化学计算中的常见模型

买菜时，摊主用一杆秤称出一堆苹果总重 2 kg，再告诉你每个苹果大约 200 g，你立刻知道大概有 10 个——这个推理过程没有数苹果，而是用“重量与个数的比例关系”直接得出答案。化学计算也遵循类似的思路：当反应过程看起来复杂，往往存在某种“不变量”或“稳定的比例”，找到它，繁琐的计算就会变得简洁。

常见的化学计算模型有五种：差量法、守恒法、关系式法、极限法和十字交叉法。每种模型都有自己最擅长的“战场”，选对了模型，解题速度可以提高数倍。

差量法——用变化量列比例

差量法的核心思想是：化学反应前后，某个物理量（如质量、物质的量、气体体积）发生了变化，这个“差值”与参与反应的物质之间存在固定的比例关系。只要能从题目中读出差值，就能通过比例直接求出未知量，而不需要分别求出反应前和反应后的绝对值。

差量法最适合用在“只知道前后变化，不知道具体组成”的情况下。

例题 1

将一定量的铁粉放入足量稀硫酸中，充分反应后，固体完全消失，收集到 $\text{H}_2$ 气体 $0.4 \text{ mol}$。计算参与反应的铁的质量。

铁与稀硫酸的化学方程式为：

由方程式可知，每消耗 $1 \text{ mol}$ Fe，产生 $1 \text{ mol}$ $\text{H}_2$，比例为 $1:1$：

例题 2

将质量为 $m_1 = 10 \text{ g}$ 的铁粉在空气中完全氧化，生成 $\text{Fe}_2\text{O}_3$，称量固体质量为 $m_2$。已知反应后固体增重 ，求原铁粉的物质的量。

守恒法——找到不变的量

化学反应无论如何进行，有三个量始终守恒：质量守恒（原子个数不变）、电荷守恒（溶液中正负电荷总量相等）、电子守恒（氧化还原反应中失去电子总数等于得到电子总数）。守恒法就是借助这三类“不变量”，在不追踪每一步中间过程的情况下，直接建立等式求解。

守恒法的三种类型对比：

例题 3（质量守恒）

将 $5 \text{ g}$ 碳酸钙加入足量盐酸中，充分反应后，溶液增重 $\Delta m$，同时产生 $\text{CO}_2$ 气体逸出。计算逸出 $\text{CO}_2$ 的质量。

反应方程式：

$n(\text{CaCO}_3) = \dfrac{5 \text{ g}}{100 \text{ g/mol}} = 0.05 \text{ mol}$

由系数关系，$n(\text{CO}_2) = n(\text{CaCO}_3) = 0.05 \text{ mol}$

根据质量守恒，溶液增重 $= m(\text{CaCO}_3) - m(\text{CO}_2) = 5 - 2.2 = 2.8 \text{ g}$。

例题 4（电荷守恒）

某溶液中含有 $\text{Na}^+$、$\text{Mg}^{2+}$、$\text{Cl}^-$、$\text{SO}_4^{2-}$，已知 ，，，求 。

溶液电中性，正电荷总量 $=$ 负电荷总量：

代入数据：

关系式法——跨越多步反应

有些题目涉及两步甚至三步连续反应，中间产物的量不给出，只给起始物和最终产物。若按步骤逐一计算，耗时且容易出错。关系式法的做法是：将连续方程合并，直接建立起始物与最终产物之间的“固定摩尔比”，一步计算到位。

建立关系式的方法：找出每一步方程式中连接前后步骤的“桥梁物质”，利用其物质的量相等，将两个方程式的化学计量数统一，消去中间量。

例题 5

工业上以黄铁矿（主要成分 $\text{FeS}_2$）为原料生产硫酸，分三步进行：

第一步：$4\text{FeS}_2 + 11\text{O}_2 \xrightarrow{\text{高温}} 2\text{Fe}_2\text{O}_3 + 8\text{SO}_2$

第二步：$2\text{SO}_2 + \text{O}_2 \xrightarrow{\text{催化剂}} 2\text{SO}_3$

第三步：$\text{SO}_3 + \text{H}_2\text{O} \rightarrow \text{H}_2\text{SO}_4$

计算 $1 \text{ mol}$ $\text{FeS}_2$ 最终能生产多少摩尔 $\text{H}_2\text{SO}_4$。

极限法——处理混合物中的“最坏情况”

