 + 5.853 × 10 9 = − 1.007 × 10 10 Pa \cdotp mol/m 3 < 0 \left(\frac{\partial P}{\partial V_m}\right)_T \approx -1.592 \times 10^{10} + 5.853 \times 10^{9} = -1.007 \times 10^{10}\ \text{Pa·mol/m}^3 < 0 ( ∂ V m ∂ P ) T ≈ − 1.592 × 1 0 10 + 5.853 × 1 0 9 = − 1.007 × 1 0 10 Pa \cdotp mol/m 3 < 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0 (\partial P/\partial V_m)_T < 0 ( ∂ P / ∂ V m ) T < 0
（3）对比与结论
温度越高，R T / ( V m − b ) 2 RT/(V_m-b)^2 RT / ( V m − b ) 2 ( ∂ P / ∂ V m ) T → 0 − (\partial P/\partial V_m)_T \to 0^- ( ∂ P / ∂ V m ) T → 0 − κ T → + ∞ \kappa_T \to +\infty κ T → + ∞