当题目中出现成分不明确的混合物，且每种成分与试剂反应的情况不同时，可以先分别计算“全是 A”和“全是 B”两种极端情况下的结果，再根据实际结果判断混合物的组成范围，或直接求某一组分的含量。

极限法常见于“混合金属与酸反应”“混合气体与溶液反应”等类型的题目。

例题 6

将 $5.6 \text{ g}$ 铁和铜的混合物加入足量稀盐酸中，铜不与盐酸反应，铁与盐酸反应生成 $\text{FeCl}_2$ 和 $\text{H}_2$。收集到 $\text{H}_2$ 气体 ，求混合物中铁的质量。

铁与盐酸的反应：$\text{Fe} + 2\text{HCl} \rightarrow \text{FeCl}_2 + \text{H}_2 \uparrow$

由方程式：$n(\text{Fe}) = n(\text{H}_2) = 0.05 \text{ mol}$

验证极限：

十字交叉法——混合物平均值的快速拆分

当两种物质混合，已知某个平均量（如平均摩尔质量、平均原子个数、平均密度），可以用十字交叉法直接求出两种物质的物质的量之比，省去设元列方程的步骤。

十字交叉法的使用格式如下：

即：两种组分的物质的量之比 $= (\bar{M} - M_2) : (M_1 - \bar{M})$，其中 为平均摩尔质量，。

例题 7

氢气（$M = 2 \text{ g/mol}$）和氧气（$M = 32 \text{ g/mol}$）的混合气体，平均摩尔质量为 $\bar{M} = 10 \text{ g/mol}$。求两种气体的物质的量之比。

用十字交叉法：

验证：$\bar{M} = \dfrac{11 \times 2 + 4 \times 32}{11 + 4} = \dfrac{22 + 128}{15} = \dfrac{150}{15} = 10 \text{ g/mol}$ ✓

例题 8

$\text{CO}$（$M = 28 \text{ g/mol}$）和 $\text{CO}_2$（$M = 44 \text{ g/mol}$）的混合气体，测得平均摩尔质量为 $$。求 和 的体积分数。

五种模型横向对比

在实际做题中，遇到一道计算题，首先判断适用哪种模型，再动笔计算，能大大减少无效步骤。

综合例题

例题 9

某工厂排放的废水中含有 $\text{CuSO}_4$，取 $500 \text{ mL}$ 废水样品，向其中加入足量铁粉，充分反应后过滤。铁粉加入前，废水中铜离子浓度未知；过滤后，固体中含有铜和剩余铁粉，固体总质量比加入的铁粉多 $0.8 \text{ g}$。求废水中 $\text{Cu}^{2+}$ 的物质的量浓度。

反应方程式：

每发生 $1 \text{ mol}$ 该反应，固体质量变化为：

即每 $1 \text{ mol}$ $\text{Cu}^{2+}$ 被还原，固体增重 $8 \text{ g}$。利用差量法：

废水体积 $V = 500 \text{ mL} = 0.5 \text{ L}$：

练习题

选择题

第 1 题 将 $2.8 \text{ g}$ 铁粉加入足量稀盐酸中，充分反应后，溶液中新增的溶质为 $\text{FeCl}_2$，同时产生 $\text{H}_2$ 气体。下列计算使用“差量法”最直接的做法是（　　）

A. 先求 $n(\text{Fe})$，再用系数比求 $n(\text{H}_2)$

B. 先求 $n(\text{HCl})$，再推算 $n(\text{H}_2)$

C. 用固体质量减少量（铁粉溶解）对应方程式中 Fe 的系数，建立与 $\text{H}_2$ 的比例

D. 用生成 $\text{FeCl}_2$ 的质量反推铁的物质的量

第 2 题 某溶液中含 $\text{Na}^+$、$\text{K}^+$、$\text{SO}_4^{2-}$、$\text{Cl}^-$ 四种离子，已知 ，，，则 为（　　）

A. $0.1 \text{ mol/L}$

B. $0.2 \text{ mol/L}$

C. $0.3 \text{ mol/L}$

D. $0.4 \text{ mol/L}$

第 3 题 将 $\text{CO}$（$M = 28$）和 $\text{CO}_2$（$M = 44$）的混合气体用十字交叉法分析，已知平均摩尔质量为 $40 \text{ g/mol}$，则 与 的物质的量之比为（　　）

A. $1:3$

B. $3:1$

C. $1:2$

D. $2:1$

第 4 题 以黄铜矿（主要成分 $\text{CuFeS}_2$）为原料，经过一系列反应最终得到 $\text{CuSO}_4$ 溶液，再电解得到铜。若其中某关键步骤为：

用关系式法计算，$1 \text{ mol}$ $\text{CuFeS}_2$ 最终能得到多少摩尔 $\text{CuSO}_4$？（　　）

A. $0.5 \text{ mol}$

B. $1 \text{ mol}$

C. $2 \text{ mol}$

D. $4 \text{ mol}$

计算题

第 5 题 将铁粉和铜粉的混合物 $11.2 \text{ g}$ 加入足量稀硫酸中，铜不与稀硫酸反应，铁与稀硫酸反应生成 $\text{FeSO}_4$ 和 $\text{H}_2$。充分反应后，固体不再减少，收集到 $\text{H}_2$ 共 。计算：

（1）混合物中铁的质量；

（2）混合物中铜的质量分数。

（已知：$M(\text{Fe}) = 56 \text{ g/mol}$，$M(\text{Cu}) = 64 \text{ g/mol}$）

第 6 题 工业上用纯碱（$\text{Na}_2\text{CO}_3$）与盐酸反应制备 $\text{NaCl}$ 溶液，反应方程式为：

现取 $\text{Na}_2\text{CO}_3$ 固体 $21.2 \text{ g}$，加入足量盐酸，充分反应后：

（1）计算生成 $\text{CO}_2$ 的体积（标准状况下，$V_m = 22.4 \text{ L/mol}$）；

（2）用守恒法（质量守恒）计算反应后溶液中 $\text{NaCl}$ 的质量（已知消耗 $\text{HCl}$ 的质量为 $14.6 \text{ g}$，生成水 $3.6 \text{ g}$）。

（已知：$M(\text{Na}_2\text{CO}_3) = 106 \text{ g/mol}$，$M(\text{NaCl}) = 58.5 \text{ g/mol}$，）

负电荷总量：$c(\text{SO}_4^{2-}) \times 2 + c(\text{Cl}^-) \times 1 = 0.15 \times 2 + c(\text{Cl}^-) = 0.3 + c(\text{Cl}^-)$

令正负电荷相等：

选 A。

验证：$\bar{M} = \dfrac{1 \times 28 + 3 \times 44}{1+3} = \dfrac{28 + 132}{4} = \dfrac{160}{4} = 40$ ✓，选 A。

由第二步：$1 \text{ mol}$ $\text{CuO}$ 产生 $1 \text{ mol}$ $\text{CuSO}_4$。

关系式：$\text{CuFeS}_2 \sim \text{CuO} \sim \text{CuSO}_4$，比例为 $1:1:1$。

所以 $1 \text{ mol}$ $\text{CuFeS}_2$ 得到 $1 \text{ mol}$ $\text{CuSO}_4$，选 B。

（1）求铁的质量：

由方程式，$n(\text{Fe}) = n(\text{H}_2) = 0.1 \text{ mol}$：

（2）求铜的质量分数：

混合物中铁的质量为 $5.6 \text{ g}$，铜的质量分数为 $50\%$。

由方程式，$n(\text{CO}_2) = n(\text{Na}_2\text{CO}_3) = 0.2 \text{ mol}$：

（2）用质量守恒求 $\text{NaCl}$ 的质量：

质量守恒：反应物总质量 $=$ 生成物总质量

代入数据：

验证：$n(\text{NaCl}) = \dfrac{23.4}{58.5} = 0.4 \text{ mol}$，由方程式 $n(\text{NaCl}) = 2 \times n(\text{Na}_2\text{CO}_3) = 2 \times 0.2 = 0.4 \text{ mol}$ ✓

生成 $\text{CO}_2$ 体积为 $4.48 \text{ L}$，生成 $\text{NaCl}$ 质量为 $23.4 \text{ g}$。